Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика. Готовимся к олимпиадам.

Хорошие, крепкие задачки, для подготовки к олимпиадам – самое то! Решайте больше, покоряйте их, берите измором и наскоком – как получится.

Задача 1. На земле лежат вплотную друг к другу два одинаковых бревна цилиндрической формы. Сверху кладут такое же бревно. При каком коэффициенте трения \mu между бревнами они не раскатятся? По земле бревна не скользят. Ответ округлить до сотых.

Решение.

На рисунке указаны силы, действующие на левое нижнее бревно ( те, которые имеют ненулевой вращающий момент относительно точки А)

К задаче 1

Условием равновесия является равенство величин вращающих моментов сил N и F_{mp} относительно точки А. Учитывая, что N образует с вертикалью угол 30^{\circ}, а F_{mp} — угол 60^{\circ}, получаем: N\cdot l_1=F_{mp}\cdot l_2, где l_1=R\cdot\sin 30^\circ, а l_2=R(1+\cos 30^\circ).

Отсюда

    \[\mu_{min}=\frac{F_{mp}}{N}=\frac{1}{2+\sqrt 3}\approx 0,27.\]

Ответ: 0,27.

 

Задача 2. Изогнутая проволока массой m=400 г подвешена на нити за середину. Правый конец согнут в средней части так, что он составляет прямой угол с другой частью проволоки. Какую силу нужно приложить к левому концу проволоки, чтобы проволока располагалась горизонтально? Ответ выразить в мН, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}.

К задаче 2

Решение.

Если обозначить длину рычага за L, то сила тяжести левой половины стержня приложена в центре тяжести левой половины, то есть на расстоянии \frac{L}{4} от точки подвеса. Сила тяжести правой горизонтальной части приложена также посередине этой части, то есть на расстоянии \frac{L}{8} от точки подвеса. Сила тяжести вертикального (согнутого) конца имеет плечо \frac{L}{4} от точки подвеса.

Тогда, с учетом того, что плечо силы F равно \frac{L}{2}, можно записать уравнение моментов:

    \[\frac{mg}{4}\cdot \frac{L}{4}+\frac{mg}{4}\cdot \frac{L}{8}+F\cdot \frac{L}{2}=\frac{mg}{2}\cdot \frac{L}{4}\]

Откуда искомая сила

    \[F=\frac{1}{16}mg=250.\]

Ответ: 250 мН.

Задача 3. К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки так, как показано на рисунке. Радиус оси катушки r=0,5 см, радиус её щёчек R=10 см. Коэффициент трения между стенкой и катушкой \mu=0,1. При каком угле \alpha между нитью и стенкой катушка висит неподвижно? Ответ выразить в градусах, округлив до целых.

К задаче 3

Решение.

Расставим силы, действующие на катушку. По второму закону Ньютона в проекциях на горизонтальную ось

    \[N=T\cdot \sin\alpha.\]

Запишем уравнение моментов относительно центра катушки (силы N и mg имеют нулевые длины плечей):

    \[T\cdot r=F_{mp}\cdot R.\]

При максимальном угле \alpha сила трения покоя является максимально возможной, поэтому F_{mp}=\mu N=\mu\cdot T \sin\alpha. Подставляя полученное значение F_{mp} в уравнение моментов, получаем

    \[T\cdot r=\mu\cdot T\cdot R\cdot\sin\alpha,\]

откуда

    \[\sin\alpha=\frac{r}{\mu\cdot R}=\frac{1}{2},\]

Следовательно,

    \[\alpha=30^\circ.\]

Ответ: 30^\circ.

 

Задача 4. Механическая система, параметры которой приведены на рисунке, находится в состоянии равновесия. Зная углы \alpha=30^{\circ} и \beta=60^{\circ} и массу m_1=2 кг, найти массу m_2. Ответ выразить в кг, округлив до целых.

К задаче 4

Решение.

Пусть T_1, T_2 и T — соответственно силы натяжения левой, правой и средней нитей. Поскольку средняя нить невесома, силы, действующие на нее, скомпенсированы. Таким образом, для равенства сил в проекциях на горизонтальную ось можно записать

    \[T_1\cdot \cos\alpha=T_2\cdot \cos\beta=T.\]

Второй закон Ньютона для первого груза (на вертикальную ось) может быть записан и преобразован:

    \[m_1\cdot g=T_1\cdot \sin\alpha=\frac{T}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha=T\cdot \operatorname{tg}{\alpha}.\]

Аналогично для второго груза

    \[m_2\cdot g=T\cdot \operatorname{tg}{\beta}.\]

Разделив одно  на другое, имеем

    \[m_2=m_1\cdot \frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}=6.\]

Ответ: 6 кг.

Задача 5. Однородная балка массой M=10 кг и длиной l=2,4 м подвешена за концы на двух пружинах. Обе пружины в ненагруженном состоянии имеют одинаковую длину, но при действии одинаковой силы удлинение правой в n=5 раз больше чем у левой. На каком расстоянии S от левого конца балки надо положить груз массой m=40 кг, чтобы балка приняла горизонтальное положение? Ответ выразить в см, округлив до целых.

К задаче 5

Решение.

Рассмотрим рисунок и составим систему уравнений: одно относительно точки A прикрепления левой пружины, второе – относительно точки B прикрепления правой.

    \[\begin{Bmatrix}{ F_1\cdot0-mgx-Mg\frac{l}{2}+F_2 l =0}\\{F_2\cdot0+mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}-F_1l=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ F_2 l =mgx+Mg\frac{l}{2}}\\{ F_1l=mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}}\end{matrix}\]

Из условия, что «при действии одинаковой нагрузки удлинение правой пружины в n раз больше, чем удлинение левой» заключаем, что \frac{k_1}{k_2}=n. На правой части рисунка видно, что \Delta x_1=\Delta x_2=\Delta x, следовательно, можно записать

    \[F_1=k_1\Delta x\]

    \[F_2=k_2\Delta x\]

Разделим теперь первое уравнение системы на второе:

    \[\frac{F_2}{F_1}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{1}{n}=\frac{ mgx+Mg\frac{l}{2}}{ mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}}\]

Разделим теперь еще  на l:

    \[\frac{1}{n}=\frac{ 2mg\frac{x }{ l }+Mg}{ 2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg}\]

    \[2mg\frac{x }{ l }+Mg=\frac{1}{n}\left(2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg \right)\]

    \[\left(2mg\frac{x }{ l }+Mg\right)n= 2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg\]

    \[2m\frac{x }{ l }(n+1)= 2m+M(1- n)\]

    \[x=\frac{2m+M(1- n)}{ 2m(n+1) }l=\frac{80+10(1- 5)}{ 2\cdot 40(5+1) }\cdot 2,4=0,2\]

Ответ: 20 см.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *