Статика: подготовка к олимпиадам

В этой статье я собрала задачи для подготовки к олимпиадам разного уровня и для разных классов. Некоторые подойдут для 8, другие – для 9-го класса. Все они были предложены на различных олимпиадах.

Задача 1. Имеются два скрепленных блока, радиусы которых отличаются в два раза (см. рис.). Радиус меньшего блока равен  см. К блокам с помощью ниток и крюков подвешивают тонкую однородную палку длины  м так, что вся конструкция оказывается в равновесии. Каково расстояние от левого крюка до правого конца палки?

Чтобы вся система была в равновесии, центр тяжести палки, а значит, и ее центр, должны быть строго под осью двойного блока. Обозначим расстояния от центра палки до места крепления нитей и .

Рисунок 1 (к задаче 1)

Тогда относительно точки приложения силы

А относительно точки приложения силы 

Разделим уравнения друг на друга:

Для того, чтобы сам блок находился в равновесии и не прокручивался, надо, чтобы выполнялось условие равенства моментов обеих сил натяжения нитей:

То есть

Тогда , искомое расстояние м.

Ответ: 0,7 м.

Задача 2. Маша и Петя качаются на массивном бревне. Известно, что бревно уравновешено, если Маша сидит на одном, а Петя на другом конце бревна.  Если же подвинуть бревно, и Маша с Петей сядут на один конец вместе, то система тоже будет находиться в равновесии. Бревно имеет длину м, в первом случае длина левой части бревна м, во втором случае она составляет см. Определите, во сколько раз отличаются массы Маши и Пети.

Рисунок 2 (к задаче 2)

В первом случае плечо силы тяжести Пети () – 1 м, плечо силы тяжести Маши () – 2 м. Плечо силы тяжести бревна – 0,5 м. Уравнение моментов тогда будет выглядеть так:

Или, упрощая,

Или

Рисунок 3 (к задаче 2)

Во втором случае наше уравнение моментов выглядит так:

Приравняем обе массы бревна, полученные из первого и второго условий.

Тогда

Ответ: Петя тяжелее Маши втрое.

Задача 3. Планка массой и два одинаковых груза массой каждый с помощью лёгких нитей прикреплены к двум блокам. Система находятся в равновесии. Определите силы натяжения нитей и силы, с которыми подставка действует на грузы. Трения в осях блоков нет.

Сделаем рисунок:

Рисунок 4 (к задаче 3)

Пусть нить над первым блоком натянута с силой , а над блоком 2 – с силой . Можно расписать силы, действующие на каждую из 4-х нитей, однако сейчас для решения этой задачи проще объединить планку с блоками в одно неделимое целое, и тогда рисунок изменится и упростится:

Рисунок 5 (к задаче 3)

Теперь не нужно рассматривать натяжение каждой из нитей, достаточно сил и . Тогда относительно точки :

А относительно точки

Из этих уравнений находим

Теперь можно перейти к силам натяжения отдельных нитей. Для первого блока они равны , а для второго .

Рисунок 6 (к задаче 3)

Рассмотрим каждый груз отдельно.

Рисунок 7 (к задаче 3)

Для левого

Откуда

Для правого

Откуда

Ответ: Для первого блока силы натяжения отдельных нитей  равны , а для второго .

Силы реакции опоры равны , .

Задача 4. Доска массой и длиной лежит , выступая на своей длины, на  краю обрыва. Длина м. К свисающему краю доски с помощью невесомых блоков и нитей  прикреплен противовес, имеющий массу . На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой , чтобы доска оставалась горизонтальной?

Рассмотрим рисунок. Человек может смещаться по доске и вправо, и влево. Если он сдвигается вправо, в сторону обрыва, доска может начать клониться правым концом вниз, в обрыв. При этом точкой опоры доске будет служить край обрыва – точка . Поэтому в этом случае уравнение моментов запишем относительно этой точки.

Рисунок 8 (к задаче 4)

Так как масса груза справа известна, то он действует с силой на правый нижний блок: – так удобно обозначить, так как нити, удерживающие этот блок, тогда натянуты с силами , а нити, удерживающие малый нижний блок, тогда натянуты с силами .

Плечо силы тяжести доски относительно – 0,5 м, плечо силы тяжести человека – , плечо силы – 2 м, плечо силы – 3 м. Тогда наше уравнение моментов таково:

Подставим вместо , тогда

Или м.

Теперь посмотрим, что будет, сместись человек влево. В этом случае доска может начать приподниматься (правым концом вверх), опираясь на левый конец (точка ). Плечо силы тяжести доски относительно – 3,5 м, плечо силы тяжести человека – , плечо силы – 6 м, плечо силы – 7 м. Тогда запишем уравнение моментов относительно этой точки опоры.

Подставим вместо , тогда

Или м.

Ответ: человек может сместиться вправо на 1,5 м, или влево на 2,5 м.