Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика. Подготовка к олимпиадам, 10 класс.

Задачи этой статьи уже появлялись (в статье, ориентированной на 8 класс, подготовка к олимпиадам ). Но не все. Вообще тем, кто готовится, очень советую не пренебрегать статьями для 8 класса – там очень хорошие задачи, многие из которых лучше этих.

Задача 1. Тонкий однородный стержень длиной l=2 м, сделанный из материала с плотностью \rho=0,91 г/см^3, шарнирно прикреплен к стенке бассейна и опирается на дно так, что составляет угол \alpha=60^\circ с вертикалью. В бассейн начинают наливать воду. При какой высоте уровня воды стержень перестанет давить на дно? Ускорение свободного падения g=10 м/с^2. Плотность воды \rho_{_B}=1000 кг/м^3. Ответ дать в сантиметрах, округлив до целых.

К задаче 1

Решение.

Расставим силы на стержень. Сила Архимеда приложена к центру тяжести вытесненной воды, сила тяжести – к центру масс стержня. Запишем уравнение моментов относительно шарнира.

    \[\rho\cdot l\cdot S\cdot g\cdot\frac{l}{2}\cdot\sin\alpha=S\cdot\rho_{_B}\cdot g\cdot\frac{h}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha\left(l-\frac{h}{2\cos\alpha}\right).\]

Упрощая и решая квадратное уравнение, получаем, что

    \[h=l\cdot\cos\alpha\left(1-\sqrt{1-\frac{\rho}{\rho_{_B}}}\right)=70.\]

Здесь выбран меньший из корней квадратного уравнения, иначе уровень жидкости превысил бы высоту шарнира.

Ответ: 70 см.

 

Задача 2. В цилиндрический сосуд массой M=10 кг и площадью дна S=100 см^2 налита вода до уровня h=1 м. Вода сверху закрыта поршнем, в котором имеется крючок. Каким будет давление под поршнем, если сосуд приподнять за этот крючок? Атмосферное давление равно p_{_A}=100 кПа. Ускорение свободного падения g=10 м/с^2. Ответ дать в кПа, округлив до целых. Плотность воды \rho=1000 кг/м^3.

К задаче 2

Решение.

На цилиндр, кроме силы тяжести, действуют еще силы давления со стороны атмосферы (вверх) и со стороны воды с давлением у дна (вниз). Запишем условие равновесия цилиндра:

    \[M\cdot g+(p+\rho\cdot g\cdot h)\cdot S=p_{_A}\cdot S,\]

откуда

    \[p= p_{_A}-\rho\cdot g\cdot h-\frac{M\cdot g}{S}=80.\]

Ответ: 80 кПа.

Задача 3. Тележка приводится в движение пружиной. В начальном состоянии тележка удерживается нитью, а пружина растянута силой F=2 Н. Точка крепления пружины к колесу находится на расстоянии L=10 см над центром колеса. Радиус колеса тележки равен R=20 см, а масса тележки m=1 кг. С каким ускорением начнет двигаться тележка, если перерезать нить? Массой колес пренебречь. Считать, что колеса не проскальзывают. Ответ дать в м/с^2, округлив до целых.

К задаче 3

 

Решение.

Сила, приводящая систему в движение, есть сила упругости, действующая со стороны пружины на колесо. Важно понять, какую силу она сообщает посредством жесткого колеса массивной тележке, которая начинает двигаться. Тележка движется за счет силы трения покоя, возникающей в точке касания колеса с поверхностью. Сила F создает вращательный момент FL относительно центра колеса. Этот момент и передается силе трения. Тогда можно записать равенство моментов сил относительно центра колеса:

    \[FL=F_{mp}R\]

Тогда F_{mp}=F\frac{L}{R}. Согласно второму закону Ньютона, именно эта сила двигает массивную тележку вперед и ее ускорение будет равно

    \[a=\frac{F_{mp}}{m}=\frac{FL}{mR}=1.\]

Ответ: 1 м/с^2.

 

Задача 4. Четыре одинаковых ледяных бруска длиной L=24 см сложены так, как показано на рисунке. Каким может быть максимальное расстояние d, при условии, что все бруски расположены горизонтально? Считайте, что все бруски гладкие, и что сила тяжести приложена к центру соответствующего бруска. Ответ дать в см, округлив до целых.

Решение.

Система, состоящая из четырех брусков, будет находиться в равновесии, при условии, что сумма моментов сил, действующих на бруски 1 и 2, равна нулю. Запишем уравнение моментов для бруска 1 относительно точки O. Сила тяжести приложена к центру бруска. Поскольку он сдвинут на \frac{d}{2}, то и плечо силы тяжести \frac{d}{2}. Сила реакции от верхнего бруска P делится поровну и равна \frac{mg}{2}. Тогда

    \[\frac{mgd}{2}=\frac{mg}{2}\cdot\left(\frac{L}{2}-\frac{d}{2}\right),\]

откуда d=\frac{L}{3}=8см.

Ответ: 8 см.

Задача 5. Легкий рычаг изогнут так, что стороны его AB=2AC=2CD=2L образуют друг с другом прямые углы. Ось рычага находится в точке C. Перпендикулярно плечу рычага AC в точке B приложена сила F=28 Н. Определить минимальное значение силы, которую нужно приложить в точке D, чтобы рычаг остался в равновесии. Ответ дать в Н, округлив до целых.

Решение.

Из уравнения моментов относительно точки C следует, что уравновешивающая сила, приложенная к точке D будет минимальна, если максимально ее плечо. Из геометрии рычага, максимальное плечо равно длине отрезка CD=L. Тогда минимальная сила F_D=F=28 Н.

Ответ: 28 Н.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *