Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Равнопеременное движение

Средняя скорость при равноускоренном движении

Чтобы определить среднюю путевую скорость, нужно разделить весь путь на все время. Это справедливо и для равноускоренного движения. Модуль средней скорости по перемещению определяется как модуль перемещения, деленный на все время движения. Также перемещение – векторная величина, и имеет направление, следовательно, можно определить и угол, под которым средняя скорость будет направлена к горизонту.

Задача 1.  Тело падает без начальной скорости с высоты h=45 м. Найти среднюю скорость падения на второй половине пути.

Чтобы определить среднюю скорость, нужно разделить путь, пройденный телом, на время его движения.

Длина первой половины пути – S_1=\frac{S}{2}.

Тогда можно записать, что S_1=\frac{gt_1^2}{2}, где t_1 – время прохождения телом первой половины пути, его можно найти:

    \[t_1=\sqrt{\frac{2S_1}{g}}=\sqrt{\frac{S}{g}}\]

Полное время падения тоже легко определить:

    \[S=\frac{gt^2}{2}\]

    \[t=\sqrt{\frac{2S}{g}}\]

Тогда определим время, за которое тело прошло вторую половину пути:

    \[t_2=t-t_1=\sqrt{\frac{2S}{g}}-\sqrt{\frac{S}{g}}\]

Определим среднюю скорость:

    \[\upsilon_{sr}=\frac{\frac{S}{2}}{\sqrt{\frac{2S}{g}}-\sqrt{\frac{S}{g}}}=\frac{S}{2\sqrt{\frac{2S}{g}}-2\sqrt{\frac{S}{g}}}=\frac{45}{2\sqrt{9}-2\sqrt{4,5}}=\frac{45}{6-4,24}=25,6\]

Ответ: средняя скорость на второй половине пути равна 25,6 м/c.

 

Задача 2.  Тело брошено со скоростью \upsilon_0=14,7 м/с вертикально вверх с высоты h=19,6 м над поверхностью земли. Определить среднюю скорость \upsilon_{sr} и среднюю путевую скорость \upsilon за время полета.

Так как найти надо среднюю путевую и среднюю скорость по перемещению, то необходимо знать как путь, так и перемещение тела. Очевидно, что точку старта и точку финиша тела разделяет высота h, с которой тело было сброшено, так как в конце оно окажется на земле. Итак, h – это перемещение тела.

Чтобы определить путь, потребуется найти высоту, до которой тело смогло подняться. Путь тела тогда будет равен

    \[S=2h_{max}+h\]

Максимальная высота подъема тела равна h_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{2g}, следовательно,

    \[S=2 h_{max}+h=\frac{\upsilon_0^2}{g}+h=\frac{\upsilon_0^2+gh}{g}\]

Также для определения средней скорости надо знать время движения тела. Это время будет складываться из времени взлета t_{vzl} и времени падения t_{pad}.

Время взлета найдем из условия равенства нулю скорости тела:

    \[\upsilon=\upsilon_0-gt_{vzl}=0\]

    \[t_{vzl}=\frac{\upsilon_0}{g}\]

Время падения тоже легко определить, зная, что тело падало с высоты h+h_{max}:

    \[\frac{g t_{pad}^2}{2}= h+h_{max}\]

    \[t_{pad}^2= \frac{ 2(h+h_{max})}{g} =\frac{2h+\frac{\upsilon_0^2}{g}}{g}=\frac{2gh+ \upsilon_0^2}{g^2}\]

    \[t_{pad}=\sqrt{\frac{2gh+ \upsilon_0^2}{g^2}}=\frac{\sqrt{2gh+ \upsilon_0^2}}{g}\]

Теперь, зная время взлета и время падения, можем определить общее время движения тела:

    \[t= t_{vzl}+ t_{pad}=\frac{\upsilon_0+\sqrt{2gh+ \upsilon_0^2}}{g}\]

Осталось разделить путь на это время – и получим среднюю путевую скорость:

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}=\frac{\frac{\upsilon_0^2+gh}{g}}{\frac{\upsilon_0+\sqrt{2gh+ \upsilon_0^2}}{g}}=\frac{\upsilon_0^2+gh }{\upsilon_0+\sqrt{2gh+ \upsilon_0^2}}=\frac{14,7^2+196 }{14,7+\sqrt{20\cdot19,6+ 14,7^2}}=10,47\]

Средняя скорость по перемещению равна (или модуль средней скорости):

    \[\upsilon_{sr}=\frac{h}{t}=\frac{gh}{\upsilon_0+\sqrt{2gh+ \upsilon_0^2}}=\frac{196}{14,7+\sqrt{20\cdot19,6+ 14,7^2}}=\frac{19,6}{39,35}=4,98\]

Задача 3. Мячик брошен с высоты h=5 м над поверхностью земли с начальной скоростью \upsilon_0=20 м/с под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту. Найти модуль и направление его средней скорости за все время полета.

В этой задаче необходимо, по сути, определить вектор средней скорости тела по перемещению: его длину (модуль) и направление. Очевидно, для этого потребуется знать, как далеко тело улетело и сколько на это понадобилось времени.  Мы помним, что проекция скорости тела на горизонтальную ось остается неизменной во времени и равной \upsilon_x=\upsilon_0 \cos{\alpha}. Если удастся найти время полета тела – то мы узнаем, как далеко оно шлепнулось о землю.

Давайте запишем закон движения тела по оси y:

    \[y=y_0+\upsilon_0 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}\]

Так как в итоге ордината тела оказалась равной 0, то приравняем y=0 и решим полученное квадратное уравнение:

    \[y_0+\upsilon_0 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}=0\]

    \[D=\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}+2g y_0\]

    \[t_{1,2}=\frac{-\upsilon_0 \sin{\alpha} \pm \sqrt{D}}{-g}\]

Один из корней  – отрицательный – отбросим, как неудовлетворяющий смыслу задачи.

Тело улетит от точки старта по горизонтали на расстояние:

    \[S_x=\upsilon_x t=\upsilon_0 \cos{\alpha}\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha} + \sqrt{D}}{g}=\frac{\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin{2\alpha}+\upsilon_0 \cos{\alpha}\sqrt{D} }{g}\]

Теперь определим перемещение тела по теореме Пифагора:

    \[L=\sqrt{S_x^2+y_0^2}\]

Разделив перемещение тела на время, получим среднюю скорость по перемещению:

    \[\upsilon_{sr}=\frac{L}{t}=\frac{g\sqrt{S_x^2+y_0^2}}{\upsilon_0 \sin{\alpha} + \sqrt{D}}\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{\sqrt{(\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin{2\alpha}+\upsilon_0 \cos{\alpha}\sqrt{D})^2+y_0^2g^2}}{\upsilon_0 \sin{\alpha} + \sqrt{D}}\]

Определим D численно, чтобы потом проще было при подсчетах:

    \[D=400 \frac{1}{2}+20\cdot 5=300\]

Теперь рассчитаем среднюю скрость:

    \[\upsilon_{sr}=\frac{\sqrt{(200\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+20 \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{300})^2+5^2\cdot10^2}}{10 + \sqrt{300}}=10\sqrt{3}=17,3\]

Найдем, под каким углом к горизонту был направлен вектор средней скорости:

    \[\beta=\operatorname{arctg} \frac{y_0}{S_x}=\operatorname{arctg} \frac{y_0}{\frac{\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin{2\alpha}+\upsilon_0 \cos{\alpha}\sqrt{D} }{g}}=\operatorname{arctg} {\frac{ gy_0}{\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin{2\alpha}+\upsilon_0 \cos{\alpha}\sqrt{D}}}\]

    \[\beta=\operatorname{arctg} \frac{5}{41,8}=6,8^{\circ}\]

Ответ: модуль средней скорости равен 17,3 м/с, она направлена под углом \beta=6,8^{\circ} к горизонту.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *