Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика: подготовка к олимпиадам

В этой статье я собрала задачи для подготовки к олимпиадам разного уровня и для разных классов. Некоторые подойдут для 8, другие – для 9-го класса. Все они были предложены на различных олимпиадах.

Задача 1. Имеются два скрепленных блока, радиусы которых отличаются в два раза (см. рис.). Радиус меньшего блока равен r = 10 см. К блокам с помощью ниток и крюков подвешивают тонкую однородную палку длины L = 1 м так, что вся конструкция оказывается в равновесии. Каково расстояние от левого крюка до правого конца палки?

Чтобы вся система была в равновесии, центр тяжести палки, а значит, и ее центр, должны быть строго под осью двойного блока. Обозначим расстояния от центра палки до места крепления нитей d и l.

Рисунок 1 (к задаче 1)

Тогда относительно точки приложения силы F_1

    \[d\cdot mg=F_2(d+l)\]

А относительно точки приложения силы  F_1

    \[l\cdot mg=F_1(d+l)\]

Разделим уравнения друг на друга:

    \[\frac{d}{l}=\frac{F_2}{F_1}\]

Для того, чтобы сам блок находился в равновесии и не прокручивался, надо, чтобы выполнялось условие равенства моментов обеих сил натяжения нитей:

    \[F_1\cdot 2r=F_2\cdot r\]

То есть

    \[\frac{F_2}{F_1}=2\]

Тогда d=2r, l=r, искомое расстояние x=0,5+d=0,5+0,2=0,7 м.

Ответ: 0,7 м.

Задача 2. Маша и Петя качаются на массивном бревне. Известно, что бревно уравновешено, если Маша сидит на одном, а Петя на другом конце бревна.  Если же подвинуть бревно, и Маша с Петей сядут на один конец вместе, то система тоже будет находиться в равновесии. Бревно имеет длину l=3 м, в первом случае длина левой части бревна a=1 м, во втором случае она составляет c=50 см. Определите, во сколько раз отличаются массы Маши и Пети.

Рисунок 2 (к задаче 2)

В первом случае плечо силы тяжести Пети (m_1) – 1 м, плечо силы тяжести Маши (m_2) – 2 м. Плечо силы тяжести бревна – 0,5 м. Уравнение моментов тогда будет выглядеть так:

    \[m_1g\cdot a=Mg\cdot(\frac{l}{2}-a)+m_2g\cdot(l-a)\]

Или, упрощая,

    \[m_1\cdot 1=M\cdot(1,5-1)+m_2\cdot(3-1)\]

    \[m_1=0,5M+2m_2\]

Или

    \[M=2m_1-4m_2\]

Рисунок 3 (к задаче 2)

Во втором случае наше уравнение моментов выглядит так:

    \[Mg\cdot (\frac{l}{2}-c) =(m_1+m_2)g\cdot c\]

    \[M =0,5(m_1+m_2)\]

Приравняем обе массы бревна, полученные из первого и второго условий.

    \[2m_1-4m_2=0,5(m_1+m_2)\]

    \[1,5m_1=4,5m_2\]

Тогда

    \[\frac{m_1}{m_2}=\frac{4,5}{1,5}=3\]

Ответ: Петя тяжелее Маши втрое.

Задача 3. Планка массой m и два одинаковых груза массой 2m каждый с помощью лёгких нитей прикреплены к двум блокам. Система находятся в равновесии. Определите силы натяжения нитей и силы, с которыми подставка действует на грузы. Трения в осях блоков нет.

Сделаем рисунок:

Рисунок 4 (к задаче 3)

Пусть нить над первым блоком натянута с силой T_1, а над блоком 2 – с силой T_2. Можно расписать силы, действующие на каждую из 4-х нитей, однако сейчас для решения этой задачи проще объединить планку с блоками в одно неделимое целое, и тогда рисунок изменится и упростится:

Рисунок 5 (к задаче 3)

Теперь не нужно рассматривать натяжение каждой из нитей, достаточно сил T_1 и T_2. Тогда относительно точки P:

    \[2mg\cdot l+mg\cdot 3l+2mg\cdot 7l-T_2\cdot 6l=0\]

А относительно точки Q

    \[2mg\cdot 5l+mg\cdot 3l-2mg\cdot l-T_1\cdot 6l=0\]

Из этих уравнений находим

    \[T_2=\frac{19mgl}{6l}=\frac{19mg}{6}\]

    \[T_1=\frac{11mg}{6}\]

Теперь можно перейти к силам натяжения отдельных нитей. Для первого блока они равны \frac{T_1}{2}=\frac{11mg}{12}, а для второго \frac{T_1}{2}=\frac{19mg}{12}.

Рисунок 6 (к задаче 3)

Рассмотрим каждый груз отдельно.

Рисунок 7 (к задаче 3)

Для левого

    \[N_1+\frac{T_1}{2}=2mg\]

Откуда

    \[N_1=2mg-\frac{T_1}{2}=\frac{13mg}{12}\]

Для правого

    \[N_2+\frac{T_2}{2}=2mg\]

Откуда

    \[N_2=2mg-\frac{T_2}{2}=\frac{5mg}{12}\]

Ответ: Для первого блока силы натяжения отдельных нитей  равны \frac{T_1}{2}=\frac{11mg}{12}, а для второго \frac{T_1}{2}=\frac{19mg}{12}.

Силы реакции опоры равны N_1=\frac{13mg}{12}, N_2=\frac{5mg}{12}.

Задача 4. Доска массой m и длиной L лежит , выступая на \frac{3}{7} своей длины, на  краю обрыва. Длина \frac{L}{7}=1 м. К свисающему краю доски с помощью невесомых блоков и нитей  прикреплен противовес, имеющий массу 4m. На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой 3m, чтобы доска оставалась горизонтальной?

Рассмотрим рисунок. Человек может смещаться по доске и вправо, и влево. Если он сдвигается вправо, в сторону обрыва, доска может начать клониться правым концом вниз, в обрыв. При этом точкой опоры доске будет служить край обрыва – точка P. Поэтому в этом случае уравнение моментов запишем относительно этой точки.

Рисунок 8 (к задаче 4)

Так как масса груза справа известна, то он действует с силой 4T на правый нижний блок: 4mg=4T – так удобно обозначить, так как нити, удерживающие этот блок, тогда натянуты с силами 2T, а нити, удерживающие малый нижний блок, тогда натянуты с силами T.

Плечо силы тяжести доски относительно P – 0,5 м, плечо силы тяжести человека – x_1, плечо силы T – 2 м, плечо силы 2T – 3 м. Тогда наше уравнение моментов таково:

    \[mg\cdot0,5+2T\cdot3-3mg\cdot x_1-T\cdot2=0\]

Подставим вместо T=mg, тогда

    \[mg\cdot0,5+2mg\cdot3=3mg\cdot x_1+mg\cdot2=0\]

Или x_1=1,5 м.

Теперь посмотрим, что будет, сместись человек влево. В этом случае доска может начать приподниматься (правым концом вверх), опираясь на левый конец (точка Q). Плечо силы тяжести доски относительно Q – 3,5 м, плечо силы тяжести человека – 4-x_2, плечо силы T – 6 м, плечо силы 2T – 7 м. Тогда запишем уравнение моментов относительно этой точки опоры.

    \[mg\cdot3,5-2T\cdot7+3mg\cdot(4-x_2)+T\cdot6=0\]

Подставим вместо T=mg, тогда

    \[mg\cdot3,5 +3mg\cdot (4-x_2) +mg\cdot6=2mg\cdot7\]

Или x_2=2,5 м.

Ответ: человек может сместиться вправо на 1,5 м, или влево на 2,5 м.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *