Стереометрическая задача с изюминкой

[latexpage]

Задача. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение. В этой задаче я сразу решила воспользоваться координатным способом решения. Если рационально ввести систему координат, здесь могут получиться очень простые коэффициенты плоскости, а уж найти направляющий вектор прямой – и совсем просто. Делаем!

Начало координат я расположила посередине ребра $BC$, ось $z$ направлена вверх. Тогда плоскость $BCC_1$ – это плоскость $XOZ$, поэтому нормаль к этой плоскости будет иметь координаты $\vec{n}(0;1;0)$ – нам даже не пришлось составлять систем уравнений для того, чтобы определить координаты плоскости (и нормали).

Призма и система координат

Определим направляющий вектор прямой. Для этого нам понадобятся координаты двух точек этой прямой  – возьмем, само собой, точки $A$ и $C_1$. Координаты точки  $C_1 (0,5;0;1)$. Точка $A$ принадлежит плоскости $XOY$ и удалена от начала координат на длину высоты правильного треугольника – основания призмы. Высота правильного треугольника со стороной 1 равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда координаты точки $A (0; \frac{\sqrt{3}}{2};0)$. Разность координат начала и конца вектора – и есть координаты направляющего вектора прямой. Для прямой $AC_1$ $(x_{C_1}-x_A; y_{C_1}-y_A; z_{C_1}-z_A)$. Координаты вектора $AC_1$  будут $(0,5; -\frac{\sqrt{3}}{2};1)$.

Зная нормаль к плоскости и направляющий вектор, можем определить косинус угла между ними, используя скалярное произведение векторов.

$$\cos {\alpha}=\frac{\vec{n}\cdot \vec{AC_1}}{\left|\vec{n}\right|\cdot \left|\vec{AC_1}\right|}$$

Однако изюминка задачи в том, что косинус этого угла и сам этот угол не являются искомыми! Нам-то нужен не угол между нормалью и прямой, а угол между прямой и плоскостью. Но, так как нормаль образует с плоскостью угол в 90 градусов, то,  имея  между нормалью и прямой угол $\alpha$, между прямой и плоскостью будем иметь угол $90-\alpha$. А мы с вами знаем, что для угла $\sin{\beta}=\sin(90-\alpha)=\cos{\alpha}$. Таким образом, найдя этот косинус, мы тем самым определим синус искомого угла. После этого найти то, что требуется, совсем просто из основного тригонометрического тождества.

$$\cos {\alpha}=\frac{\left|0\cdot 0,5+1\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+0\cdot1\right|}{\sqrt{(0,5)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+1^2}\cdot 1}$$

$$\cos {\alpha}=\frac{\left|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$

$$\sin{\beta}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$

Определим теперь косинус данного угла:

$$\cos{\beta}=\sqrt{1-\sin^2{\beta}}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{5}{8}}$$

$$\cos{\beta}=\sqrt{\frac{10}{16}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$$

Ответ: $\cos{\beta}=\frac{\sqrt{10}}{4}$