Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Статика

Статика. Правило моментов -2

В задачах, связанных с равновесием тел, нужно, как правило, найти две силы (или больше) которые стремятся это тело повернуть по и против часовой стрелки. Если моменты этих сил равны, тело будет находиться в равновесии. А чтобы рассчитать момент, нужно также правильно определить плечо силы: это расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Задача 1. Однородная доска массой 10 кг подперта на расстоянии \frac{1}{4} ее длины. Какую силу, перпендикулярную доске, надо приложить к ее короткому концу, чтобы удержать доску в равновесии?

К задаче 1

Эта задача легко решается, если применить понятие центра масс. То есть будем считать всю массу доски сосредоточенной в одной точке – центре масс. Центр масс – такая точка, что если в ней установить опору, то предмет (в данном случае, доска) будет находиться в равновесии, потому что суммарный момент всех элементарных масс предмета относительно этой точки равен нулю. У однородных предметов (доска, балка, рельс, бревно, труба) центр масс находится посередине. Действительно, если подпереть ровную, одинаковую по толщине доску посередине – она будет находиться в равновесии. Это знают даже самые маленькие: ведь они любят кататься на качелях. Вернемся к задаче. Итак, раз доска однородна (ее толщина и ширина одинаковы по всей длине L), то ее центр масс находится в центре, а мы по условию подперли доску на расстоянии \frac{1}{4} длины. Следовательно, если считать всю массу доски сосредоточенной в центре масс, то по правилу моментов

    \[\frac{L}{4}\cdot Mg=F\cdot \left(\frac{L}{2}-\frac{L}{4}\right)\]

    \[F=Mg=100\]

Ответ: доску придется удерживать с силой 100 Н, равной ее весу.
Задача 2. Бревно длиной L=12 м можно уравновесить в горизонтальном положении на подставке,  отстоящей на d_1=3 м от его толстого конца. Если же подставка находится в d_2=6 м от толстого конца и на тонкий конец сядет рабочий массой 60 кг,  бревно снова будет в равновесии. Определите массу бревна.

К задаче 2

Снова прибегнем к помощи центра масс. Если в первом случае бревно находилось в равновесии, то центр масс находится в трех метрах от толстого конца бревна. Будем считать весь вес бревна сосредоточенным в центре масс, тогда для второй ситуации запишем правило моментов:

    \[Mg\cdot \left(\frac{L}{2}-d_1 \right)=mg \cdot d_2\]

    \[M=\frac{ m \cdot d_2}{\frac{L}{2}-d_1}=\frac{ 60 \cdot 6}{6-3}=120\]

Ответ: M=120 кг

 

Задача 3. Рельс длиной 10 м и массой 900 кг поднимают на двух параллельных тросах. Найдите силу натяжения тросов, если один из них укреплен на конце рельса, а другой – на расстоянии 1 м от другого конца.

К задаче 3

Составим два уравнения: сначала относительно точки крепления одного троса, затем – другого. Тогда для точки A:

    \[mg\cdot (\frac{l}{2}-1)-T_2\cdot (l-1)=0\]

Относительно точки B:

    \[mg\cdot \frac{l}{2}-T_1\cdot (l-1)=0\]

Из первого уравнения получим силу натяжения правого троса:

    \[T_2=\frac{mg(l-2)}{2(l-1)}= \frac{9000(10-2)}{2(10-1)}=4000\]

Из второго уравнения

    \[T_1=\frac{mgl}{2(l-1)}=\frac{90000}{2(10-1)}=5000\]

Ответ: T_1=5 кН, T_2=4 кН.

 
Задача 4. К балке массой 200 кг и длиной 5 м подвешен груз массой 350 кг на расстоянии 3 м от одного из концов. Балка своими концами лежит на опорах. Каковы силы давления на каждую из опор?

Задача 4

Задача очень похожа на предыдущую. Снова запишем правило моментов относительно точек обеих опор.

Относительно точки D:

    \[Mg \cdot \frac{L}{2}+mg \cdot (L-3)=N_2L\]

Относительно точки C:

    \[Mg \cdot \frac{L}{2}+mg \cdot (L-2)=N_1L\]

Тогда:

    \[N_1=\frac{ Mg \cdot \frac{L}{2}+mg \cdot (L-2)}{L}=3100\]

    \[N_2=\frac{ Mg \cdot \frac{L}{2}+mg \cdot (L-3)}{L}=2400\]

Ответ: N_1=3,1 кН, n_2=2,4 кН.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *