Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика при наличии трения-1

Продолжаем решать задачи на статику. Теперь будут блоки и палочки, и будет присутствовать трение.

Задача 1. В системе, изображённой на рисунке, все блоки невесомые, нити лёгкие и нерастяжимые, трения в осях блоков нет.

К задаче 1

Участки нитей, не лежащие на блоках, горизонтальны. Массы брусков, указанные на рисунке, известны. Модуль максимальной силы трения между бруском M и площадкой, на которой он лежит, равен F .

Чему может быть равна масса m_x левого бруска для того, чтобы система находилась в равновесии?

Расставим силы

Решение. Запишем условия равновесия и отсутствия проскальзывания:

    \[N=Mg\]

    \[T_0=m_0g\]

    \[T_x=m_xg\]

    \[\mid F_{tr}\mid <\mu N\]

    \[2T_0-2T_x- F_{tr}=0\]

Получаем, что

    \[-\mu N <F_{tr}<\mu N\]

    \[-\mu N <2T_0-2T_x <\mu N\]

    \[-\mu Mg <2m_0g-2m_xg <\mu Mg\]

    \[-\frac{\mu M}{2} <m_0-m_x <\frac{\mu M}{2}\]

    \[-\frac{\mu M}{2}- m_0< -m_x <\frac{\mu M}{2}-m_0\]

    \[m_0+\frac{\mu M}{2}> m_x > m_0-\frac{\mu M}{2}\]

Так как максимальная сила трения равна

    \[F=\mu m g\]

То

    \[m_0-\frac{F}{2g}< m_x < m_0+\frac{F}{2g}\]

Если окажется, что m_0 \ll \frac{F}{2g}, то m_x < m_0+\frac{F}{2g}.

Ответ: m_0-\frac{F}{2g}< m_x < m_0+\frac{F}{2g}

 

Задача 2. Неоднородный груз массой 4m подвешен при помощи системы блоков так, как показано на рисунке.

К задаче 2

Нити и блоки очень лёгкие, свободные участки нитей вертикальны, трения в осях блоков нет. К свободному концу нити, перекинутой через блоки, прикреплён противовес массой m. Участок этой же нити, находящийся между грузом и правым блоком, проходит через небольшое отверстие в неподвижной перегородке. При скольжении нити в отверстии возникает сила трения F=10H, действующая на нить со стороны стенок перегородки.

а) При каких значениях массы m противовеса система может оставаться в равновесии?

б) Где должен находиться центр масс неоднородного груза для того, чтобы равновесие было возможным?

в) Чему равен модуль силы трения F_1 , и в какую сторону она направлена при m = 0, 7 кг ?

Решение.

Расставим силы

На систему тел, обведенную фиолетовым, действует общая сила 3T. А

    \[T=mg\]

Также на эту систему тел действует сила тяжести 4mg. То есть без трения в перегородке равновесие невозможно.

Условия равновесия:

    \[2T+T_1=4mg\]

    \[T_1-T<F\]

Следовательно,

    \[2T+T_1<3T+F=3mg+F\]

    \[4mg<3mg+F\]

    \[m<\frac{F}{g}=1\]

Итак, масса m<1 кг.

Определим T_1.

    \[2T+T_1=4mg\]

    \[T_1=4mg-2T=4mg-2mg=2mg\]

Так как обе силы равны (T=T_1), то центр масс неоднородного груза должен находиться по центру.

Сила трения в перегородке направлена вверх. Для нее

    \[F_1=T_1-T=mg=7\]

Ответ: масса m<1 кг; центр масс неоднородного груза должен находиться по центру; F_1=7 Н.

Задача 3. На горизонтальном полу стоит табуретка массой M = 4,5 кг.

К задаче 3

Высота табуретки h = 45 см , а расстояние между её ножками d = 30 см. Коэффициент трения между ножками и полом \mu = 0,4. Экспериментатор Глюк привязал к середине стороны сиденья табуретки невесомую нерастяжимую нить, перекинутую через блок. На втором конце нити висит ведёрко с водой. Масса ведерка вместе с водой  m=0,6 кг. Экспериментатор Глюк опустил в ведерко тонкую трубку с внутренним диаметром D=4 мм, по которой в ведерко стала доливаться вода с постоянной скоростью  \upsilon=0,2 м/с. Плотность воды \rho=1000 кг/м^3, ускорение свободного падения можно считать равным g=10 м/с^2. Через какое время после этого табуретка придет в движение? Как начнет двигаться табуретка: скользить, двигаясь поступательно, или опрокидываться, поворачиваясь вокруг некоторой оси?

Решение.

Наклоним немного табурет и расставим силы:

Уравнение моментов относительно точки приложения силы реакции опоры

    \[Fh=Mg\cdot \frac{d}{2}\]

    \[F=\frac{Mgd}{2h}\]

Но по условию

    \[F=(m+m_{vody})g\]

Если эта сила больше, чем \frac{Mgd}{2h}, то начнется опрокидывание. То есть

    \[(m+m_{vody})g\geqslant \frac{Mgd}{2h}\]

    \[m+m_{vody}\geqslant \frac{Md}{2h}\]

    \[m_{vody}\geqslant \frac{Md}{2h }-m=\frac{4,5\cdot 0,3}{2\cdot 0,45}-0,6=0,9\]

Теперь рассмотрим вариант со скольжением табуретки. Для этого сила F должна быть больше силы трения скольжения:

    \[F\geqslant \mu N=\mu Mg\]

    \[(m+m_{vody})g \geqslant \mu Mg\]

    \[m+m_{vody} \geqslant \mu M\]

    \[m_{vody} \geqslant \mu M-m=0,4\cdot 4,5-0,6=1,2\]

Как видно, чтобы табуретка начала проскальзывать, в ведерко нужно долить большее количество воды. Значит, она опрокинется.

Теперь определим время, за которое в ведерко нальется 0,9 кг воды.

За время t из трубки выльется «цилиндр» воды объемом

    \[\frac{V}{t}=\frac{Sh}{t}=\frac{\pi D^2}{4t}h=\frac{\pi D^2}{4}\upsilon\]

    \[m_{vody}=\rho V=\rho \frac{\pi D^2}{4}\upsilon t\]

    \[t=\frac{m_{vody}}{\rho\frac{\pi D^2}{4}\upsilon}=\frac{0,9}{10^3\cdot\frac{\pi 0,004^2}{4}\cdot 0,2}=358\]

Ответ: табуретка опрокинется через 358 с.

Задача 4. Две тонкие палочки одинаковой длины с массами m и 2m образуют букву «Т» (палочка массой 2m прикреплена к середине палочки массой m под прямым углом к ней).

К задаче 4

Палочки лежат на шероховатой горизонтальной поверхности. К одному из концов палочки m привязана нить, за которую систему палочек медленно тянут по поверхности. Какой угол \alpha составляет палочка m с нитью?

Решение. Когда конструкцию тянут, на обе палочки действуют силы трения.

Силы трения на обе палочки

    \[F_{tr1}=\mu mg\]

    \[F_{tr2}=2\mu mg\]

Составим уравнение моментов:

    \[2\mu mg x=\mu mg y\]

    \[2x=y\]

Так как на рисунке

Подобные треугольники

    \[DB=y\]

    \[CA=x+y=3x=1,5y\]

А

    \[CB=\frac{l}{2}\]

То из подобия

    \[\frac{CF}{FB}=\frac{1}{2}\]

    \[CF=\frac{l}{6}\]

    \[FB=\frac{2l}{6}\]

Тогда

    \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{FB}{BO}=\frac{\frac{l}{3}}{\frac{l}{2}}=\frac{2}{3}\]

Ответ: \operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *