Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика: задачи ненулевого уровня

В этой статье собраны задачи из задачника Русакова и др. Задачи «крепкие» – тянут на подготовку к городскому этапу олимпиады. Вполне доступны для решения школьниками от  8 класса, знакомыми с азами тригонометрии – геометрическими определениями основных функций.

Задача 1. Грузы m_1 и m_2 висят на нити, перекинутой через блок. Система находится в равновесии. Найти массу груза m_1, если известны углы \alpha, \beta и масса m_2.

Рисунок 1

Запишем условие равновесия груза m_2:

    \[m_2g=T_1\]

И условие равновесия груза m_1:

    \[T_1\sin{\beta}+T_2\sin{\alpha}=m_1g~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Очевидно также, что

    \[T_1\cos{\beta}=T_2\cos{\alpha}\]

Откуда

    \[T_2=\frac{ T_1\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\]

Подставим в (1):

    \[T_1\sin{\beta}+\frac{ T_1\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\sin{\alpha}= m_1g\]

Или

    \[m_2\sin{\beta}+m_2\cos{\beta}}\operatorname{tg}{\alpha}= m_1\]

Ответ: m_1=m_2(\sin{\beta}+\cos{\beta}}\operatorname{tg}{\alpha}).

Задача 2. Два мальчика – маленький m_1 и большой m_2, качаются на уравновешенной доске, сидя на ее концах. Известно, что точка опоры находится на расстоянии, равном \frac{3}{4} длины доски от маленького мальчика. Найти массу доски.

 

Рисунок 2

 

Условие равновесия доски:

    \[m_1g\cdot \frac{3L}{4}+Mg\cdot\frac{L}{4}=m_2g\frac{L}{4}\]

Или

    \[M=m_2-3m_1\]

Ответ: M=m_2-3m_1

Задача 3.  Квадрат со стороной a составлен из четырех тонких стержней, плотность материала которых \rho, 2\rho, 3\rho и 4\rho. С квадратом связана система координат. Найти координаты центра масс системы.

Рисунок 3

Определим координату центра тяжести по оси x:

    \[x=\frac{1}{M}\sum m_i x_i=\frac{1}{aS\rho+ 2aS\rho+ 3aS\rho+4aS\rho}\left(\frac{a^2}{2}S(2\rho+4\rho)+0\cdot aS\rho+a^2S\cdot 3\rho\right)= \frac{6a^2S}{10aS}=0,6a\]

Аналогично по оси y:

    \[y=\frac{1}{M}\sum m_i y_i=\frac{1}{aS\rho+ 2aS\rho+ 3aS\rho+4aS\rho}\left(\frac{a^2}{2}S(\rho+3\rho)+0\cdot 4aS\rho+a^2S\cdot 2\rho\right)= \frac{4a^2S}{10aS}=0,4a\]

Ответ: (0,6a; 0,4a).

Задача 4. Тонкий однородный стержень укреплен шарнирно в точке A и удерживается в равновесии горизонтальной нитью. Нить и стержень образуют угол \alpha. Масса стержня m. Найти: а) силу натяжения нити; б) модуль силы реакции шарнира при \alpha=45^{\circ}.

Рисунок 4

По теореме о трех непараллельных силах линии действия таких сил обязаны пересекаться в одной точке, что и показано на рисунке. То есть сила реакции N не обязательно направлена вдоль стержня, а может образовывать угол \beta с вертикалью.

Условия равновесия:

    \[N_x=T\]

    \[N_y=mg\]

Тогда реакция в шарнире

    \[N=\sqrt{N_x^2+N_y^2}\]

Условие равенства моментов сил относительно шарнира:

    \[Tl\sin{\alpha}-mg\frac{l}{2}\cos{\alpha}=0\]

Откуда

    \[T=\frac{mg}{2}\operatorname{ctg}{\alpha}\]

Следовательно,

    \[N=\sqrt{\frac{m^2g^2}{4}\operatorname{ctg^2}{\alpha}+m^2g^2}\]

При \alpha=45^{\circ}:

    \[N=mg\sqrt{\frac{1}{4}\operatorname{ctg^2}{\alpha}+1}= mg\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{mg\sqrt{5}}{2}\]

    \[\beta=\operatorname{arctg}{\frac{N_x}{N_y}}=\operatorname{arctg}{\frac{\operatorname{ctg}{\alpha}}{2}}\]

Ответ: N=\frac{mg\sqrt{5}}{2}, \beta=\operatorname{arctg}{\frac{\operatorname{ctg}{\alpha}}{2}}, T=\frac{mg}{2}\operatorname{ctg}{\alpha}.

Задача 5. Два однородных шара массами 10 и 12 кг с радиусами 4 и 6 см соединены посредством однородного стержня массой 2 кг и длиной 10 см. Центры шаров лежат на продолжении оси стержня. Найти расстояние в см от центра тяжести этой системы до оси, проходящей через середину стержня.

Рисунок 5

Относительно центра тяжести запишем уравнение моментов этой системы:

    \[M_1g\cdot(x+\frac{L}{2}+r_1)+mg\cdot x=M_2g\cdot(\frac{L}{2}-x+r_2)\]

    \[x(mg+M_2g+M_1g)= -M_1g\cdot(\frac{L}{2}+r_1)+M_2g(\frac{L}{2}+r_2)\]

    \[x=\frac{ M_2(\frac{L}{2}+r_2) -M_1\cdot(\frac{L}{2}+r_1)}{ m+M_2+M_1}=\frac{ 12(5+6) -10\cdot(5+4)}{ 10+12+2}=\frac{42}{24}=\frac{7}{4}=1,75\]

Ответ: 1,75 см.

Комментариев - 2

  • Антонина
    |

    Все очень здорово. Спасибо. Задачи по статике – это что-то!!) В школе на такие задачи всегда не хватает времени, да и ученики не всегда могут решать.. ну простые задачи. И вообще – подготовить к ОГЭ или к ЕГЭ при нагрузке 2 часа в неделю невозможно.
    Спасибо.

    Ответить
    • Анна
      |

      Добро пожаловать)))

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *