Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью

Средняя скорость

При решении этих задач обязательно помним, что средняя скорость может быть найдена только делением всего пути на все время движения, даже если какое-то время объект не двигался (делал остановку). Если путь не задан, то необходимо ввести буквенное обозначение длины пути.

Задача 1. Поезд прошел путь 200 км. В течение времени t_1=1 ч он двигался со скоростью \upsilon_1=100 км/ч, затем сделал остановку на время t_2=30 мин. Оставшуюся часть пути он шел со скоростью \upsilon_3=40 км/ч. Какова средняя скорость движения поезда?

Путь в этой задаче известен. Значит, осталось определить время движения поезда. Кроме того, известно и время его движения на первом участке, значит, нам осталось определить время движения поезда на последнем кусочке, где он двигался со скоростью \upsilon_3=40 км/ч. Нетрудно понять, что длина этого отрезка пути равна 100 км, так как поезд уже преодолел 100 км за первый час. Поэтому

    \[S_3=200-\upsilon_1 \cdot t_1=200-100\]

    \[t_3=\frac{S_3}{\upsilon_3}=\frac{100}{40}=2,5\]

Таким образом,

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_1+t_2+t_3}=\frac{200}{1+0,5+2,5}=50\]

Ответ: 50 км/ч

 

Задача 2. Определить среднюю скорость поезда, если первую половину пути он шел со скоростью \upsilon_1=50 км/ч, а вторую половину пути  – со скоростью \upsilon_2=100 км/ч.

В этой задаче путь неизвестен. Обозначим его S. Тогда время движения поезда на первой половине пути

    \[t_1=\frac{\frac{S}{2}}{\upsilon_1}\]

Время движения на второй половине –

    \[t_1=\frac{\frac{S}{2}}{\upsilon_2}\]

Средняя скорость – результат деления всего пути, пройденного поездом, на все время:

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t_1+t_2}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{\frac{S}{2\upsilon_1}+\frac{S}{2\upsilon_2}}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2 \upsilon_1 \upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2 \cdot50\cdot100}{150}=\frac{10000}{150}=66,7\]

Ответ: \upsilon_{sr}=66,7 км/ч

 

Задача 3. Два автомобиля одновременно выехали из Москвы в Петербург.  Один автомобиль первую половину пути ехал со скоростью \upsilon_1=120 км/ч, а вторую половину – со скоростью \upsilon_2=80 км/ч. Другой автомобиль первую половину времени ехал со скоростью \upsilon_1=120 км/ч, а вторую – со скоростью \upsilon_2=80 км/ч. Какой автомобиль приедет в Петербург раньше?

Если окажется, что средняя скорость одного из автомобилей больше, чем у другого, то он и должен прибыть раньше. Определим среднюю скорость каждого автомобиля. Первый:

    \[\upsilon_{sr1}=\frac{S}{t_1+t_2}\]

    \[\upsilon_{sr1}=\frac{S}{\frac{S}{2\upsilon_1}+\frac{S}{2\upsilon_2}}\]

    \[\upsilon_{sr1}=\frac{2}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}}\]

    \[\upsilon_{sr1}=\frac{2 \upsilon_1 \upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}\]

    \[\upsilon_{sr1}=\frac{2 \cdot120\cdot80}{200}=\frac{19200}{200}=96\]

Второй за первую половину времени прошел:

    \[S_1=\frac{t}{2}\cdot \upsilon_1\]

За вторую половину времени:

    \[S_2=\frac{t}{2}\cdot \upsilon_2\]

Тогда его средняя скорость:

    \[\upsilon_{sr2}=\frac{S}{t}=\frac{S_1+S_2}{t}=\frac{t\cdot \upsilon_1+t\cdot\upsilon_2}{2t}=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}\]

    \[\upsilon_{sr2}=\frac{120+80}{2}=100\]

Таким образом, второй автомобиль прибудет раньше.

Задача 4. Найти среднюю скорость самолета, если известно, что первую треть пути он летел со скоростью \upsilon_1=700 км/ч, вторую треть – со скоростью \upsilon_2=500 км/ч, а последнюю часть пути – со скоростью, вдвое большей средней скорости  на первых двух участках пути.

Найдем среднюю скорость самолета на двух первых участках пути.

    \[\upsilon_{sr12}=\frac{\frac{2S}{3}}{\frac{S}{3\upsilon_1}+\frac{S}{3\upsilon_2}}\]

    \[\upsilon_{sr12}=\frac{2}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}}\]

    \[\upsilon_{sr12}=\frac{2\upsilon_1 \upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}\]

    \[\upsilon_{sr12}=\frac{2\cdot700 \cdot500}{700+500}=583\]

Тогда \upsilon_3=1166.

Определяем среднюю скорость на всем участке пути:

    \[\upsilon_{sr123}=\frac{S}{\frac{S}{3\upsilon_1}+\frac{S}{3\upsilon_2}+\frac{S}{3\upsilon_3}}\]

    \[\upsilon_{sr123}=\frac{3}{\frac{1}{\upsilon_1}+\frac{1}{\upsilon_2}+\frac{1}{\upsilon_3}}\]

    \[\upsilon_{sr123}=\frac{3\upsilon_1 \upsilon_2 \upsilon_3}{\upsilon_1\upsilon_2+\upsilon_2\upsilon_3+\upsilon_1\upsilon_3}\]

    \[\upsilon_{sr123}=\frac{500\cdot700 \cdot1166}{500\cdot700+700\cdot1166+500\cdot1166}=700\]

Ответ: 700 км/ч

 

Задача 5. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что на прохождение отдельных участков дистанции, длины которых относятся как 1: 3: 4: 2, потребовались промежутки времени, находящиеся в отношении 2:4:3:1, и на последнем участке скорость поезда \upsilon=80 км/ч. Считать, что на каждом из участков поезд двигался равномерно.

Определим весь путь по его частям:

    \[S_1:S_2:S_3:S_4=1: 3: 4: 2\]

Если S_1=l, то S_2=3l, S_3=4l, S_4=2l, а весь путь

    \[S_1+S_2+S_3+S_4=l+3l+4l+2l=10l\]

Определим время движения поезда на последнем участке, зная его скорость:

    \[t_4=\frac{2l}{\upsilon }\]

Тогда, так как

    \[t_1:t_2:t_3:t_4=2:4:3:1\]

Отсюда найдем t_1, t_2, t_3:

    \[t_3=3t_4=\frac{6l}{\upsilon }\]

    \[t_2=\frac{4}{3}t_3=\frac{8l}{\upsilon }\]

    \[t_1=\frac{1}{2}t_3=\frac{4l}{\upsilon }\]

Общее время движения:

    \[t_1+t_2+t_3+t_4=\frac{4l}{\upsilon }+\frac{8l}{\upsilon }+\frac{6l}{\upsilon }+\frac{2l}{\upsilon }=\frac{20l}{\upsilon }\]

Наконец, находим среднюю скорость:

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}=\frac{10l}{\frac{20l}{\upsilon }}=\frac{\upsilon }{2}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{80}{2}=40\]

Ответ: средняя скорость поезда – 40 км/ч.

Один комментарий

  • иван шкинёв
    |

    У автомобиля при прохождении пути S ни скорость, ни мощность двигателя, ни нагрузка-(в гору) не меняет количество оборотов колёс и не меняет количество оборотов двигателя (на одной передаче)

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *