Степени и корни

В этой статье рассмотрены задачи со степенями и корнями, которые были предложены на вступительных экзаменах в различные вузы. Нужно либо упростить выражение, либо вычислить его значение.

Задача 1. Вычислить:

Решение:

Ответ: 8

Задача 2. Вычислить:

Решение:

Задача 3. Вычислить:

Решение:

Задача 4. Вычислить:

Решение:

Обозначим , тогда

Предположим, что первая дробь должна сокращаться, следовательно, ее знаменатель должен бы делиться на числитель. Попробуем разделить столбиком знаменатель на числитель (здесь рассказано подробнее):

Деление многочлена на многочлен столбиком

Задача 5. Вычислить:

Заменим временно

Сделаем обратную подстановку:

Задача 6. Вычислить:

Перепишем в виде степеней:

Замечаем, что степени образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . Определим сумму каждой прогрессии:

Получили: