Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Стереометрическая задача с изюминкой

 

Задача. В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AC_1 и плоскостью BCC_1.

Решение. В этой задаче я сразу решила воспользоваться координатным способом решения. Если рационально ввести систему координат, здесь могут получиться очень простые коэффициенты плоскости, а уж найти направляющий вектор прямой – и совсем просто. Делаем!

Начало координат я расположила посередине ребра BC, ось z направлена вверх. Тогда плоскость BCC_1 – это плоскость XOZ, поэтому нормаль к этой плоскости будет иметь координаты \vec{n}(0;1;0) – нам даже не пришлось составлять систем уравнений для того, чтобы определить координаты плоскости (и нормали).

Призма и система координат

Определим направляющий вектор прямой. Для этого нам понадобятся координаты двух точек этой прямой  – возьмем, само собой, точки A и C_1. Координаты точки  C_1 (0,5;0;1). Точка A принадлежит плоскости XOY и удалена от начала координат на длину высоты правильного треугольника – основания призмы. Высота правильного треугольника со стороной 1 равна \frac{\sqrt{3}}{2}. Тогда координаты точки A (0; \frac{\sqrt{3}}{2};0). Разность координат начала и конца вектора – и есть координаты направляющего вектора прямой. Для прямой AC_1 (x_{C_1}-x_A; y_{C_1}-y_A; z_{C_1}-z_A). Координаты вектора AC_1  будут (0,5; -\frac{\sqrt{3}}{2};1).

Зная нормаль к плоскости и направляющий вектор, можем определить косинус угла между ними, используя скалярное произведение векторов.

    \[\cos {\alpha}=\frac{\vec{n}\cdot \vec{AC_1}}{\left|\vec{n}\right|\cdot \left|\vec{AC_1}\right|}\]

Однако изюминка задачи в том, что косинус этого угла и сам этот угол не являются искомыми! Нам-то нужен не угол между нормалью и прямой, а угол между прямой и плоскостью. Но, так как нормаль образует с плоскостью угол в 90 градусов, то,  имея  между нормалью и прямой угол \alpha, между прямой и плоскостью будем иметь угол 90-\alpha. А мы с вами знаем, что для угла \sin{\beta}=\sin(90-\alpha)=\cos{\alpha}. Таким образом, найдя этот косинус, мы тем самым определим синус искомого угла. После этого найти то, что требуется, совсем просто из основного тригонометрического тождества.

    \[\cos {\alpha}=\frac{\left|0\cdot 0,5+1\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+0\cdot1\right|}{\sqrt{(0,5)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+1^2}\cdot 1}\]

    \[\cos {\alpha}=\frac{\left|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\]

    \[\sin{\beta}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\]

Определим теперь косинус данного угла:

    \[\cos{\beta}=\sqrt{1-\sin^2{\beta}}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{5}{8}}\]

    \[\cos{\beta}=\sqrt{\frac{10}{16}}=\frac{\sqrt{10}}{4}\]

Ответ: \cos{\beta}=\frac{\sqrt{10}}{4}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *