Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика: задачки ненулевого уровня, продолжение.

В этой статье собраны задачи из задачника Русакова и др. Задачи «крепкие» – тянут на подготовку к городскому этапу олимпиады. Вполне доступны для решения школьниками от  8 класса, знакомыми с азами тригонометрии – геометрическими определениями основных функций.

Задача 1. Однородная балка массой M и длиной L подвешена на двух одинаковых веревках длиной l. С какой силой сжимается балка?

Рисунок 1

Условие равновесия балки

    \[2T\sin{\alpha}=Mg\]

Откуда

    \[T=\frac{Mg}{2\sin{\alpha}}\]

Сила, с которой балка сжимается, равна горизонтальной составляющей силы T, поэтому

    \[F=T\cos{\alpha}=\frac{Mg}{2\sin{\alpha}}\cdot \cos{\alpha}=\frac{1}{2}Mg\operatorname {ctg}{\alpha}=\frac{1}{2}Mg\frac{\frac{L}{2}}{h}\]

По Пифагору

    \[h=\sqrt{l^2-\frac{L^2}{4}}\]

Тогда

    \[F=\frac{\frac{ Mg L}{2}}{\sqrt{4l^2-L^2}}\]

Ответ: F=\frac{Mg L}{2\sqrt{4l^2-L^2}}

Задача 2. Однородная балка массой M лежит на платформе, свешиваясь с нее на 0,25 длины.  С какой силой нужно потянуть сторону B балки вниз, чтобы противоположная сторона A стала отрываться от платформы?

Рисунок 2

Так как центр тяжести однородной балки расположен посередине, а точка опоры находится в 0,25 длины от места приложения силы тяжести, то плечо силы тяжести составит как раз 0,25 длины балки. То есть плечо силы тяжести равно плечу прикладываемой силы, а значит, силы тоже равны.

Ответ: Mg.

Задача 3. Тонкий однородный стержень укреплен шарнирно в точке A и удерживается горизонтально в равновесии  нитью. Нить и стержень образуют угол \alpha. Масса стержня m. Найти: а) силу натяжения нити; б) модуль силы реакции шарнира при \alpha=45^{\circ}.

Рисунок 3

По теореме о трех непараллельных силах линии действия таких сил обязаны пересекаться в одной точке, что и показано на рисунке. То есть сила реакции N не обязательно направлена вдоль стержня, а может образовывать угол \beta с вертикалью.

Условия равновесия:

    \[N_x=T\cos{\alpha}\]

    \[N_y=mg-T\sin{\alpha}\]

Тогда реакция в шарнире

    \[N=\sqrt{N_x^2+N_y^2}\]

Условие равенства моментов сил относительно шарнира:

    \[Tl\sin{\alpha}-mg\frac{l}{2}=0\]

Откуда

    \[T=\frac{mg}{2\sin{\alpha}}\]

Следовательно,

    \[N_x=\frac{mg}{2}\operatorname{ctg}{\alpha}\]

    \[N_y=\frac{mg}{2}\]

    \[N=\sqrt{\frac{m^2g^2}{4}\operatorname{ctg^2}{\alpha}+\frac{m^2g^2}{4}}\]

При \alpha=45^{\circ}:

    \[N=\frac{mg}{2}\sqrt{\operatorname{ctg^2}{\alpha}+1}= \frac{mg}{2}\sqrt{2}\]

Ответ: N=\frac{mg}{\sqrt{2}}.

Задача 4. Электрическая лампа подвешена на шнуре и оттянута горизонтальной оттяжкой. Найти модуль силы натяжения шнура AB, если масса лампы 0,85 кг,  а угол \alpha=60^{\circ}. Принять g=10 м/с^2.

Рисунок 4

Равновесие лампы будет соблюдено, если

    \[mg=T_2\sin{\alpha}\]

И

    \[T_1=T_2\cos{\alpha}\]

    \[T_2=\frac{mg}{\sin{\alpha}}=\frac{2mg}{\sqrt{3}}=\frac{17}{\sqrt{3}}=10\]

    \[T_1=10\cdot\frac{1}{2}=5\]

Ответ: T_1=5 Н, T_2=10 Н.

Задача 5. На двух параллельных вертикально расположенных пружинах одинаковой длины горизонтально подвешен стержень, массой которого можно пренебречь. Коэффициенты жесткости пружин равны соответственно k_1=0,02 Н/м  и k_2=0,03 Н/м. Расстояние между пружинами равно 1 м. В каком месте стержня надо подвесить к нему груз, чтобы он остался горизонтальным?

Рисунок 5

Чтобы стержень остался горизонтальным, нужно, чтобы пружины растянулись одинаково. Поэтому подвешивать будем ближе к более жесткой пружине. Уравнение моментов относительно левой точки подвеса стержня

    \[mg(L-x)=k_2\Delta l L\]

Относительно правой точки:

    \[mgx=k_1\Delta l L\]

Деление двух уравнений дает

    \[\frac{L-x}{x}=\frac{k_2}{k_1}\]

    \[(L-x)k_1=k_2x\]

    \[x(k_2+k_1)=Lk_1\]

    \[x=\frac{ Lk_1}{ k_2+k_1}=\frac{0,02}{0,05}=0,4\]

Ответ: x=0,4 м (от места крепления более жесткой пружины).

Задача 6. Однородный стержень AB опирается о шероховатый пол и гладкий выступ C. Угол наклона стержня к полу равен 45^{\circ}, расстояние BC=0,25 AB. При каком коэффициенте трения возможно такое равновесие?

Рисунок 6

 

Запишем условия равновесия:

    \[N_{A_y}+N_{C_y}=mg\]

    \[N_{A_x}=N_{C_x}\]

    \[N_{A_x}=F_{tr}\]

Уравнение моментов относительно точки A:

    \[mg\cdot \frac{L}{2}\cos{\alpha}-N_C\cdot\frac{3L}{4}=0\]

Откуда

    \[N_C=\frac{2mg\cos{\alpha}}{3}\]

Сила трения – проекция реакции опоры в точке А на горизонтальную ось:

    \[F_{tr}= N_{C_x}=N_C\cdot \cos{\alpha}=\frac{2mg\cos^2{\alpha}}{3}=\frac{mg}{3}\]

С другой стороны,

    \[F_{tr}=\mu N_{A_y}\]

Определим реакцию опоры:

    \[N_{A_y}=mg- N_{C_y}=mg-N_C\sin{\alpha}=mg-\frac{2mg\cos{\alpha}\sin{\alpha}}{3}=mg-\frac{mg}{3}=\frac{2mg}{3}\]

И искомый коэффициент:

    \[\mu=\frac{ F_{tr}}{ N_{A_y}}=\frac{\frac{mg}{3}}{\frac{2mg}{3}}=0,5\]

Ответ: 0,5

Комментариев - 2

  • Адам
    |

    В задаче номер 4 нужно найти модуль силы натяжения шнура АВ, но зачем тогда в ответе записана сила Т1?
    Р.С. Если вопрос глупый прошу простить.

    Ответить
    • Анна
      |

      Нашла обе силы, обе и указала. Можно было и одну указать.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *