Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Статика

Статика. Силы и моменты

В задачах, связанных с равновесием тел, нужно, как правило, найти две силы (или больше) которые стремятся это тело повернуть по и против часовой стрелки. Если моменты этих сил равны, тело будет находиться в равновесии. А чтобы рассчитать момент, нужно также правильно определить плечо силы: это расстояние от оси вращения до линии действия силы.


Задача 1.  Однородный куб весит 100 Н. Какую горизонтальную силу нужно приложить к верхней точке куба, чтобы его опрокинуть?

Куб будет поворачиваться вокруг точки правой нижней точки основания. Мешать опрокидыванию будет сила тяжести. Плечо силы, с которой будем толкать – длина ребра куба. А плечо силы тяжести – половина ребра, так как она приложена в центре куба.

К задаче 1

Тогда правило моментов:

    \[Fl=mg \frac{l}{2}\]

Отсюда

    \[F= \frac {mg}{2}=\frac{100}{2}=50\]

Ответ: 50 Н.

Задача 2. Лестница составляет с землей угол 70^{\circ} и опирается о вертикальную стену, трение о которую пренебрежимо мало. Найдите силы, действующие на лестницу со стороны земли и стены, если человек массой 70 кг поднялся по лестнице на две трети ее длины.

Сделаем чертеж. Запишем уравнения по осям, а также уравнение моментов относительно точки основания лестницы.

К задаче 2

    \[\begin{Bmatrix}{ N_1d_2=N_2 d_1}\\{ N_1=F_{tr}\\{N_2=mg }\end{matrix}\]

Плечо силы N_1 равно d_2=l \sin{\alpha}, плечо силы N_2 – расстояние от основания лестницы до линии действия силы – d_1=\frac{2}{3}l \cos{\alpha}.

Тогда:

    \[\begin{Bmatrix}{ N_1 l \sin{\alpha}=N_2 \frac{2}{3}l \cos{\alpha}}\\{ N_1=F_{tr}\\{N_2=mg }\end{matrix}\]

    \[N_1=\frac{2mg}{3}\operatorname{ctg}{\alpha}\]

Подставим численные данные:

    \[N_2=70 \cdot 9,8=686\]

    \[N_1=\frac{2\cdot686}{3}\operatorname{ctg}{70^{\circ}}=169\]

Ответ: со стороны стены 169 Н, со стороны земли 686 Н.

Задача 3. Рабочий удерживает за один конец доску массой 40 кг так, что доска образует угол 30^{\circ} с горизонтальным направлением. Какую силу прикладывает рабочий в случае, когда эта сила направлена перпендикулярно доске? Найдите силу реакции опоры по модулю и направлению.

К задаче 3

Составим уравнение моментов относительно точки опоры доски:

    \[N \cdot0-mg  \cos{\alpha}\cdot \frac{l}{2}+Fl=0\]

Откуда находим:

    \[F= mg  \cos{\alpha}\cdot \frac{1}{2}=400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=100\sqrt{3}=173\]

Определим теперь силу трения:

    \[F_{tr}=F \sin{\alpha}=173 \frac{1}{2}=86,5\]

Найдем вертикальную составляющую силы реакции опоры:

    \[N_v+ F \cos{\alpha}-mg=0\]

Откуда

    \[N_v=mg- F \cos{\alpha}=400-173\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=250\]

Тогда сила реакции опоры равна по модулю:

    \[N=\sqrt{ N_v ^2+ F_{tr}^2}=\sqrt{250^2+86,5^2}=264\]

И направлена она под углом \beta к горизонту, а этот угол можно найти как арктангенс отношения вертикальной составляющей силы реакции опоры к силе трения:

    \[\beta=\operatorname{arctg}{\frac{ N_v }{ F_{tr}}=\operatorname{arctg}{2,9}=71^{\circ}\]

Ответ: F=173 Н, N=264 Н, \beta=71^{\circ}.
Задача 4. Однородная балка массой M и длиной l подвешена за концы на двух пружинах. Обе пружины в ненагруженном состоянии имеют одинаковую длину, но при действии одинаковой нагрузки удлинение правой пружины в n раз больше, чем удлинение левой. На каком расстоянии от левого конца балки надо положить груз массой m, чтобы балка приняла горизонтальное положение?

К задаче 4

Рассмотрим рисунок и составим систему уравнений: одно относительно точки A прикрепления левой пружины, второе – относительно точки B прикрепления правой.

    \[\begin{Bmatrix}{ F_1\cdot0-mgx-Mg\frac{l}{2}+F_2 l =0}\\{F_2\cdot0+mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}-F_1l=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ F_2 l =mgx+Mg\frac{l}{2}}\\{ F_1l=mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}}\end{matrix}\]

Из условия, что «при действии одинаковой нагрузки удлинение правой пружины в n раз больше, чем удлинение левой» заключаем, что \frac{k_1}{k_2}=n. На правой части рисунка видно, что \Delta x_1=\Delta x_2=\Delta x, следовательно, можно записать

    \[F_1=k_1\Delta x\]

    \[F_2=k_2\Delta x\]

Разделим теперь первое уравнение системы на второе:

    \[\frac{F_2}{F_1}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{1}{n}=\frac{ mgx+Mg\frac{l}{2}}{ mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}}\]

Разделим теперь еще  на l:

    \[\frac{1}{n}=\frac{ 2mg\frac{x }{ l }+Mg}{ 2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg}\]

    \[2mg\frac{x }{ l }+Mg=\frac{1}{n}\left(2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg \right)\]

    \[\left(2mg\frac{x }{ l }+Mg\right)n= 2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg\]

    \[2m\frac{x }{ l }(n+1)= 2m+M(1- n)\]

    \[x=\frac{2m+M(1- n)}{ 2m(n+1) }l\]

Ответ: x=\frac{2m+M(1- n)}{ 2m(n+1) }l

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *