Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии, Олимпиадная физика

Сохранение импульса и энергии

Задачи пришли из хорошего лицея с учеником (впрочем, как обычно). Все задачи решались “энергетически”.

Задача 1.  Движение материальной точки массой 3 кг описывается уравнением х = 25-10t +2t^2.

Найдите модуль изменения кинетической энергии за первые 8 с от начала наблюдения за движением. Найдите модуль силы, вызвавшей это изменение.

Решение. Определим скорость. Для этого можно взять производную, а можно сопоставить данную нам формулу с «классической». Тогда понятно, что a=4 м/с^2, \upsilon_0=-10 м/с.

Зависимость скорости от времени запишем как

    \[\upsilon=\upsilon_0+at=-10+4t\]

Поэтому скорость в нулевой момент времени равна \upsilon(0)=-10, а через 8 с – \upsilon(8)=22, откуда делаем вывод, что тело изменило направление движения и в конце данного отрезка времени «едет» в противоположную сторону. Это, однако, не помешает нам ни вычислить силу, ни определить изменение кинетической энергии.

    \[F=ma=3\cdot 4=12\]

Определим кинетическую энергию в начале:

    \[E_{k1}=\frac{m\upsilon(0)^2}{2}=\frac{3\cdot 100}{2}=150\]

А теперь в конце:

    \[E_{k2}=\frac{m\upsilon(8)^2}{2}=\frac{3\cdot 22^2}{2}=726\]

Разность кинетических энергий составила 576 Дж.
Ответ: разность кинетических энергий составила 576 Дж, сила равна 12 Н.

Задача 2. Из духового ружья стреляют в спичечный коробок, лежащий на расстоянии L от края стола. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью \upsilon_0, пробивает коробок и вылетает из него со скоростью \frac{\upsilon_0}{3}. Масса коробка M = 3m. При каких значениях коэффициента трения между коробком и столом коробок упадёт со стола?

Решение. Составим закон сохранения импульса:

    \[m\upsilon_0=3m\cdot u+m\cdot \frac{\upsilon_0}{3}\]

Откуда

    \[m\cdot \frac{2\upsilon_0}{3}=3m\cdot u\]

    \[u=\frac{2\upsilon_0}{9}\]

Чтобы коробок упал со стола, необходимо, чтобы его кинетическая энергия превысила бы работу против силы трения.

    \[F_{tr}=\mu N=\mu \cdot 3m g\]

    \[A_{tr}= F_{tr}\cdot L=\mu \cdot 3m g L\]

Если же кинетическая энергия коробка будет равна этой работе, то коробок застынет на самом краю стола:

    \[\mu \cdot 3m g L=\frac{3m\cdot \frac{2^2\upsilon_0^2}{81}}{2}=\frac{3m\cdot 2\upsilon_0^2}{81}\]

Сокращаем на 3m с обеих сторон:

    \[\mu g L=\frac{2\upsilon_0^2}{81}\]

    \[\mu =\frac{2\upsilon_0^2}{81 g L }\]

Ответ: при \mu \leqslant \frac{2\upsilon_0^2}{81 g L } коробок упадет.

Задача  3. Шарик, движущийся со скоростью \upsilon по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью \frac{\upsilon}{4} Какая часть  первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?

Решение: запишем закон сохранения импульса:

    \[m\upsilon=M\frac{\upsilon}{4}\]

Откуда делаем вывод, что M=4m.

Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:

    \[E_{k1}=Q+E_{k2}\]

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}=Q+\frac{4m \cdot \left\frac{\upsilon}{4}\right)^2}{2}\]

    \[Q=\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{1}{4}\right)\]

    \[Q=\frac{3}{4}\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}\]

Ответ: в тепло перешло 75% энергии.

Задача  4. Шарик, движущийся со скоростью \upsilon по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно, причем в виде тепла выделилось 80% энергии шарика. Каково соотношение масс шарика и кубика?

Решение: по закону сохранения энергии

    \[E_{k1}=Q+E_{k2}\]

Так как Q=0,8\cdot E_{k1}, то

    \[E_{k2}=0,2\cdot E_{k1}\]

То есть

    \[0,2 \cdot\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{M\upsilon_x^2}{2}\]

По закону сохранения импульса

    \[m\upsilon=M\upsilon_x\]

Тогда

    \[0,2 \cdot\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m\upsilon\upsilon_x}{2}\]

    \[0,2 \cdot\upsilon= \upsilon_x\]

    \[\upsilon_x=\frac{\upsilon}{5}\]

Откуда

    \[M=5m\]

.

Ответ: 5.

Задача  5. Шарик, движущийся со скоростью \upsilon по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью \frac{\upsilon}{3} Какая часть  первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?

Решение: запишем закон сохранения импульса:

    \[m\upsilon=M\frac{\upsilon}{3}\]

Откуда делаем вывод, что M=3m.

Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:

    \[E_{k1}=Q+E_{k2}\]

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}=Q+\frac{3m \cdot \left\frac{\upsilon}{3}\right)^2}{2}\]

    \[Q=\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)\]

    \[Q=\frac{2}{3}\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}\]

Ответ: в тепло перешло 66,6% энергии.

 

Задача 6. В опыте с «мертвой петлей» брусок массой m отпущен с высоты H= 3R (R – радиус петли). С какой силой давит брусок на опору в верхней точке петли?

К задаче 6

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии.

    \[mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+mgh\]

    \[mg\cdot 3R=\frac{m\upsilon^2}{2}+mg\cdot 2R\]

Получаем:

    \[mg\cdot R=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

Или

    \[\upsilon^2=2gR\]

Теперь запишем второй закон Ньютона для бруска вверху его траектории:

    \[ma_n=mg+N\]

    \[N=ma_n-mg=m\cdot \frac{2gR}{R}-mg=mg\]

Ответ: брусок давит на плоскость с силой mg – своей силой тяжести.

Задача 7. Шарик массой m подвешен на нити длиной L, а шарик массой 2m подвешен на нити длиной 2L так, что шарики находятся на одной высоте и соприкасаются. Лёгкий шарик отклоняют на угол 90° и отпускают. На какой угол отклонится тяжелый шарик после абсолютно упругого удара?

К задаче 7

Решение:

Для малого шарика закон сохранения энергии

    \[mgL=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

Откуда

    \[\upsilon^2=2gL\]

При ударе по закону сохранения импульса:

    \[m\upsilon=2m u-m k\]

Здесь u – скорость большего шарика после отскока, k – скорость меньшего.

Записываем закон сохранения энергии для столкновения шаров:

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{2m\cdot u^2}{2}+\frac{mk^2}{2}\]

Подставляем \upsilon из закона сохранения импульса:

    \[\upsilon=2 u- k\]

    \[\frac{m(2u-k)^2}{2}=\frac{2m\cdot u^2}{2}+\frac{mk^2}{2}\]

    \[(2u-k)^2=2\cdot u^2+k^2\]

    \[4u^2-4uk+k^2=2\cdot u^2+k^2\]

    \[2u^2=4uk\]

    \[u=2k\]

    \[u=\frac{2\upsilon}{3}\]

    \[k=\frac{\upsilon}{3}\]

Зная скорость большего шара, определяем угол отклонения:

    \[\frac{2m}{2}\cdot \left(\frac{2\upsilon}{3}\right)^2=2mgh'\]

    \[\left(\frac{2\upsilon}{3}\right)^2=2gh'\]

    \[h'=\frac{4}{9\cdot 2g}\upsilon^2=\frac{4}{9}L\]

Тогда

    \[\cos {\alpha}=\frac{2L-\frac{4}{9}L }{2L}=\frac{7}{9}\]

    \[\alpha =\arccos\left(\frac{7}{9}\right)=38,9^{\circ}\]

Ответ: отклонение составит 39 градусов.

 

Задача 8. Ребенок скатывается с горки на санках. Какую скорость будут иметь санки у подножья горы, если ее высота 15 м, угол наклона 30^{\circ}, а коэффициент трения линейно нарастает вдоль склона от нуля до \mu=0,4 у подножья?

Решение. Будем, как и остальные задачи в этой подборке, решать энергетически. Тогда

    \[mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+A\]

Здесь A – работа против силы трения, mgH – потенциальная энергия на вершине.

Весь путь санок можно записать как

    \[S=\frac{H}{\sin \alpha}\]

При этом вначале F_{tr1}=0, а в конце F_{tr2}=\mu m g \cos \alpha.

График зависимости силы трения от S представлен на рисунке. Понятно, что площадь под ним  -это и есть работа.

Зависимость силы трения от пройденного расстояния

    \[mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{\mu m g \cos \alpha S}{2}\]

    \[gH=\frac{\upsilon^2}{2}+\frac{\mu  g \cos \alpha S}{2}\]

    \[\upsilon^2=2gH-\mu  g \cos \alpha S=2gH\left(1-\frac{\mu \cos \alpha}{2\sin \alpha}\right)=2gH\left(1-\frac{\mu}{2}\operatorname{ctg}\alpha\right)\]

    \[\upsilon=\sqrt{2gH\left(1-\frac{\mu}{2}\operatorname{ctg}\alpha\right)}= \sqrt{300(1-\frac{0,4}{2}\cdot \sqrt{3})}=\sqrt{196}=14\]

Ответ: 14 м/с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *