Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика при наличии трения-2

Задача в этой статье одна, но она заняла много места…

Задача 5. Тонкая прямая однородная палочка покоится на однородной поверхности, коэффициент трения между ними \mu. Если действовать на эту палочку силой, направленной строго вдоль ее, то она начнет двигаться если величина этой силы достигнет F_1. Найти минимальную силу, способную заставить палочку прийти в движение для трех вариантов нарушения равновесия:

а) отрыв палочки от поверхности;

б) продольное скольжение палочки по поверхности;

в) поперечное скольжение палочки по поверхности (сопровождающееся поворотом) под действием горизонтальной силы.

Решение.

Сила, с которой можно палочку сдвинуть, равна

    \[F_1=\mu N=\mu mg\]

а) Отрывать проще, если плечо силы максимально. Тогда сама сила – минимальна.

К пункту а)

    \[F_{2min}l=\frac{mgl}{2}\]

    \[F_{2min}=\frac{mg}{2}\]

Значит,

    \[F_{2min}=\frac{mg}{2}=\frac{F_1}{2\mu}\]

б) Тащить палочку можно с силой F_3

К пункту б)

    \[F_3\cos \alpha -\mu N=0\]

    \[N+F_3\sin\alpha=mg\]

Тогда

    \[F_3\cos \alpha -\mu(mg- F_3\sin\alpha)=0\]

    \[F_3=\frac{\mu m g }{\cos \alpha +\mu\sin\alpha}\]

Тогда сила F_3 минимальна, если знаменатель дроби максимален: \cos \alpha +\mu\sin\alpha \rightarrow max.

Возьмем производную, чтобы найти этот максимум:

    \[-\sin \alpha+\mu \cos\alpha=0\]

    \[\mu=\operatorname{tg}\alpha\]

Тогда

    \[1+\mu^2=\frac{1}{\cos^2 \alpha}\]

    \[\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{\mu^2+1}}\]

    \[\sin \alpha=\frac{\mu }{\sqrt{\mu^2+1}}\]

Тогда

    \[F_3=\frac{\mu m g \sqrt{\mu^2+1}}{\mu^2+1}=\frac{\mu m g }{\sqrt{\mu^2+1}}=\frac{F_1}{\sqrt{\mu^2+1}}\]

Как найти максимум знаменателя, не зная производной? С помощью введения дополнительного угла!

    \[f(\alpha)= \sqrt{\mu^2+1}\left(\frac{1}{\sqrt{\mu^2+1}}\cos\alpha+\frac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}}\sin \alpha\right)= \sqrt{\mu^2+1}\sin (\alpha+\varphi)\]

    \[f(\alpha)_{max}= \sqrt{\mu^2+1}\]

в) Третий случай – поворот. Разобьем палочку на малые кусочки. Каждый испытывает на себе действие силы трения. Относительно точки O запишем уравнение моментов:

Вид сверху

    \[F_4\cdot x=\mu \cdot m\frac{x}{l} \cdot g\cdot \frac{x}{2}+\mu \cdot m\frac{l-x}{l} \cdot g\cdot \frac{l-x}{2}\]

 

    \[F_4=\mu \cdot m\frac{1}{l} \cdot g\cdot \frac{x}{2}+\mu \cdot m\frac{l-x}{l} \cdot g\cdot \frac{l-x}{2x}\]

    \[F_4=\frac{\mu \cdot m g}{2l}\cdot \left(x+\frac{(l-x)^2}{x}\right)\]

    \[F_4=\frac{F_1}{2l}\cdot \left(x+\frac{(l-x)^2}{x}\right)\]

    \[F_4=\frac{F_1}{2l}\cdot \left(\frac{x^2+l^2-2xl+x^2}{x}\right)\]

    \[F_4=\frac{F_1}{2l}\cdot \left(2x-2l+\frac{l^2}{x}\right)\]

Сила будет минимальной, когда содержимое скобки будет минимально. На 2l мы не можем повлиять, а сумма 2x+\frac{l^2}{x} минимизируется по неравенству Коши: сумма минимальна при равенстве этих двух слагаемых:

    \[2x=\frac{l^2}{x}\]

    \[2x^2=l^2\]

    \[x=\frac{l}{\sqrt{2}}\]

Подставим:

    \[F_4=\frac{F_1}{2l}\cdot \left(2x-2l+\frac{l^2}{x}\right)=\frac{F_1}{2l}\cdot \left(\sqrt{2}l-2l+\frac{l^2\sqrt{2}}{l}\right)=\frac{F_1}{2l}\cdot (2\sqrt{2}l-2l)=F_1(\sqrt{2}-1)\]

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *