Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии

Сохранение импульса при нецентральном ударе

Две не очень простые задачи принесла ученица, на тему закона сохранения импульса. А у нас, репетиторов «вижу задачу – теряю волю, бросаюсь решать» – это обычная «болезнь».

Задача 1. На покоящийся шар налетает шар такой же массы. Найдите угол разлета шаров после упругого нецентрального удара.

Рисунок 1

Рассмотрим рисунок. Запишем для этого треугольника теорему косинусов

    \[p_0^2=p_1^2+p_2^2+2p_1p_2\cos{\alpha}\]

А теперь запишем закон сохранения энергии:

    \[\frac{p_0^2}{2m_1}=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}\]

Сопоставляя оба равенства, видим, что при m_1=m_2 должно выполняться \cos{\alpha}=0. При этом условии угол \alpha=90^{\circ}.

Ответ: \alpha=90^{\circ}, смежный угол такой же.

Задача 2. Упругий шар, движущийся со скоростью \upsilon_1, налетает на покоящийся упругий шар вдвое меньшей массы и после удара продолжает движение под углом \alpha к первоначальному направлению. Найти модули скоростей шаров после удара, если \alpha=30^{\circ}.

Запишем закон сохранения импульса по осям x и y и закон сохранения энергии.

    \[\begin{Bmatrix}{ m\upsilon_1 =mu_1\cos{\alpha}+\frac{m}{2}u_{2x}}\\{ 0=-mu_1\sin{\alpha}+\frac{m}{2}u_{2y}\\{\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{mu_1^2}{2}+\frac{\frac{m}{2}(u_{2x}^2+u_{2y}^2)}{2}}}\end{matrix}\]

 

    \[\begin{Bmatrix}{ \upsilon_1 =u_1\cos{\alpha}+\frac{ u_{2x}}{2} }\\{ u_1\sin{\alpha}=\frac{ u_{2y}}{2} \\{\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{mu_1^2}{2}+\frac{\frac{m}{2}(u_{2x}^2+u_{2y}^2)}{2}}}\end{matrix}\]

 

    \[\begin{Bmatrix}{ u_{2x}=2\upsilon_1 -2u_1\cos{\alpha} }\\{ u_{2y}=2u_1\sin{\alpha}} \\{\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{mu_1^2}{2}+\frac{\frac{m}{2}(u_{2x}^2+u_{2y}^2)}{2}}}\end{matrix}\]

 

Возведем в квадрат первые два уравнения:

    \[u_{2x}^2=4\upsilon_1^2-8u_1\upsilon_1\cos{\alpha}+4u_1^2\cos^2{\alpha}\]

    \[u_{2y}^2=4u_1^2\sin^2{\alpha}\]

Сложим уравнения:

    \[u_{2x}^2+ u_{2y}^2=4\upsilon_1^2-8u_1\upsilon_1\cos{\alpha}+4u_1^2\]

Закон сохранения энергии запишем, подставив полученную выше сумму квадратов:

    \[\upsilon^2=u_1^2+2\upsilon_1^2-4u_1\upsilon_1\cos{\alpha}+2u_1^2\]

    \[3u_1^2+4u_1\upsilon_1\cos{\alpha}-\upsilon_1^2=0\]

Подставим известное значение угла:

    \[\upsilon_1^2-2u_1\upsilon_1\sqrt{3}-3u_1^2=0\]

Решим квадратное уравнение:

    \[D=4u_1^2\cdot 3-4\cdot 3 u_1^2=0\]

Тогда

    \[\upsilon_1=\frac{2 u_1\sqrt{3}}{2}= u_1\sqrt{3}\]

    \[u_1=\frac{\upsilon_1}{\sqrt{3}}\]

Тогда

    \[u_{2y}=2\frac{\upsilon_1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\upsilon_1}{\sqrt{3}}\]

    \[u_{2x}=2\upsilon_1-2\frac{\upsilon_1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\upsilon_1\]

Следовательно,

    \[u_2=\sqrt{\frac{\upsilon_1^2}{3}+\upsilon_1^2}=\frac{2\upsilon_1}{\sqrt{3}}\]

 

Комментариев - 2

  • Фарит Рифатович
    |

    “Задача 1. На покоящийся шар налетает шар такой же массы. Найдите угол разлета шаров после упругого нецентрального удара.
    Рассмотрим рисунок. Запишем для этого треугольника теорему косинусов p0^2=p1^2=p2^2 – 2*p1*p2*cos a”

    У Вас две ошибки в формуле:
    1) два знака равенства;
    2) альфа – внешний угол, поэтому должно быть cos(пи – a).

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо, исправлено.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *