Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика в случае параллельных сил -1

Еще несколько задач на статику, и опять из хорошего лицея Москвы.

Задача 1.  Легкая пружина жесткости k   в недеформированном состоянии имеет длину L_0, нерастяжимая веревка массой m имеет длину L . Определите расстояние H от точки перегиба веревки до потолка.

К задаче 1

Решение. Отношение массы веревки к ее длине – \frac{m}{L}. Поэтому, если веревка изгибается и от конца пружины до перегиба расположена ее длина L-h, то масса этого куска равна m_1=\frac{m}{L}\cdot (L-H).

Тогда условием равновесия левой части веревки будет

    \[kx= m_1g=\frac{mg}{L}\cdot (L-H)\]

Общая длина веревки и пружины

    \[2H=L+L_0+x\]

    \[x=2H-L-L_0\]

Подставляем в первое уравнение:

    \[k(2H-L-L_0)= \frac{mg}{L}\cdot (L-H)\]

    \[k(2H-L-L_0)L= mg\cdot (L-H)\]

    \[2kHL-kL^2-kLL_0=mgL-mgH\]

    \[H(2kL+mg)=mgL+kL^2+kLL_0=L(mg+kL+kL_0)\]

    \[H=\frac{ L(mg+kL+kL_0)}{ 2kL+mg }\]

Ответ: H=\frac{ L(mg+kL+kL_0)}{ 2kL+mg }

 

Задача 2. К системе из трех блоков подвешен груз массой M= 2 кг . Масса каждого блока равна m = 1 кг. Нити невесомы, трения нет. Определите силу натяжения нити в точке A.

К задаче 2

Решение.

Рассмотрим n-ный блок. Для него

    \[T_n+T_n=mg+T_{n-1}\]

n-ный блок

    \[T_n =\frac{ mg+T_{n-1}}{2}\]

Тогда

    \[T_0=Mg\]

    \[T_1=\frac{T_0+mg}{2}\]

    \[T_2=\frac{T_1+mg}{2}\]

    \[T_3=\frac{T_2+mg}{2}\]

Откуда

    \[T_3=\frac{\frac{T_1+mg}{2}+mg}{2}=\frac{\frac{\frac{T_0+mg}{2}+mg}{2}+mg}{2}=\frac{\frac{\frac{Mg+mg}{2}+mg}{2}+mg}{2}=\frac{Mg}{2^3}+\frac{mg(2^3-1)}{2^3}=\frac{7m+M}{8}g=11,25\]

Ответ: 11,25 Н.

Задача 3. Система, состоящая из однородных стержней, трех невесомых нитей и блока, находится в равновесии. Трения нет. Все нити вертикальны. Масса верхнего стержня m_1= 3 кг. Найдите массу m_2 нижнего стержня.

К задаче 3

Решение. Расставим силы. Точка А – середина второго стержня. Поэтому, если относительно нее записать уравнение моментов, то получим:

К задаче 3 – расстановка сил

    \[T=T_1\]

Для верхнего стержня относительно точки B можно записать такое уравнение моментов:

    \[T_1L=\frac{L}{4}\cdot T+m_1g\cdot \frac{L}{2}\]

Делим на L:

    \[T_1=\frac{1}{4}\cdot T+m_1g\cdot \frac{1}{2}\]

Умножаем на 4:

    \[4T_1=T+2m_1g\]

Или

    \[3T=2m_1g\]

То есть T=20 Н, а 2T=m_2g=40 Н, откуда m_2=4.
Ответ: 4 кг.

 

Задача 4. Неоднородный груз подвесили к системе, состоящей из невесомого рычага, установленного на опоре, однородного стержня, имеющего массу m=2 кг , двух блоков и нитей. При  какой массе груза M система окажется в равновесии? Опора делит рычаг в отношении 1: 2.

К задаче 4

Решение.

Запишем условия равновесия обоих стержней, однородного и неоднородного:

    \[T+T_1=mg+T_2\]

    \[T_2+2T=Mg\]

К задаче 4 – расстановка сил

Уравнение моментов относительно центра среднего рычага:

    \[T\frac{l}{2}+T_2\frac{l}{2}=T_1\frac{l}{2}\]

Или

    \[T+T_2=T_1\]

И уравнение моментов для самого верхнего из рычагов:

    \[T_1\cdot \frac{2L}{6}=T\cdot\frac{4L}{6}+2T\cdot \frac{3L}{6}\]

Сократим на L:

    \[T_1\cdot \frac{1}{3}=T\cdot\frac{2}{3}+2T\cdot \frac{1}{2}\]

Или (домножив на 3):

    \[T_1=2T+3T\]

    \[T_1=5T\]

Тогда

    \[T_2=T_1-T=4T\]

Возвращаемся к первым двум уравнениям:

    \[mg= T+T_1-T_2=2T\]

    \[Mg=4T+2T=6T\]

Так как T=10 Н, то Mg=6T=60 Н, или M=6 кг.

Ответ: M=6 кг.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *