Средняя скорость

При решении этих задач обязательно помним, что средняя скорость может быть найдена только делением всего пути на все время движения, даже если какое-то время объект не двигался (делал остановку). Если путь не задан, то необходимо ввести буквенное обозначение длины пути.

[latexpage]

Задача 1. Поезд прошел путь 200 км. В течение времени $t_1=1$ ч он двигался со скоростью $\upsilon_1=100$ км/ч, затем сделал остановку на время $t_2=30$ мин. Оставшуюся часть пути он шел со скоростью $\upsilon_3=40$ км/ч. Какова средняя скорость движения поезда?

Путь в этой задаче известен. Значит, осталось определить время движения поезда. Кроме того, известно и время его движения на первом участке, значит, нам осталось определить время движения поезда на последнем кусочке, где он двигался со скоростью $\upsilon_3=40$ км/ч. Нетрудно понять, что длина этого отрезка пути равна 100 км, так как поезд уже преодолел 100 км за первый час. Поэтому

$$S_3=200-\upsilon_1 \cdot t_1=200-100$$

$$t_3=\frac{S_3}{\upsilon_3}=\frac{100}{40}=2,5$$

Таким образом,

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_1+t_2+t_3}=\frac{200}{1+0,5+2,5}=50$$

Ответ: 50 км/ч

Задача 2. Определить среднюю скорость поезда, если первую половину пути он шел со скоростью $\upsilon_1=50$ км/ч, а вторую половину пути  – со скоростью $\upsilon_2=100$ км/ч.

В этой задаче путь неизвестен. Обозначим его $S$. Тогда время движения поезда на первой половине пути

$$t_1=\frac{\frac{S}{2}}{\upsilon_1}$$

Время движения на второй половине –

$$ t_1=\frac{\frac{S}{2}}{\upsilon_2}$$

Средняя скорость – результат деления всего пути, пройденного поездом, на все время:

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_1+t_2}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{\frac{S}{2\upsilon_1}+\frac{S}{2\upsilon_2}}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{2}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{2 \upsilon_1 \upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{2 \cdot50\cdot100}{150}=\frac{10000}{150}=66,7$$

Ответ: $\upsilon_{sr}=66,7$ км/ч

Задача 3. Два автомобиля одновременно выехали из Москвы в Петербург.  Один автомобиль первую половину пути ехал со скоростью $\upsilon_1=120$ км/ч, а вторую половину – со скоростью $\upsilon_2=80$ км/ч. Другой автомобиль первую половину времени ехал со скоростью $\upsilon_1=120$ км/ч, а вторую – со скоростью $\upsilon_2=80$ км/ч. Какой автомобиль приедет в Петербург раньше?

Если окажется, что средняя скорость одного из автомобилей больше, чем у другого, то он и должен прибыть раньше. Определим среднюю скорость каждого автомобиля. Первый:

$$\upsilon_{sr1}=\frac{S}{t_1+t_2}$$

$$\upsilon_{sr1}=\frac{S}{\frac{S}{2\upsilon_1}+\frac{S}{2\upsilon_2}}$$

$$\upsilon_{sr1}=\frac{2}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}}$$

$$\upsilon_{sr1}=\frac{2 \upsilon_1 \upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}$$

$$\upsilon_{sr1}=\frac{2 \cdot120\cdot80}{200}=\frac{19200}{200}=96$$

Второй за первую половину времени прошел:

$$S_1=\frac{t}{2}\cdot \upsilon_1$$

За вторую половину времени:

$$S_2=\frac{t}{2}\cdot \upsilon_2$$

Тогда его средняя скорость:

$$\upsilon_{sr2}=\frac{S}{t}=\frac{S_1+S_2}{t}=\frac{t\cdot \upsilon_1+t\cdot\upsilon_2}{2t}=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}$$

$$\upsilon_{sr2}=\frac{120+80}{2}=100$$

Таким образом, второй автомобиль прибудет раньше.

Задача 4. Найти среднюю скорость самолета, если известно, что первую треть пути он летел со скоростью $\upsilon_1=700$ км/ч, вторую треть – со скоростью $\upsilon_2=500$ км/ч, а последнюю часть пути – со скоростью, вдвое большей средней скорости  на первых двух участках пути.

Найдем среднюю скорость самолета на двух первых участках пути.

$$\upsilon_{sr12}=\frac{\frac{2S}{3}}{\frac{S}{3\upsilon_1}+\frac{S}{3\upsilon_2}}$$

$$\upsilon_{sr12}=\frac{2}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}}$$

$$\upsilon_{sr12}=\frac{2\upsilon_1 \upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}$$

$$\upsilon_{sr12}=\frac{2\cdot700 \cdot500}{700+500}=583$$

Тогда $\upsilon_3=1166$.

Определяем среднюю скорость на всем участке пути:

$$\upsilon_{sr123}=\frac{S}{\frac{S}{3\upsilon_1}+\frac{S}{3\upsilon_2}+\frac{S}{3\upsilon_3}}$$

$$\upsilon_{sr123}=\frac{3}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}+\frac{1}{\upsilon_3}}$$

$$\upsilon_{sr123}=\frac{3\upsilon_1 \upsilon_2 \upsilon_3}{\upsilon_1\upsilon_2+\upsilon_2\upsilon_3+\upsilon_1\upsilon_3}$$

$$\upsilon_{sr123}=\frac{500\cdot700 \cdot1166}{500\cdot700+700\cdot1166+500\cdot1166}=700$$

Ответ: 700 км/ч

Задача 5. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что на прохождение отдельных участков дистанции, длины которых относятся как $1: 3: 4: 2$, потребовались промежутки времени, находящиеся в отношении $2:4:3:1$, и на последнем участке скорость поезда $\upsilon=80$ км/ч. Считать, что на каждом из участков поезд двигался равномерно.

Определим весь путь по его частям:

$$S_1:S_2:S_3:S_4=1: 3: 4: 2$$

Если $S_1=l$, то $S_2=3l$, $S_3=4l$, $S_4=2l$, а весь путь

$$ S_1+S_2+S_3+S_4=l+3l+4l+2l=10l$$

Определим время движения поезда на последнем участке, зная его скорость:

$$t_4=\frac{2l}{\upsilon }$$

Тогда, так как

$$t_1:t_2:t_3:t_4=2:4:3:1$$

Отсюда найдем $ t_1, t_2, t_3$:

$$t_3=3t_4=\frac{6l}{\upsilon }$$

$$t_2=\frac{4}{3}t_3=\frac{8l}{\upsilon }$$

$$t_1=\frac{1}{2}t_3=\frac{4l}{\upsilon }$$

Общее время движения:

$$t_1+t_2+t_3+t_4=\frac{4l}{\upsilon }+\frac{8l}{\upsilon }+\frac{6l}{\upsilon }+\frac{2l}{\upsilon }=\frac{20l}{\upsilon }$$

Наконец, находим среднюю скорость:

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}=\frac{10l}{\frac{20l}{\upsilon }}=\frac{\upsilon }{2}$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{80}{2}=40$$

Ответ: средняя скорость поезда – 40 км/ч.