В этой статье я собрала задачи для подготовки к олимпиадам разного уровня и для разных классов. Некоторые подойдут для 8, другие – для 9-го класса. Все они были предложены на различных олимпиадах.
Задача 1. Имеются два скрепленных блока, радиусы которых отличаются в два раза (см. рис.). Радиус меньшего блока равен см. К блокам с помощью ниток и крюков подвешивают тонкую однородную палку длины
м так, что вся конструкция оказывается в равновесии. Каково расстояние от левого крюка до правого конца палки?
Чтобы вся система была в равновесии, центр тяжести палки, а значит, и ее центр, должны быть строго под осью двойного блока. Обозначим расстояния от центра палки до места крепления нитей и
.

Рисунок 1 (к задаче 1)
Тогда относительно точки приложения силы
А относительно точки приложения силы
Разделим уравнения друг на друга:
Для того, чтобы сам блок находился в равновесии и не прокручивался, надо, чтобы выполнялось условие равенства моментов обеих сил натяжения нитей:
То есть
Тогда , искомое расстояние
м.
Ответ: 0,7 м.
Задача 2. Маша и Петя качаются на массивном бревне. Известно, что бревно уравновешено, если Маша сидит на одном, а Петя на другом конце бревна. Если же подвинуть бревно, и Маша с Петей сядут на один конец вместе, то система тоже будет находиться в равновесии. Бревно имеет длину м, в первом случае длина левой части бревна
м, во втором случае она составляет
см. Определите, во сколько раз отличаются массы Маши и Пети.

Рисунок 2 (к задаче 2)
В первом случае плечо силы тяжести Пети () – 1 м, плечо силы тяжести Маши (
) – 2 м. Плечо силы тяжести бревна – 0,5 м. Уравнение моментов тогда будет выглядеть так:
Или, упрощая,
Или

Рисунок 3 (к задаче 2)
Во втором случае наше уравнение моментов выглядит так:
Приравняем обе массы бревна, полученные из первого и второго условий.
Тогда
Ответ: Петя тяжелее Маши втрое.
Задача 3. Планка массой и два одинаковых груза массой
каждый с помощью лёгких нитей прикреплены к двум блокам. Система находятся в равновесии. Определите силы натяжения нитей и силы, с которыми подставка действует на грузы. Трения в осях блоков нет.
Сделаем рисунок:

Рисунок 4 (к задаче 3)
Пусть нить над первым блоком натянута с силой , а над блоком 2 – с силой
. Можно расписать силы, действующие на каждую из 4-х нитей, однако сейчас для решения этой задачи проще объединить планку с блоками в одно неделимое целое, и тогда рисунок изменится и упростится:

Рисунок 5 (к задаче 3)
Теперь не нужно рассматривать натяжение каждой из нитей, достаточно сил и
. Тогда относительно точки
:
А относительно точки
Из этих уравнений находим
Теперь можно перейти к силам натяжения отдельных нитей. Для первого блока они равны , а для второго
.

Рисунок 6 (к задаче 3)
Рассмотрим каждый груз отдельно.

Рисунок 7 (к задаче 3)
Для левого
Откуда
Для правого
Откуда
Ответ: Для первого блока силы натяжения отдельных нитей равны , а для второго
.
Силы реакции опоры равны ,
.
Задача 4. Доска массой и длиной
лежит , выступая на
своей длины, на краю обрыва. Длина
м. К свисающему краю доски с помощью невесомых блоков и нитей прикреплен противовес, имеющий массу
. На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой
, чтобы доска оставалась горизонтальной?
Рассмотрим рисунок. Человек может смещаться по доске и вправо, и влево. Если он сдвигается вправо, в сторону обрыва, доска может начать клониться правым концом вниз, в обрыв. При этом точкой опоры доске будет служить край обрыва – точка . Поэтому в этом случае уравнение моментов запишем относительно этой точки.

Рисунок 8 (к задаче 4)
Так как масса груза справа известна, то он действует с силой на правый нижний блок:
– так удобно обозначить, так как нити, удерживающие этот блок, тогда натянуты с силами
, а нити, удерживающие малый нижний блок, тогда натянуты с силами
.
Плечо силы тяжести доски относительно – 0,5 м, плечо силы тяжести человека –
, плечо силы
– 2 м, плечо силы
– 3 м. Тогда наше уравнение моментов таково:
Подставим вместо , тогда
Или м.
Теперь посмотрим, что будет, сместись человек влево. В этом случае доска может начать приподниматься (правым концом вверх), опираясь на левый конец (точка ). Плечо силы тяжести доски относительно
– 3,5 м, плечо силы тяжести человека –
, плечо силы
– 6 м, плечо силы
– 7 м. Тогда запишем уравнение моментов относительно этой точки опоры.
Подставим вместо , тогда
Или м.
Ответ: человек может сместиться вправо на 1,5 м, или влево на 2,5 м.
Тут я с Вами полностью...
Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не...
Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы,...
Согласна, решать можно по-разному, и ваше решение строже, чем мое. И бог с ними, с...
Здравствуйте! Благодарю Вас за варианты, которые Вы создаете. Заметила небольшое...