Стереометрическая задача с изюминкой

Задача. В правильной треугольной призме $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и плоскостью $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Решение. В этой задаче я сразу решила воспользоваться координатным способом решения. Если рационально ввести систему координат, здесь могут получиться очень простые коэффициенты плоскости, а уж найти направляющий вектор прямой – и совсем просто. Делаем!

Начало координат я расположила посередине ребра $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , ось $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ направлена вверх. Тогда плоскость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – это плоскость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , поэтому нормаль к этой плоскости будет иметь координаты $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – нам даже не пришлось составлять систем уравнений для того, чтобы определить координаты плоскости (и нормали).

Призма и система координат

Определим направляющий вектор прямой. Для этого нам понадобятся координаты двух точек этой прямой – возьмем, само собой, точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Координаты точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Точка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ принадлежит плоскости $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и удалена от начала координат на длину высоты правильного треугольника – основания призмы. Высота правильного треугольника со стороной 1 равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда координаты точки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Разность координат начала и конца вектора – и есть координаты направляющего вектора прямой. Для прямой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Координаты вектора $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ будут $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Зная нормаль к плоскости и направляющий вектор, можем определить косинус угла между ними, используя скалярное произведение векторов.

Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Однако изюминка задачи в том, что косинус этого угла и сам этот угол не являются искомыми! Нам-то нужен не угол между нормалью и прямой, а угол между прямой и плоскостью. Но, так как нормаль образует с плоскостью угол в 90 градусов, то, имея между нормалью и прямой угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , между прямой и плоскостью будем иметь угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . А мы с вами знаем, что для угла $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Таким образом, найдя этот косинус, мы тем самым определим синус искомого угла. После этого найти то, что требуется, совсем просто из основного тригонометрического тождества.