Средняя скорость

При решении этих задач обязательно помним, что средняя скорость может быть найдена только делением всего пути на все время движения, даже если какое-то время объект не двигался (делал остановку). Если путь не задан, то необходимо ввести буквенное обозначение длины пути.

Задача 1. Поезд прошел путь 200 км. В течение времени $t_1=1$ ч он двигался со скоростью $\upsilon_1=100$ км/ч, затем сделал остановку на время $t_2=30$ мин. Оставшуюся часть пути он шел со скоростью $\upsilon_3=40$ км/ч. Какова средняя скорость движения поезда?

Путь в этой задаче известен. Значит, осталось определить время движения поезда. Кроме того, известно и время его движения на первом участке, значит, нам осталось определить время движения поезда на последнем кусочке, где он двигался со скоростью $\upsilon_3=40$ км/ч. Нетрудно понять, что длина этого отрезка пути равна 100 км, так как поезд уже преодолел 100 км за первый час. Поэтому

$S_3=200-\upsilon_1 \cdot t_1=200-100$

$t_3=\frac{S_3}{\upsilon_3}=\frac{100}{40}=2,5$

Таким образом,

$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_1+t_2+t_3}=\frac{200}{1+0,5+2,5}=50$

Ответ: 50 км/ч

Задача 2. Определить среднюю скорость поезда, если первую половину пути он шел со скоростью $\upsilon_1=50$ км/ч, а вторую половину пути – со скоростью $\upsilon_2=100$ км/ч.

В этой задаче путь неизвестен. Обозначим его $S$ . Тогда время движения поезда на первой половине пути

$t_1=\frac{\frac{S}{2}}{\upsilon_1}$

Время движения на второй половине –

$t_1=\frac{\frac{S}{2}}{\upsilon_2}$

Средняя скорость – результат деления всего пути, пройденного поездом, на все время:

$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_1+t_2}$

$\upsilon_{sr}=\frac{S}{\frac{S}{2\upsilon_1}+\frac{S}{2\upsilon_2}}$

$\upsilon_{sr}=\frac{2}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}}$

$\upsilon_{sr}=\frac{2 \upsilon_1 \upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}$

$\upsilon_{sr}=\frac{2 \cdot50\cdot100}{150}=\frac{10000}{150}=66,7$

Ответ: $\upsilon_{sr}=66,7$ км/ч

Задача 3. Два автомобиля одновременно выехали из Москвы в Петербург. Один автомобиль первую половину пути ехал со скоростью $\upsilon_1=120$ км/ч, а вторую половину – со скоростью $\upsilon_2=80$ км/ч. Другой автомобиль первую половину времени ехал со скоростью $\upsilon_1=120$ км/ч, а вторую – со скоростью $\upsilon_2=80$ км/ч. Какой автомобиль приедет в Петербург раньше?

Если окажется, что средняя скорость одного из автомобилей больше, чем у другого, то он и должен прибыть раньше. Определим среднюю скорость каждого автомобиля. Первый:

$\upsilon_{sr1}=\frac{S}{t_1+t_2}$

$\upsilon_{sr1}=\frac{S}{\frac{S}{2\upsilon_1}+\frac{S}{2\upsilon_2}}$

$\upsilon_{sr1}=\frac{2}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}}$

$\upsilon_{sr1}=\frac{2 \upsilon_1 \upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}$

$\upsilon_{sr1}=\frac{2 \cdot120\cdot80}{200}=\frac{19200}{200}=96$

Второй за первую половину времени прошел:

$S_1=\frac{t}{2}\cdot \upsilon_1$

За вторую половину времени:

$S_2=\frac{t}{2}\cdot \upsilon_2$

Тогда его средняя скорость:

$\upsilon_{sr2}=\frac{S}{t}=\frac{S_1+S_2}{t}=\frac{t\cdot \upsilon_1+t\cdot\upsilon_2}{2t}=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}$

$\upsilon_{sr2}=\frac{120+80}{2}=100$

Таким образом, второй автомобиль прибудет раньше.

Задача 4. Найти среднюю скорость самолета, если известно, что первую треть пути он летел со скоростью $\upsilon_1=700$ км/ч, вторую треть – со скоростью $\upsilon_2=500$ км/ч, а последнюю часть пути – со скоростью, вдвое большей средней скорости на первых двух участках пути.

Найдем среднюю скорость самолета на двух первых участках пути.

$\upsilon_{sr12}=\frac{\frac{2S}{3}}{\frac{S}{3\upsilon_1}+\frac{S}{3\upsilon_2}}$

$\upsilon_{sr12}=\frac{2}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}}$

$\upsilon_{sr12}=\frac{2\upsilon_1 \upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}$

$\upsilon_{sr12}=\frac{2\cdot700 \cdot500}{700+500}=583$

Тогда $\upsilon_3=1166$ .

Определяем среднюю скорость на всем участке пути:

$\upsilon_{sr123}=\frac{S}{\frac{S}{3\upsilon_1}+\frac{S}{3\upsilon_2}+\frac{S}{3\upsilon_3}}$

$\upsilon_{sr123}=\frac{3}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}+\frac{1}{\upsilon_3}}$

$\upsilon_{sr123}=\frac{3\upsilon_1 \upsilon_2 \upsilon_3}{\upsilon_1\upsilon_2+\upsilon_2\upsilon_3+\upsilon_1\upsilon_3}$

$\upsilon_{sr123}=\frac{500\cdot700 \cdot1166}{500\cdot700+700\cdot1166+500\cdot1166}=700$

Ответ: 700 км/ч

Задача 5. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что на прохождение отдельных участков дистанции, длины которых относятся как $1: 3: 4: 2$ , потребовались промежутки времени, находящиеся в отношении $2:4:3:1$ , и на последнем участке скорость поезда $\upsilon=80$ км/ч. Считать, что на каждом из участков поезд двигался равномерно.