Сохранение импульса и энергии

[latexpage]

Задачи пришли из хорошего лицея с учеником (впрочем, как обычно). Все задачи решались “энергетически”.

Задача 1.  Движение материальной точки массой 3 кг описывается уравнением $х = 25-10t +2t^2$.

Найдите модуль изменения кинетической энергии за первые 8 с от начала наблюдения за движением. Найдите модуль силы, вызвавшей это изменение.

Решение. Определим скорость. Для этого можно взять производную, а можно сопоставить данную нам формулу с «классической». Тогда понятно, что $a=4$ м/с$^2$, $\upsilon_0=-10$ м/с.

Зависимость скорости от времени запишем как

$$\upsilon=\upsilon_0+at=-10+4t$$

Поэтому скорость в нулевой момент времени равна $\upsilon(0)=-10$, а через 8 с – $\upsilon(8)=22$, откуда делаем вывод, что тело изменило направление движения и в конце данного отрезка времени «едет» в противоположную сторону. Это, однако, не помешает нам ни вычислить силу, ни определить изменение кинетической энергии.

$$F=ma=3\cdot 4=12$$

Определим кинетическую энергию в начале:

$$E_{k1}=\frac{m\upsilon(0)^2}{2}=\frac{3\cdot 100}{2}=150$$

А теперь в конце:

$$E_{k2}=\frac{m\upsilon(8)^2}{2}=\frac{3\cdot 22^2}{2}=726$$

Разность кинетических энергий составила 576 Дж.
Ответ: разность кинетических энергий составила 576 Дж, сила равна 12 Н.

Задача 2. Из духового ружья стреляют в спичечный коробок, лежащий на расстоянии $L$ от края стола. Пуля массой $m$, летящая горизонтально со скоростью $\upsilon_0$, пробивает коробок и вылетает из него со скоростью $\frac{\upsilon_0}{3}$. Масса коробка $M = 3m$. При каких значениях коэффициента трения между коробком и столом коробок упадёт со стола?

Решение. Составим закон сохранения импульса:

$$m\upsilon_0=3m\cdot u+m\cdot \frac{\upsilon_0}{3}$$

Откуда

$$ m\cdot \frac{2\upsilon_0}{3}=3m\cdot u$$

$$u=\frac{2\upsilon_0}{9}$$

Чтобы коробок упал со стола, необходимо, чтобы его кинетическая энергия превысила бы работу против силы трения.

$$F_{tr}=\mu N=\mu \cdot 3m g$$

$$A_{tr}= F_{tr}\cdot L=\mu \cdot 3m g L$$

Если же кинетическая энергия коробка будет равна этой работе, то коробок застынет на самом краю стола:

$$\mu \cdot 3m g L=\frac{3m\cdot \frac{2^2\upsilon_0^2}{81}}{2}=\frac{3m\cdot 2\upsilon_0^2}{81}$$

Сокращаем на $3m$ с обеих сторон:

$$\mu g L=\frac{2\upsilon_0^2}{81}$$

$$\mu =\frac{2\upsilon_0^2}{81 g L }$$

Ответ: при $\mu \leqslant \frac{2\upsilon_0^2}{81 g L }$ коробок упадет.

Задача  3. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью $\frac{\upsilon}{4}$ Какая часть  первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?

Решение: запишем закон сохранения импульса:

$$m\upsilon=M\frac{\upsilon}{4}$$

Откуда делаем вывод, что $M=4m$.

Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:

$$E_{k1}=Q+E_{k2}$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=Q+\frac{4m \cdot \left\frac{\upsilon}{4}\right)^2}{2}$$

$$Q=\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{1}{4}\right)$$

$$Q=\frac{3}{4}\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}$$

Ответ: в тепло перешло 75% энергии.

Задача  4. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно, причем в виде тепла выделилось 80% энергии шарика. Каково соотношение масс шарика и кубика?

Решение: по закону сохранения энергии

$$E_{k1}=Q+E_{k2}$$

Так как $Q=0,8\cdot E_{k1}$, то

$$E_{k2}=0,2\cdot E_{k1}$$

То есть

$$0,2 \cdot\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{M\upsilon_x^2}{2}$$

По закону сохранения импульса

$$m\upsilon=M\upsilon_x$$

Тогда

$$0,2 \cdot\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m\upsilon\upsilon_x}{2}$$

$$0,2 \cdot\upsilon= \upsilon_x$$

$$\upsilon_x=\frac{\upsilon}{5}$$

Откуда

$$M=5m$$.

Ответ: 5.

Задача  5. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью $\frac{\upsilon}{3}$ Какая часть  первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?

Решение: запишем закон сохранения импульса:

$$m\upsilon=M\frac{\upsilon}{3}$$

Откуда делаем вывод, что $M=3m$.

Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:

$$E_{k1}=Q+E_{k2}$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=Q+\frac{3m \cdot \left\frac{\upsilon}{3}\right)^2}{2}$$

$$Q=\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)$$

$$Q=\frac{2}{3}\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}$$

Ответ: в тепло перешло 66,6% энергии.

 

Задача 6. В опыте с «мертвой петлей» брусок массой $m$ отпущен с высоты $H= 3R$ ($R$ – радиус петли). С какой силой давит брусок на опору в верхней точке петли?

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии.

$$mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+mgh$$

$$mg\cdot 3R=\frac{m\upsilon^2}{2}+mg\cdot 2R$$

Получаем:

$$mg\cdot R=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Или

$$\upsilon^2=2gR$$

Теперь запишем второй закон Ньютона для бруска вверху его траектории:

$$ma_n=mg+N$$

$$N=ma_n-mg=m\cdot \frac{2gR}{R}-mg=mg$$

Ответ: брусок давит на плоскость с силой $mg$ – своей силой тяжести.

Задача 7. Шарик массой $m$ подвешен на нити длиной $L$, а шарик массой $2m$ подвешен на нити длиной $2L$ так, что шарики находятся на одной высоте и соприкасаются. Лёгкий шарик отклоняют на угол 90° и отпускают. На какой угол отклонится тяжелый шарик после абсолютно упругого удара?

Решение:

Для малого шарика закон сохранения энергии

$$mgL=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Откуда

$$\upsilon^2=2gL$$

При ударе по закону сохранения импульса:

$$m\upsilon=2m u-m k$$

Здесь $u$ – скорость большего шарика после отскока, $k$ – скорость меньшего.

Записываем закон сохранения энергии для столкновения шаров:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{2m\cdot u^2}{2}+\frac{mk^2}{2}$$

Подставляем $\upsilon$ из закона сохранения импульса:

$$\upsilon=2 u- k$$

$$\frac{m(2u-k)^2}{2}=\frac{2m\cdot u^2}{2}+\frac{mk^2}{2}$$

$$(2u-k)^2=2\cdot u^2+k^2$$

$$4u^2-4uk+k^2=2\cdot u^2+k^2$$

$$2u^2=4uk $$

$$u=2k $$

$$u=\frac{2\upsilon}{3}$$

$$k=\frac{\upsilon}{3}$$

Зная скорость большего шара, определяем угол отклонения:

$$\frac{2m}{2}\cdot \left(\frac{2\upsilon}{3}\right)^2=2mgh’$$

$$\left(\frac{2\upsilon}{3}\right)^2=2gh’$$

$$h’=\frac{4}{9\cdot 2g}\upsilon^2=\frac{4}{9}L$$

Тогда

$$\cos {\alpha}=\frac{2L-\frac{4}{9}L }{2L}=\frac{7}{9}$$

$$\alpha =\arccos\left(\frac{7}{9}\right)=38,9^{\circ}$$

Ответ: отклонение составит 39 градусов.

 

Задача 8. Ребенок скатывается с горки на санках. Какую скорость будут иметь санки у подножья горы, если ее высота 15 м, угол наклона $30^{\circ}$, а коэффициент трения линейно нарастает вдоль склона от нуля до $\mu=0,4$ у подножья?

Решение. Будем, как и остальные задачи в этой подборке, решать энергетически. Тогда

$$mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+A$$

Здесь $A$ – работа против силы трения, $mgH$ – потенциальная энергия на вершине.

Весь путь санок можно записать как
$$S=\frac{H}{\sin \alpha}$$

При этом вначале $F_{tr1}=0$, а в конце $F_{tr2}=\mu m g \cos \alpha$.

График зависимости силы трения от $S$ представлен на рисунке. Понятно, что площадь под ним  -это и есть работа.

$$mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{\mu m g \cos \alpha S}{2}$$

$$gH=\frac{\upsilon^2}{2}+\frac{\mu  g \cos \alpha S}{2}$$

$$\upsilon^2=2gH-\mu  g \cos \alpha S=2gH\left(1-\frac{\mu \cos \alpha}{2\sin \alpha}\right)=2gH\left(1-\frac{\mu}{2}\operatorname{ctg}\alpha\right)$$

$$\upsilon=\sqrt{2gH\left(1-\frac{\mu}{2}\operatorname{ctg}\alpha\right)}= \sqrt{300(1-\frac{0,4}{2}\cdot \sqrt{3})}=\sqrt{196}=14$$

Ответ: 14 м/с