Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика. Готовимся к олимпиадам.

[latexpage]

Хорошие, крепкие задачки, для подготовки к олимпиадам – самое то! Решайте больше, покоряйте их, берите измором и наскоком – как получится.

Задача 1. На земле лежат вплотную друг к другу два одинаковых бревна цилиндрической формы. Сверху кладут такое же бревно. При каком коэффициенте трения $\mu$ между бревнами они не раскатятся? По земле бревна не скользят. Ответ округлить до сотых.

Решение.

На рисунке указаны силы, действующие на левое нижнее бревно ( те, которые имеют ненулевой вращающий момент относительно точки А)

К задаче 1

Условием равновесия является равенство величин вращающих моментов сил $N$ и $F_{mp}$ относительно точки А. Учитывая, что $N$ образует с вертикалью угол $30^{\circ}$, а $F_{mp}$ — угол $60^{\circ}$, получаем: $N\cdot l_1=F_{mp}\cdot l_2$, где $l_1=R\cdot\sin 30^\circ$, а $l_2=R(1+\cos 30^\circ)$.

Отсюда

$$\mu_{min}=\frac{F_{mp}}{N}=\frac{1}{2+\sqrt 3}\approx 0,27.$$

Ответ: 0,27.

 

Задача 2. Изогнутая проволока массой $m=400$ г подвешена на нити за середину. Правый конец согнут в средней части так, что он составляет прямой угол с другой частью проволоки. Какую силу нужно приложить к левому концу проволоки, чтобы проволока располагалась горизонтально? Ответ выразить в мН, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/$c^{2}.$

К задаче 2

Решение.

Если обозначить длину рычага за $L$, то сила тяжести левой половины стержня приложена в центре тяжести левой половины, то есть на расстоянии $\frac{L}{4}$ от точки подвеса. Сила тяжести правой горизонтальной части приложена также посередине этой части, то есть на расстоянии $\frac{L}{8}$ от точки подвеса. Сила тяжести вертикального (согнутого) конца имеет плечо $\frac{L}{4}$ от точки подвеса.

Тогда, с учетом того, что плечо силы $F$ равно $\frac{L}{2}$, можно записать уравнение моментов:

$$\frac{mg}{4}\cdot \frac{L}{4}+\frac{mg}{4}\cdot \frac{L}{8}+F\cdot \frac{L}{2}=\frac{mg}{2}\cdot \frac{L}{4}$$

Откуда искомая сила

$$F=\frac{1}{16}mg=250.$$

Ответ: 250 мН.

Задача 3. К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки так, как показано на рисунке. Радиус оси катушки $r=0,5$ см, радиус её щёчек $R=10$ см. Коэффициент трения между стенкой и катушкой $\mu=0,1$. При каком угле $\alpha$ между нитью и стенкой катушка висит неподвижно? Ответ выразить в градусах, округлив до целых.

К задаче 3

Решение.

Расставим силы, действующие на катушку. По второму закону Ньютона в проекциях на горизонтальную ось

$$N=T\cdot \sin\alpha.$$

Запишем уравнение моментов относительно центра катушки (силы $N$ и $mg$ имеют нулевые длины плечей):

$$T\cdot r=F_{mp}\cdot R.$$

При максимальном угле $\alpha$ сила трения покоя является максимально возможной, поэтому $F_{mp}=\mu N=\mu\cdot T \sin\alpha.$ Подставляя полученное значение $F_{mp}$ в уравнение моментов, получаем

$$T\cdot r=\mu\cdot T\cdot R\cdot\sin\alpha,$$

откуда

$$\sin\alpha=\frac{r}{\mu\cdot R}=\frac{1}{2},$$

Следовательно,

$$\alpha=30^\circ.$$

Ответ: $30^\circ$.

 

Задача 4. Механическая система, параметры которой приведены на рисунке, находится в состоянии равновесия. Зная углы $\alpha=30^{\circ}$ и $\beta=60^{\circ}$ и массу $m_1=2$ кг, найти массу $m_2$. Ответ выразить в кг, округлив до целых.

К задаче 4

Решение.

Пусть $T_1$, $T_2$ и $T$ — соответственно силы натяжения левой, правой и средней нитей. Поскольку средняя нить невесома, силы, действующие на нее, скомпенсированы. Таким образом, для равенства сил в проекциях на горизонтальную ось можно записать

$$T_1\cdot \cos\alpha=T_2\cdot \cos\beta=T.$$

Второй закон Ньютона для первого груза (на вертикальную ось) может быть записан и преобразован:

$$m_1\cdot g=T_1\cdot \sin\alpha=\frac{T}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha=T\cdot \operatorname{tg}{\alpha}.$$

Аналогично для второго груза

$$m_2\cdot g=T\cdot \operatorname{tg}{\beta}.$$

Разделив одно  на другое, имеем

$$m_2=m_1\cdot \frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}=6.$$

Ответ: 6 кг.

Задача 5. Однородная балка массой $M=10$ кг и длиной $l=2,4$ м подвешена за концы на двух пружинах. Обе пружины в ненагруженном состоянии имеют одинаковую длину, но при действии одинаковой силы удлинение правой в $n=5$ раз больше чем у левой. На каком расстоянии $S$ от левого конца балки надо положить груз массой $m=40$ кг, чтобы балка приняла горизонтальное положение? Ответ выразить в см, округлив до целых.

К задаче 5

Решение.

Рассмотрим рисунок и составим систему уравнений: одно относительно точки $A$ прикрепления левой пружины, второе – относительно точки $B$ прикрепления правой.

$$\begin{Bmatrix}{ F_1\cdot0-mgx-Mg\frac{l}{2}+F_2 l =0}\\{F_2\cdot0+mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}-F_1l=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ F_2 l =mgx+Mg\frac{l}{2}}\\{ F_1l=mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}}\end{matrix}$$

Из условия, что «при действии одинаковой нагрузки удлинение правой пружины в $n$ раз больше, чем удлинение левой» заключаем, что $\frac{k_1}{k_2}=n$. На правой части рисунка видно, что $\Delta x_1=\Delta x_2=\Delta x$, следовательно, можно записать

$$F_1=k_1\Delta x$$

$$F_2=k_2\Delta x$$

Разделим теперь первое уравнение системы на второе:

$$\frac{F_2}{F_1}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{1}{n}=\frac{ mgx+Mg\frac{l}{2}}{ mg (l-x)+Mg\frac{l}{2}}$$

Разделим теперь еще  на $l$:

$$\frac{1}{n}=\frac{ 2mg\frac{x }{ l }+Mg}{ 2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg}$$

$$2mg\frac{x }{ l }+Mg=\frac{1}{n}\left(2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg \right)$$

$$\left(2mg\frac{x }{ l }+Mg\right)n= 2mg -2mg\frac{x }{ l }+Mg$$

$$2m\frac{x }{ l }(n+1)= 2m+M(1- n)$$

$$x=\frac{2m+M(1- n)}{ 2m(n+1) }l=\frac{80+10(1- 5)}{ 2\cdot 40(5+1) }\cdot 2,4=0,2$$

Ответ: 20 см.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *