Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 14 (С2)

Стереометрическая задача из пробника г.Уфы

Решим задачу. Задачка попалась не совсем стандартная, с заковыринкой – но такие и есть самые интересные.

В правильном тетраэдре  на ребре выбрана точка , такая, что  , а на ребре выбрана точка , причем .

а) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N и К, где К –  середина ребра .

б) найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны 3.

Начнем с построения. Сначала проведем следы секущей плоскости в гранях и и .

Дано

Сечение, шаг 1

Продлим луч до пересечения с лучом – точка пересечения лучей лежит в плоскости основания тетраэдра, а также и  – благодаря принадлежности лучу – в плоскости сечения. Поэтому проведем прямую , и определим точку пересечения ею ребра – точку .

Сечение, шаг 2

Теперь можно и сечение выделить и заштриховать. Пункт а) – готов.

Сечение

Посмотрим на сечение с другой стороны, чтобы лучше его представить:

Сечение, разворот

Переходим к определению площади сечения. Для ее нахождения неплохо бы определиться с длинами всяческих отрезков, которые это сечение образовывают, и не только. Например, по теореме косинусов совершенно легко можно определить длину отрезка , отрезков , , .

   

Так как ребра равны 3, то , :

   

   

   

Из тех же соображений , – середина :

   

   

   

   

   

   

   

Чтобы найти отрезок , рассмотрим треугольник .

Треугольник CMQ и длины его сторон

Отрезок параллелен   и является основанием правильного треугольника со стороной 2, и в этом треугольнике – медиана, а следовательно, высота. Поэтому треугольник – прямоугольный. Также известен угол , поэтому угол . является катетом, лежащим против угла в 30 градусов, следовательно, гипотенуза вдвое его длиннее и равна 4. Катет может быть найден по теореме Пифагора и равен . Кроме того, отметим, что .

Определим длину отрезка :

   

   

   

   

Теперь обратимся к плоскости сечения, и к треугольнику .

Площадь сечения

В этом треугольнике нам неизвестны углы, зато мы знаем все стороны. А значит, найти углы – не проблема, ведь есть теорема косинусов! Найдем угол :

   

   

   

   

Сразу же найдем и синус, через основное тригонометрическое тождество:

   

Теперь можно найти и площадь треугольника :

   

   

А также и площадь треугольника :

   

   

Чтобы найти площадь сечения, просто вычтем :

   

Ответ: площадь сечения

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *