Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 14 (С2)

Стереометрическая задача с изюминкой

 

Задача. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

Решение. В этой задаче я сразу решила воспользоваться координатным способом решения. Если рационально ввести систему координат, здесь могут получиться очень простые коэффициенты плоскости, а уж найти направляющий вектор прямой – и совсем просто. Делаем!

Начало координат я расположила посередине ребра , ось направлена вверх. Тогда плоскость – это плоскость , поэтому нормаль к этой плоскости будет иметь координаты – нам даже не пришлось составлять систем уравнений для того, чтобы определить координаты плоскости (и нормали).

Призма и система координат

Определим направляющий вектор прямой. Для этого нам понадобятся координаты двух точек этой прямой  – возьмем, само собой, точки и . Координаты точки  . Точка принадлежит плоскости и удалена от начала координат на длину высоты правильного треугольника – основания призмы. Высота правильного треугольника со стороной 1 равна . Тогда координаты точки . Разность координат начала и конца вектора – и есть координаты направляющего вектора прямой. Для прямой . Координаты вектора  будут .

Зная нормаль к плоскости и направляющий вектор, можем определить косинус угла между ними, используя скалярное произведение векторов.

   

Однако изюминка задачи в том, что косинус этого угла и сам этот угол не являются искомыми! Нам-то нужен не угол между нормалью и прямой, а угол между прямой и плоскостью. Но, так как нормаль образует с плоскостью угол в 90 градусов, то,  имея  между нормалью и прямой угол , между прямой и плоскостью будем иметь угол . А мы с вами знаем, что для угла . Таким образом, найдя этот косинус, мы тем самым определим синус искомого угла. После этого найти то, что требуется, совсем просто из основного тригонометрического тождества.

   

   

   

Определим теперь косинус данного угла:

   

   

Ответ:

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *