Статика: задачи ненулевого уровня

В этой статье собраны задачи из задачника Русакова и др. Задачи «крепкие» – тянут на подготовку к городскому этапу олимпиады. Вполне доступны для решения школьниками от 8 класса, знакомыми с азами тригонометрии – геометрическими определениями основных функций.

Задача 1. Грузы $m_1$ и $m_2$ висят на нити, перекинутой через блок. Система находится в равновесии. Найти массу груза $m_1$ , если известны углы $\alpha$ , $\beta$ и масса $m_2$ .

Рисунок 1

Запишем условие равновесия груза $m_2$ :

$m_2g=T_1$

И условие равновесия груза $m_1$ :

$T_1\sin{\beta}+T_2\sin{\alpha}=m_1g~~~~~~~~~~~~~~(1)$

Очевидно также, что

$T_1\cos{\beta}=T_2\cos{\alpha}$

Откуда

$T_2=\frac{ T_1\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}$

Подставим в (1):

$T_1\sin{\beta}+\frac{ T_1\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\sin{\alpha}= m_1g$

Или

$m_2\sin{\beta}+m_2\cos{\beta}}\operatorname{tg}{\alpha}= m_1$

Ответ: $m_1=m_2(\sin{\beta}+\cos{\beta}}\operatorname{tg}{\alpha})$ .

Задача 2. Два мальчика – маленький $m_1$ и большой $m_2$ , качаются на уравновешенной доске, сидя на ее концах. Известно, что точка опоры находится на расстоянии, равном $\frac{3}{4}$ длины доски от маленького мальчика. Найти массу доски.

Рисунок 2

Условие равновесия доски:

$m_1g\cdot \frac{3L}{4}+Mg\cdot\frac{L}{4}=m_2g\frac{L}{4}$

Или

$M=m_2-3m_1$

Ответ: $M=m_2-3m_1$

Задача 3. Квадрат со стороной $a$ составлен из четырех тонких стержней, плотность материала которых $\rho, 2\rho, 3\rho$ и $4\rho$ . С квадратом связана система координат. Найти координаты центра масс системы.

Рисунок 3

Определим координату центра тяжести по оси $x$ :

$x=\frac{1}{M}\sum m_i x_i=\frac{1}{aS\rho+ 2aS\rho+ 3aS\rho+4aS\rho}\left(\frac{a^2}{2}S(2\rho+4\rho)+0\cdot aS\rho+a^2S\cdot 3\rho\right)= \frac{6a^2S}{10aS}=0,6a$

Аналогично по оси $y$ :

$y=\frac{1}{M}\sum m_i y_i=\frac{1}{aS\rho+ 2aS\rho+ 3aS\rho+4aS\rho}\left(\frac{a^2}{2}S(\rho+3\rho)+0\cdot 4aS\rho+a^2S\cdot 2\rho\right)= \frac{4a^2S}{10aS}=0,4a$

Ответ: $(0,6a; 0,4a)$ .

Задача 4. Тонкий однородный стержень укреплен шарнирно в точке $A$ и удерживается в равновесии горизонтальной нитью. Нить и стержень образуют угол $\alpha$ . Масса стержня $m$ . Найти: а) силу натяжения нити; б) модуль силы реакции шарнира при $\alpha=45^{\circ}$ .

Рисунок 4

По теореме о трех непараллельных силах линии действия таких сил обязаны пересекаться в одной точке, что и показано на рисунке. То есть сила реакции $N$ не обязательно направлена вдоль стержня, а может образовывать угол $\beta$ с вертикалью.

Условия равновесия:

$N_x=T$

$N_y=mg$

Тогда реакция в шарнире

$N=\sqrt{N_x^2+N_y^2}$

Условие равенства моментов сил относительно шарнира:

$Tl\sin{\alpha}-mg\frac{l}{2}\cos{\alpha}=0$

Откуда

$T=\frac{mg}{2}\operatorname{ctg}{\alpha}$

Следовательно,

$N=\sqrt{\frac{m^2g^2}{4}\operatorname{ctg^2}{\alpha}+m^2g^2}$

При $\alpha=45^{\circ}$ :

$N=mg\sqrt{\frac{1}{4}\operatorname{ctg^2}{\alpha}+1}= mg\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{mg\sqrt{5}}{2}$

$\beta=\operatorname{arctg}{\frac{N_x}{N_y}}=\operatorname{arctg}{\frac{\operatorname{ctg}{\alpha}}{2}}$

Ответ: $N=\frac{mg\sqrt{5}}{2}$ , $\beta=\operatorname{arctg}{\frac{\operatorname{ctg}{\alpha}}{2}}$ , $T=\frac{mg}{2}\operatorname{ctg}{\alpha}$ .

Задача 5. Два однородных шара массами 10 и 12 кг с радиусами 4 и 6 см соединены посредством однородного стержня массой 2 кг и длиной 10 см. Центры шаров лежат на продолжении оси стержня. Найти расстояние в см от центра тяжести этой системы до оси, проходящей через середину стержня.

Рисунок 5

Относительно центра тяжести запишем уравнение моментов этой системы:

$M_1g\cdot(x+\frac{L}{2}+r_1)+mg\cdot x=M_2g\cdot(\frac{L}{2}-x+r_2)$

$x(mg+M_2g+M_1g)= -M_1g\cdot(\frac{L}{2}+r_1)+M_2g(\frac{L}{2}+r_2)$

$x=\frac{ M_2(\frac{L}{2}+r_2) -M_1\cdot(\frac{L}{2}+r_1)}{ m+M_2+M_1}=\frac{ 12(5+6) -10\cdot(5+4)}{ 10+12+2}=\frac{42}{24}=\frac{7}{4}=1,75$

Ответ: 1,75 см.

Комментариев - 2

Антонина

2018-11-19

Все очень здорово. Спасибо. Задачи по статике – это что-то!!) В школе на такие задачи всегда не хватает времени, да и ученики не всегда могут решать.. ну простые задачи. И вообще – подготовить к ОГЭ или к ЕГЭ при нагрузке 2 часа в неделю невозможно.
Спасибо.

Ответить

Анна
|

2018-11-19

Добро пожаловать)))

Ответить

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Окт
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Статика: задачи ненулевого уровня

Для вас другие записи этой рубрики:

Комментариев - 2

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь