Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Архимеда, Статика

Статика с жидкостями – 1

Те же уравнения моментов, те же уравнения условий равновесия – но к ним добавится сила Архимеда.

Задача 1. Из одинаковых кубиков строят объемную пирамиду из десяти рядов, верхние три ряда которой изображены на рисунке. Кубики жестко скреплены между собой. Если эту пирамиду опустить в сосуд с бензином, плотность которого равна 800 кг/м^3, то она будет плавать, погружаясь в бензин ровно на три нижних ряда. Определите плотность жидкости, в которой эта пирамида будет плавать, погрузившись ровно на один нижний ряд.

Пирамида из первой задачи

Решение.

Раз пирамида плавает, значит, выполнено условие плавания:

    \[Mg=F_{A1}\]

Масса пирамиды

    \[M=m_0\cdot (1+2^2+3^3+\ldots 10^2)\]

Где m_0 – масса одного кубика.

Сила Архимеда будет равна

    \[F_{A1}=\rho_b \cdot g\cdot (8^2+9^2+10^2)V_0\]

Где V_0 – объем кубика.

Записываем условие плавания, подставляя в него массу пирамиды и силу Архимеда:

    \[m_0g\cdot (1+2^2+3^3+\ldots 10^2)= \rho_b \cdot g\cdot (8^2+9^2+10^2)V_0\]

 

Для второй жидкости

    \[Mg=F_{A2}\]

    \[F_{A2}=\rho_2 \cdot g\cdot 10^2\cdot V_0\]

Условие плавания:

    \[m_0g\cdot (1+2^2+3^3+\ldots 10^2)= \rho_2 \cdot g\cdot 10^2\cdot V_0\]

И теперь удобнее всего разделить оба уравнения по условиям плавания друг на друга:

    \[1=\frac{\rho_2}{\rho_b }\cdot \frac{10^2}{8^2+9^2+10^2}\]

    \[\rho_2=\rho_b\cdot \frac{8^2+9^2+10^2}{10^2}=2,45\rho_b =1960\]

Ответ: плотность второй жидкости 1960 кг/м^3.

 

Задача 2. «Газированный» айсберг представляет собой плоскую ледяную пластину толщиной 40 см, плотность которой из-за неравномерного распределения пузырьков газа линейно меняется от 0,5  г/см^3  до 0,9 г/ см^3. Найдите высоту надводной части айсберга.

Решение. Определим среднюю плотность айсберга:

    \[\rho_{sr}=\frac{\rho_1+\rho_2}{2}=\frac{0,5+0,9}{2}=0,7\]

Условие его плавания

    \[Mg=\rho_0 g V_{pogr}\]

Распишем массу айсберга через объем и среднюю плотность:

    \[\rho_{sr}\cdot S\cdot h\cdot g=\rho_0 g S h_{pogr}\]

    \[\rho_{sr}\cdot h=\rho_0 \cdot h_{pogr}\]

    \[h_{pogr}=\frac{\rho_{sr}\cdot h }{\rho_0 }=\frac{0,7\cdot 0,4}{1}=0,28\]

Таким образом, над водой находится

    \[h_{nad}=h- h_{pogr}=0,4-0,28=0,12\]

Ответ: над водой у айсберга 12 см.

Задача 3. Два одинаковых по форме цилиндрических однородных поплавка с помощью лески удерживаются погруженными в воду наполовину. Определите отношение масс поплавков. Лески вертикальны.

Поплавки из задачи 3

Решение. Силы Архимеда здесь одинаковы – так как погружен один и тот же объем у обоих поплавков. И приложены они одинаково: к центру погруженного объема.

Силы, действующие на поплавки

Запишем правило моментов для каждого случая: для левого поплавка – относительно точки крепления нити. Тогда плечо силы натяжения нити – нулевое и она выбывает из игры:

    \[m_1g\cdot \frac{l}{2}=F_A\cdot \frac{3l}{4}\]

Для правого поплавка – относительно точки крепления нити, с той же целью – исключить из уравнения эту силу:

    \[m_2g\cdot \frac{l}{2}=F_A\cdot \frac{l}{4}\]

Тогда, разделив уравнения, получим:

    \[\frac{m_1}{m_2}=\frac{3}{1}\]

Ответ: массы отличаются втрое.

 

Задача 4. Сосуд глубиной H заполнен жидкостью, плотность которой линейно увеличивается от \rho_0 на поверхности до \rho на дне сосуда. В сосуд погружают два маленьких шарика одного и того же объема V, связанных тонкой нитью длины l . Плотность одного шарика \rho_1, а второго – \rho_2. Через некоторое время шарики устанавливаются так, как показано на рисунке. Найдите силу натяжения нити.

Шарики, задача 4

Решение. Запишем уравнения условия равновесия для каждого шара и объединим их в систему. Для верхнего:

    \[F_{A1}=m_1g+T\]

Для нижнего:

    \[F_{A2}+T=m_2g\]

Вычтем уравнения.

    \[F_{A1}- F_{A2}=(m_1-m_2)g+2T\]

Разность сил Архимеда определяется различной плотностью жидкости на разной глубине:

    \[F_{A1}- F_{A2}=\Delta \rho g V\]

В свою очередь,

    \[\Delta \rho=(\rho-\rho_0)\frac{l}{H}\]

Так как по условию, плотность меняется линейно. Предыдущую формулу очень легко получить, если нарисовать график изменения плотности с глубиной и на нем выделить подобные треугольники.

Тогда:

    \[(\rho-\rho_0)\frac{l}{H} gV=(m_1-m_2)g+2T\]

    \[(\rho-\rho_0)\frac{l}{H} gV=(\rho_1-\rho_2)gV+2T\]

    \[T=\frac{(\rho-\rho_0)\frac{l}{H}-(\rho_1-\rho_2)}{2}\cdot gV\]

Ответ: T=\frac{(\rho-\rho_0)\frac{l}{H}-(\rho_1-\rho_2)}{2}\cdot gV

Задача 5. Два одинаковых шероховатых кирпича положили на дно аквариума. После этого в аквариум стали наливать воду. Зависимость силы F давления кирпичей на дно аквариума от высоты h слоя налитой воды изображена на графике. Определите длины a, b, c     ребер кирпичей и плотность \rho           материала, из которого они изготовлены.

Кирпичи в аквариуме

Решение. На графике хорошо заметны два излома. Очевидно, эти изломы соответствуют изменению сечения кирпича: первый излом там, где граница между кирпичами, второй – там, где кромка воды. Если ширина кирпича a, а высота – b, то b=5 см – по первому участку графика. Теперь разберемся с силой. Она равна

    \[F=Mg-F_A\]

    \[\Delta F=-\Delta F_A=-\rho_0 g S \Delta h\]

На первом участке отношение

    \[\frac{\Delta F }{\Delta h}=-\rho_0 g S\]

Это угловой коэффициент прямой зависимости силы от глубины. Он для первого участка по графику равен -4 Н/см, или -400 Н/м.  То есть

    \[\rho_0 g S=400\]

    \[10^4\cdot ac=400\]

    \[ac=0,04\]

На втором участке отношение

    \[\frac{\Delta F }{\Delta h}=-\rho_0 g S_1=-200\]

    \[10^4\cdot ab=200\]

    \[ab=0,02\]

    \[a=\frac{0,02}{b}=\frac{0,02}{0,05}=0,4\]

Следовательно,

    \[c=0,1\]

Сила давления у дна равна

    \[F_0=2\rho g abc=80\]

    \[\rho=\frac{F_0}{2g abc}=\frac{80}{2\cdot 10\cdot 0,4\cdot 0,05\cdot 0,1}=2000\]

Ответ:  плотность кирпичей 2000 кг/м^3, размеры 40 на 10 на 5 см.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *