Статика с жидкостями – 2

[latexpage]

Те же уравнения моментов, те же уравнения условий равновесия – но к ним добавится сила Архимеда.

Задача 6. Цилиндр, разделенный на 4 равных сектора, плотности которых составляют $\rho$, $3\rho$, $2\rho$, $5\rho$ соответственно, может свободно вращаться вокруг центральной оси, проходящей через его центр. Цилиндр опускают в кювету с жидкостью, имеющей плотность $4\rho$ до тех пор, пока уровень жидкости не достигает оси цилиндра. После чего цилиндр раскручивают, и он, сделав несколько оборотов, останавливается. Найдите для каждого сектора долю погруженной части.

Рисунок к задаче 6

Решение.

Центр масс цилиндра мы найдем с помощью формулы.

Определяем координаты центра тяжести

Давайте определим его координаты:

$$x_0=\frac{x_1m_1+x_2m_2+x_3m_3+x_4m_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{am+a\cdot 5m-a\cdot 2m-a\cdot 3m}{m+3m+2m+5m}=\frac{am}{11m}=\frac{a}{11}$$

$$y_0=\frac{y_1m_1+y_2m_2+y_3m_3+y_4m_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{ a\cdot 2m +a\cdot 5m- am -a\cdot 3m}{m+3m+2m+5m}=\frac{3am}{11m}=\frac{3a}{11}$$

Если на втором рисунке провести линию, соединяющую точку начала координат с точкой центра масс, она будет иметь тангенс угла наклона, равный 3. Но, когда цилиндр отпустят, он остановится в таком положении, при котором центр масс и точка приложения силы Архимеда окажутся на одной вертикали. А так как цилиндр симметричный, точка приложения силы Архимеда и центр диска тоже расположены на одной вертикали. То есть цилиндр повернется таким образом, что проведенный нами отрезок, соединяющий центр масс и центр цилиндра, повернется и установится вертикально.

$$\operatorname{tg}\alpha=3$$

$$\alpha =71,6^{\circ}$$

Нарисуем новое положение цилиндра:

Новое положение цилиндра при равновесии

Видно, что самый плотный сектор погружен на 100%, сектор плотностью $3\rgo$ – не погружен (0%). Сектор плотностью $2\rho$ погружен на $71,6^{\circ}$  – это составляет 79,6%. А наименее плотный сектор будет погружен на 20,4%.

Ответ: сектор плотностью $5\rgo$ погружен на 100%, сектор плотностью $3\rgo$ – не погружен (0%). Сектор плотностью $2\rho$ погружен на 79,6%. А наименее плотный сектор будет погружен на 20,4%.

Задача 7. Легкий сосуд с жидкостью плотности $\rho_0=1200$ кг/м$^3$

стоит на двух симметричных опорах. Над одной из них внутри сосуда привязан ко дну полностью погруженный в жидкость поплавок объемом

$V=10$ см$^3$ и плотностью $\rho=500$ кг/м$^3$. Над другой опорой висит привязанный снаружи шарик того же объема и втрое большей плотности. Найдите модуль разности сил реакции опор.

К задаче 7

Решение.

Отметим точку $O$ – центр сосуда. Относительно этой точки составим уравнение моментов:

$$N_1 x=(N_2+T)x$$

$$N_1-N_2=T$$

Запишем также уравнение равновесия по второму закону Ньютона:

$$mg-F_A+T=0$$

Сопоставляем два уравнения:

$$F_A-mg=N_1-N_2$$

$$ N_1-N_2=\rho_0 gV-\rho gV=gV(\rho_0-\rho)=10\cdot 10\cdot 10^{-6}\cdot700 =70\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 70 мН.

Задача 8. В систему, находящуюся в равновесии, входят рычаг, кювета с жидкостью, тело массы $m=1$ кг , подвешенное на нити, перекинутой через блок, и противовес. В результате удлинения нити тело оказывается наполовину погруженным в жидкость. На какую величину $\Delta m$ следует изменить массу противовеса, чтобы сохранить равновесие системы? Плотности жидкости и погруженного в нее тела равны. Постройте график зависимости изменения массы противовеса от доли погруженного объема тела.

К задаче 8

Решение.

Нарисуем первоначальную расстановку сил:

Расстановка сил в задаче 8

Сила давления со стороны дна сосуда приложена к центру дна сосуда. Так как  $T=mg$, то после погружения сила натяжения нити уменьшается вдвое: ведь появилась сила Архимеда, которая в силу равенства плотностей тела и жидкости равна $\frac{mg}{2}$:

$$mg=F_A+T’$$

$$T’=mg-F_A=mg-\frac{mg}{2}=\frac{mg}{2}$$

Когда тело погружается и возникает сила Архимеда, то по третьему закону Ньютона такая же сила начинает действовать со стороны жидкости на дно. Поэтому правило моментов для правого рисунка относительно точки опоры:

$$\Delta mg\cdot 5x=\frac{mg}{2}\cdot x+\frac{mg}{2}\cdot 3x$$

Формула представляет собой разность двух уравнений по правилу моментов: составляем уравнение моментов для левого рисунка, затем для правого и вычитаем их друг из друга. В левой части формулы – изменения, связанные с изменением массы. В правой части формулы изменения, связанные  с изменением силы натяжения нити и возникновением силы Архимеда, а она изменила силу давления на дно.

$$\Delta mg\cdot 5x=2mgx$$

$$\Delta m=\frac{2mx}{5x}=0,4m$$

Если погрузить все тело, то нить ослабнет и уравнение моментов станет таким:

$$\Delta m_{max} g\cdot 5x=mgx+3mgx$$

$$\Delta m_{max} g\cdot 5x=4mgx$$

$$\Delta m_{max}=0,8m$$

График представлен на рисунке:

График зависимости массы перегрузка от доли погруженной части правого груза

Ответ: $0,4m$

Задача 9. Тонкий стержень постоянного сечения состоит из двух частей. Первая из них имеет длину $l_1=10$ см и плотность $\rho_1=1, 5$г/см$^3$, вторая –плотность $\rho_2=0,5$ г/см$^3$ . При какой длине $l_2$ второй части стержня он будет вертикально плавать в воде?

К задаче 9

Решение. Условие плавания стержня:

$$(m_1+m_2)g=F_A$$

$$(\rho_1 l_1S+\rho_2 l_2 S)g=\rho g l S$$

$$\rho_1 l_1+\rho_2 l_2 =\rho l S$$

$$1,5l_1+0,5l_2 =l$$

$$3l_1+l_2 =2l$$

$$l=\frac{3l_1+l_2}{2}$$

Здесь $l$ – глубина подводной части (к ее центру будет приложена сила Архимеда).

Откуда следует, что $l_2>l_1$.

Чтобы стержень находился в вертикальном положении, да еще устойчивом, необходимо, чтобы возникал момент, который будет возвращать стержень в вертикальное положение, если его немного отклонить.

Сила тяжести приложена к центру тяжести стержня. Его координата может быть определена как

$$x=\frac{x_1m_1+x_2m_2}{m_1+m_2}=\frac{\frac{l_1}{2}\cdot S\cdot l_1\rho_1+(\frac{l_2}{2}+l_1)\cdot S\cdot l_2\rho_2}{l_1\cdot\rho_1S+ l_2\cdot\rho_2S }$$

$$x=\frac{3l_1^2+2l_1l_2+l_2^2}{2(3l_1+ l_2)}$$

Точка приложения силы Архимеда

$$\frac{l}{2}=\frac{3l_1+l_2}{4}$$

Уравнение моментов, вернее, неравенство, с тем, чтобы стержень возвращался в вертикальное положение:

$$(m_1+m_2)g\cdot \frac{3l_1^2+2l_1l_2+l_2^2}{2(3l_1+ l_2)}<F_A\cdot \frac{3l_1+l_2}{4}$$

Откуда

$$(3l_1+ l_2)^2<2(3l_1^2+2l_1l_2+l_2^2)$$

$$9l_1^2+6l_1l_2+l_2^2<6l_1^2+4l_1l_2+2l_2^2$$

$$3l_1^2+2l_1l_2-l_2^2<0$$

$$D=4l_2^2+3\cdot4\cdot l_2^2=16l_2^2$$

$$l_1=\frac{-2l_2\pm 4l_2}{6}=\frac{l_2}{3}$$

Значит,

$$l_2<3l_1$$

Ответ: вторая часть стержня длиннее 10 см и менее 30 см.