Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса

Сохранение импульса. Подготовка к олимпиадам, 10 класс

 

Задача 1. Тонкий однородный стержень длиной L=1 м массой m=500 г раскрутили вокруг одного из своих концов вокруг горизонтальной оси в вертикальной плоскости с угловой скоростью \omega=10 рад/с. Какая сила действует на ось в момент, когда стержень проходит нижнее положение? Ответ выразить в Н, округлив до целых. Ускорение свободного падения g=10 м/с^2.

Решение. Будем искать силу реакции опоры, действующую на ось.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

    \[m\vec a=\vec N+m\vec g.\]

Направим ось Y вертикально вниз, так, чтобы она проходила через центр масс стержня и ось вращения. При проецировании на ось получим:

    \[ma_y=mg-N.\]

Раз стержень вращается вокруг одного из своих концов, то центр масс движется с центростремительным ускорением:

    \[a_y=m\omega^2\frac{L}{2}.\]

Сила реакции опоры, действующая на ось, тогда равна:

    \[N=P=m\left(g+\frac{1}{2}\omega^2L\right)=30.\]

Ответ: 30 Н.

 

Задача 2. С горизонтальной поверхности земли бросили под углом \alpha=60^\circ к горизонту со скоростью \upsilon_{01}=12 м/с комок сырой глины. Одновременно комок вдвое большей массы бросили с поверхности земли под углом \beta=30^\circ к горизонту, причём начальные скорости комков оказались лежащими в одной вертикальной плоскости так, как показано на рисунке.

К задаче 2

 

В результате столкновения комки быстро слиплись. Найти скорость слипшегося комка в момент непосредственно перед падением на землю. Ответ выразить в м/с, округлив до десятых.

Решение.

Первый способ (через импульс)

Поскольку комки глины встретились в воздухе, то вертикальные составляющие их скоростей в момент броска равны. Более того, они равны  в любой момент времени вплоть до удара. Этот факт можно доказать по-разному, однако наиболее красивое объяснение состоит в том, чтобы перейти в систему отсчёта, связанную, например, со вторым комком глины.

Пусть \vec\upsilon_{01} и \vec\upsilon_{02} – начальные скорости тел, \vec\upsilon_1(t) и \vec\upsilon_2(t) – скорости тел в момент времени t. Первоначально оба тела находились на одной горизонтальной прямой, в выбранной системе отсчёта второе тело является неподвижным, а первое движется со скоростью \vec\upsilon_{_{OTH}}(t)=\vec\upsilon_1(t)-\vec\upsilon_2(t), где \vec\upsilon_1(t)= \vec\upsilon_{01}+\vec g\cdot t и \vec\upsilon_2(t)=\vec\upsilon_{02}+\vec g\cdot t. Тогда \vec\upsilon_{_{OTH}}(t)=\vec\upsilon_{01}-\vec\upsilon_{02}=\vec{const}, то есть в этой системе отсчёта второе тело двигается равномерно прямолинейно. Для того, чтобы тела встретились, необходимо, чтобы скорость \vec\upsilon_{_{OTH}}(t) первого тела относительно второго была направлена горизонтально в точку, где находится второе тело.

 

Треугольник скоростей задачи 2

Эти рассуждения позволяют смело утверждать, что в любой момент времени t до удара комки глины находятся на одной высоте и имеют одинаковые вертикальные составляющие скоростей. Они изменяются по мере подъёма, но изменяются одинаково.

Поскольку вертикальные составляющие скоростей тел в момент броска равны, то \upsilon_{01}\cdot\sin\alpha=\upsilon_{02}\cdot\sin\beta. Это позволяет определить начальную скорость второго тела \upsilon_{02}=\upsilon_{01}\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.

Введём систему координат так, что ось абсцисс x направлена горизонтально вправо, а ось ординат y – вертикально вверх. Пусть \upsilon_{1x} и \upsilon_{2x} – проекции скоростей тел на ось x перед ударом, \upsilon_{1y} и \upsilon_{2y} – соответственно на ось y.

До удара в горизонтальном направлении на тела не действует никаких сил, следовательно горизонтальные составляющие их скоростей не изменяются. Выходит, что \upsilon_{1x}=\upsilon_{01}\cdot\cos\alpha и \upsilon_{2x}=-\upsilon_{02}\cdot\cos\beta.

Из пункта 3 следует, что \upsilon_{1y}=\upsilon_{2y}.

Теперь разберёмся с ударом. Он является абсолютно неупругим, а значит, вследствие удара выделится теплота. Это осложняет использование закона сохранения энергии, поскольку эта теплота нам неизвестна. Однако мы можем применить закон сохранения импульса для системы этих тел от момента перед ударом до момента сразу после него. Сохранение импульса этой системы обусловлено тем, что удар произошёл достаточно быстро, и сила тяжести не успела изменить вертикальные составляющие скоростей. Также отметим, что в результате удара тела слипаются, образуя одно тело массой 3m.

Пусть \vec u_0 – скорость слипшегося тела сразу после удара, u_{0x} и u_{0y} – проекции этой скорости на координатные оси. По закону сохранения импульса m\cdot\upsilon_{1x}+2m\cdot\upsilon_{2x}=3m\cdot u_{0x} и m\cdot\upsilon_{1y}+2m\cdot\upsilon_{2y}=3m\cdot u_{0y}, откуда u_{0x}=\frac{1}{3}(\upsilon_{01}\cdot\cos\alpha-2\upsilon_{02}\cdot\cos\beta) и u_{0y}=\upsilon_{1y}=\upsilon_{2y}.

Рассмотрим движение слипшегося комка. Пусть \vec u – его скорость в момент приземления, u_x и u_y – проекции этой скорости на координатные оси. В горизонтальном направлении на слипшийся комок не действует никаких сил, следовательно горизонтальная составляющая его скорости не изменяется. Выходит, что u_x=u_{0x}. С вертикальной составляющей – интереснее, ведь одна изменится под действием силы тяжести, но изменится так же, как изменялась у каждого из комков глины до удара. Действительно, до удара для первого комка \upsilon_{1y}^2-(\upsilon_{01}\cdot\sin\alpha)^2=-2g\cdot H и после удара для слипшегося комка u_y^2-u_{0y}^2=2g\cdot H. Поскольку u_{0y}=\upsilon_{1y}, то u_y=\upsilon_{01}\cdot\sin\alpha.

По теореме Пифагора

    \[u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{\frac{1}{9}(\upsilon_{01}\cdot\cos\alpha-2\upsilon_{02}\cdot\cos\beta)^2+(\upsilon_{01}\cdot\sin\alpha)^2},\]

где \upsilon_{02}=\upsilon_{01}\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}. Расчёт даёт u\approx14,4{~}м/с.\\

 

Второй способ (через ц.м.)

Рассмотрим движение центра масс системы двух комков глины. Вначале он имеет скорость, определяемую соотношением

    \[\vec\upsilon_c=\frac{m\cdot\vec\upsilon_{01}+2m\cdot\vec\upsilon_{02}}{m+2m}-\frac{1}{3}(\vec\upsilon_{01}+2\vec\upsilon_{02}),\]

где \vec\upsilon_{01} и \vec\upsilon_{02} – начальные скорости тел. Величину \upsilon_c=|\vec\upsilon_c | этой скорости можно найти геометрически.

 

Поскольку \alpha+\beta=90^\circ, то \upsilon_c=\frac{1}{3}\sqrt{\upsilon_{01}^2+4\upsilon_{02}^2}.

Воспользовавшись найденным в первом способе значением \upsilon_{02}, получаем \upsilon_c\approx14,4{~}м/с.

Затем эта скорость будет изменяться, а центр масс будет двигаться по параболе, потому что на центр масс действует одна единственная сила  – сила тяжести 3m\cdot\vec g, всё время направленная вертикально вниз.

До удара траектория движения центра масс не совпадает с траекторией движения комков глины, однако после удара она будет точно такой же. Это связано с тем, что тела слипаются в одну точку, как раз являющуюся центром масс. Выходит, что в момент приземления величины скоростей центра масс и слипшегося комка глины будут одинаковы.

Остаётся заметить, что центр масс системы в этот момент оказывается на том же горизонтальном уровне, какой был в момент броска комков глины, а значит,  величина его скорости, по-прежнему равна \upsilon_c. Это и будет ответ. Красиво, не правда ли?

Ответ: 14,4 м/с.

Задача 3. На гладкой горизонтальной поверхности лежит мишень массой M=9 кг. С интервалом t_0=1 с в неё попадают и застревают 4 пули, первая из которых летит с юга, вторая — с запада, третья — с севера, и четвертая — с востока. На сколько сместится в итоге мишень? Масса каждой пули m=9 г, а скорость \upsilon=141 м/с. Ответ выразить в дм, округлив до целых.

Решение.

Масса пуль существенно меньше массы мишени, поэтому можно пренебречь изменением массы мишени. Первая пуля сообщит мишени скорость u=\frac{m\cdot\upsilon}{M}, которая погасится через 2t_0=2 с третьей пулей. Аналогично произойдет со второй и четвертой. В итоге мишень сместится на

    \[\frac{2m\cdot\upsilon\cdot t_0\sqrt{2}}{M}=4.\]

Ответ: 4 дм.

 

Задача 4. Длинная и гибкая однородная цепочка длиной L=0,5 м и массой m=200 г двигалась вдоль прямой со скоростью \upsilon=2 м/с. Передний конец цепочки «завернули» назад и тянут с постоянной скоростью u=3 м/с. С какой силой нужно действовать на передний конец цепочки, чтобы поддерживать такое движение? Ответ выразить в Н, округлив до целых.

К задаче 4

Решение.

Приравняем импульс силы, действующей в течение разворота, изменению импульса цепочки:

    \[F\cdot\Delta t=m\cdot(\upsilon+u).\]

Время разворота можно найти, перейдя в систему отсчета, например, хвоста цепочки. Тогда

    \[\Delta t=\frac{2L}{\upsilon+u}.\]

Окончательно получается, что

    \[F=\frac{m\cdot(\upsilon+u)^2}{2L}=5.\]

 

Ответ: 5 Н.

Задача 5. Какую скорость может сообщить футболист мячу при ударе, если максимальная сила, с которой он может действовать на мяч, равна F_0=3,5 кН? Положим, что сила во время удара нарастает и спадает по закону, приведённому на графике. Известно, что t_0=2\cdot 10^{-3} с. Масса мяча m=0,5 кг. Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

К задаче 5

Решение.

Воспользуемся тем, что импульс силы равен изменению импульса тела. Но так как сила переменная, то импульс силы можно определить из графика (как площадь под графиком зависимости силы от времени). Она равна 2F_0\cdot t_0. Изменение импульса тела, так как оно вначале покоилось, просто равно конечному импульсу p=m\cdot\upsilon. Приравнивая, получаем скорость мяча,

    \[\upsilon=\frac{2F_0\cdot t_0}{m}=28.\]

Ответ: 28 м/с.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *