Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика в случае непараллельных сил

Еще несколько задач на статику, и опять из хорошего лицея Москвы. Теперь силы не будут параллельны.

Задача 1.  Танк массой m=50 т выезжает по откидному мосту из замка. Мост представляет собой однородную балку длиной L=60 м и массой M=60 т. Правый конец моста удерживается в горизонтальном положении двумя наклонными тросами так, как показано на рисунке. Расстояние от моста до верхней точки крепления тросов H=80 м. Постройте график зависимости модуля силы натяжения T одного троса от положения x танка на мосту.

К задаче 1

Решение: не забываем, что тросов, удерживающих мост, два. Уравнение моментов относительно точки А:

    \[2T\cdot a=mgx+Mg\frac{L}{2}\]

Здесь a – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе. Давайте ее определим:

К задаче 1 – определение плеча

    \[2S=LH=a\cdot \sqrt{L^2+H^2}\]

    \[a=\frac{LH}{\sqrt{L^2+H^2}}\]

Тогда

    \[T(x)=\frac{mgx}{2a}+\frac{MgL}{4a}\]

Подставим a

    \[T(x)=\frac{mgx\sqrt{L^2+H^2}}{2LH}+\frac{MgL\sqrt{L^2+H^2}}{4LH}\]

Подставим численные данные:

    \[T(x)=\frac{50\cdot 10^3\cdot 10 \cdot x\sqrt{60^2+80^2}}{2\cdot 60\cdot 80}+\frac{60\cdot 10^3\cdot 10\cdot 60\sqrt{60^2+80^2}}{4\cdot 60\cdot 80}=5208x+187500\]

Строим график:

График к задаче 1

 

Задача 2. Детская игрушка «неваляшка» состоит из двух пластмассовых шаров радиусами r_1=9 см и r_2=6 см , полых внутри. Игрушка стоит на горизонтальном столе. В нижней точке нижнего шара закреплён маленький груз массой M=250 г .«Неваляшка» обладает следующим свойством: если её положить набок так, чтобы оба шара касались стола, и отпустить, то она «встанет» и вновь примет вертикальное положение. При каких массах m_1 и m_2 нижнего и верхнего шаров соответственно игрушка обладает этим свойством? Считать, что центры масс шаров совпадают с их геометрическими центрами.

К задаче 2

Решение. Если игрушку положить набок и отпустить, то голова сразу оторвется от пола и не будет давить на него. Сила реакции здесь будет нулевой.

Расставим силы в задаче 2

Относительно точки касания нижнего шара и плоскости уравнение моментов таково:

    \[Mg x \geqslant m_1g\cdot 0+ m_2 g y\]

Причем из подобия видно, что

    \[\frac{x}{y}=\frac{r_1}{r_1+r_2}\]

Получаем из уравнения моментов

    \[M \geqslant \frac{m_2 y}{x}=\frac{m_2(r_1+r_2)}{r_1}\]

Таким образом,

    \[m_2 \leqslant \frac{Mr_1}{r_1+r_2}=0,6M=150\]

Таким образом, масса m_2 должна быть меньше или равна 150 г, а m_1 может быть любым – так как центр тяжести большего шара всегда над точкой опоры.

Ответ: m_1 – любое, m_2 – не более 150 г.

 

Задача 3. Дед, бабка, внучка, Жучка, Мурка и мышка-норушка хотят вытянуть репку. Репка является однородным шаром радиусом R , на вершине которого расположены многочисленные прочные невесомые длинные листья, за которые репку можно вытягивать. Репка погружена в землю наполовину. Известно, что дед может тянуть с максимальной силой F , бабка – тянуть вдвое слабее, внучка – вдвое слабее бабки, Жучка – вдвое слабее внучки, Мурка – вдвое слабее Жучки, а мышка- норушка – вдвое слабее Мурки. Какова максимально возможная масса репки, если известно, что её удалось вытянуть? Как должны были герои сказки тянуть такую репку для того, чтобы всё же вытянуть её? Считайте, что репка уже созрела, её корешки отсохли, и она держится в плотно слежавшейся земле только благодаря собственному весу. При вытягивании репка не может вращаться вокруг своей оси симметрии.

Репка

Решение.

Посчитаем силу F_0, которую могут в сумме создать все персонажи:

    \[F_0=F+\frac{F}{2}+\frac{F}{4}+\frac{F}{8}+\frac{F}{16}+\frac{F}{32}=\frac{63F}{32}\]

Чтобы плечо этой силы было максимальным, нужно тянуть так, как показано на рисунке: тогда плечо (первоначальное) составит \sqrt{2}R. Плечо силы тяжести будет уменьшаться – значит, если репку удастся оторвать, то уже удастся и вытащить.

Репка и плечи сил

Уравнение моментов относительно точки A – опорной:

    \[mgR=F_0\cdot \sqrt{2}R\]

Откуда

    \[m=\frac{\sqrt{2}\cdot 63F}{32g}\]

Ответ: m=\frac{\sqrt{2}\cdot 63F}{32g} – максимальная масса репки.

Задача 4. «Уголок»   массой m=60 г ,   изготовленный   из   однородной проволоки, имеет два перпендикулярных «плеча» с длинами l_1=a=20 см и l_2=2a. Он повешен за конец короткого плеча на шарнирном подвесе (который позволяет ему свободно вращаться в вертикальной плоскости) и опирается серединой длинного плеча на гладкий горизонтальный гвоздь, расположенный на одной вертикали с подвесом. Найти величину силы, с которой уголок действует на подвес.

К задаче 4

Решение. Расставим силы на рисунке. Со всеми силами можно четко определиться, одна N_2 остается серой лошадкой. Куда она направлена – неясно. Поэтому, чтобы не иметь с ней дела, составим уравнение моментов относительно точки ее приложения – тогда ее плечо равно нулю и она исчезнет с горизонта.

Расставим силы в задаче 4

Получим:

    \[N_1\cdot a=\frac{mg}{3}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{4}+\frac{2mg}{3}\cdot 0\]

    \[N_1=\frac{mg\sqrt{2}}{12}\]

Нарисуем треугольник сил:

Треугольник сил

Из данного треугольника по теореме Пифагора получаем:

    \[N_2^2=\left(mg+\frac{mg}{12}\right)^2+\left(\frac{mg}{12}\right)^2\]

    \[N_2=\frac{mg}{12}\cdot \sqrt{170}\]

Ответ: N_2=\frac{mg}{12}\cdot \sqrt{170}

Задача 5. Из проволоки изготовлена рама в форме прямоугольного треугольника, которая помещена в вертикальной плоскости так, как показано на рисунке. По проволоке могут скользить без трения связанные нитью грузы массами m_1=0,1 кг и m_2=0,3 кг. Найдите силу натяжения нити и угол между нитью и длинным катетом треугольника при равновесии.

К задаче 5

Решение. Треугольник – прямоугольный с углами 30^{\circ} и 60^{\circ}. Расставим силы.

Расстановка сил в задаче 5

    \[N_1=(m_1+m_2)g\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[N_2=(m_1+m_2)g\cdot \frac{1}{2}\]

Изобразим треугольник сил:

Треугольник сил в задаче 5

По теореме синусов для треугольника ABD:

    \[\frac{m_2g}{\sin \alpha}=\frac{T}{\sin 60^{\circ}}\]

Для треугольника BCD:

    \[\frac{m_1g}{\sin (90^{\circ}-\alpha)}=\frac{T}{\sin 30^{\circ}}\]

    \[\frac{m_1g}{\cos \alpha}=\frac{T}{\sin 30^{\circ}}\]

Разделим эти уравнения:

    \[\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}\frac{m_2}{m_1}\]

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{3}{1}=3\sqrt{3}\]

    \[\alpha=\operatorname{arctg}3\sqrt{3}\]

Осталось найти силу натяжения. Если у угла такой тангенс – 3\sqrt{3}, то его синус равен \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}, а косинус – \frac{1}{2\sqrt{7}}. Тогда

    \[T=m_1g\cdot\frac{\sin 30^{\circ}}{\cos \alpha }=\sqrt{7}\]

Ответ: T=\sqrt{7} Н, а угол между нитью и длинным катетом треугольника равен примерно 10^{\circ} – потому что угол между нитью и коротким катетом равен \alpha=\operatorname{arctg}3\sqrt{3}=80^{\circ}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *