Сохранение импульса и энергии

Задачи пришли из хорошего лицея с учеником (впрочем, как обычно). Все задачи решались “энергетически”.

Задача 1. Движение материальной точки массой 3 кг описывается уравнением $х = 25-10t +2t^2$ .

Найдите модуль изменения кинетической энергии за первые 8 с от начала наблюдения за движением. Найдите модуль силы, вызвавшей это изменение.

Решение. Определим скорость. Для этого можно взять производную, а можно сопоставить данную нам формулу с «классической». Тогда понятно, что $a=4$ м/с $^2$ , $\upsilon_0=-10$ м/с.

Зависимость скорости от времени запишем как

$\upsilon=\upsilon_0+at=-10+4t$

Поэтому скорость в нулевой момент времени равна $\upsilon(0)=-10$ , а через 8 с – $\upsilon(8)=22$ , откуда делаем вывод, что тело изменило направление движения и в конце данного отрезка времени «едет» в противоположную сторону. Это, однако, не помешает нам ни вычислить силу, ни определить изменение кинетической энергии.

$F=ma=3\cdot 4=12$

Определим кинетическую энергию в начале:

$E_{k1}=\frac{m\upsilon(0)^2}{2}=\frac{3\cdot 100}{2}=150$

А теперь в конце:

$E_{k2}=\frac{m\upsilon(8)^2}{2}=\frac{3\cdot 22^2}{2}=726$

Разность кинетических энергий составила 576 Дж.
Ответ: разность кинетических энергий составила 576 Дж, сила равна 12 Н.

Задача 2. Из духового ружья стреляют в спичечный коробок, лежащий на расстоянии $L$ от края стола. Пуля массой $m$ , летящая горизонтально со скоростью $\upsilon_0$ , пробивает коробок и вылетает из него со скоростью $\frac{\upsilon_0}{3}$ . Масса коробка $M = 3m$ . При каких значениях коэффициента трения между коробком и столом коробок упадёт со стола?

Решение. Составим закон сохранения импульса:

$m\upsilon_0=3m\cdot u+m\cdot \frac{\upsilon_0}{3}$

Откуда

$m\cdot \frac{2\upsilon_0}{3}=3m\cdot u$

$u=\frac{2\upsilon_0}{9}$

Чтобы коробок упал со стола, необходимо, чтобы его кинетическая энергия превысила бы работу против силы трения.

$F_{tr}=\mu N=\mu \cdot 3m g$

$A_{tr}= F_{tr}\cdot L=\mu \cdot 3m g L$

Если же кинетическая энергия коробка будет равна этой работе, то коробок застынет на самом краю стола:

$\mu \cdot 3m g L=\frac{3m\cdot \frac{2^2\upsilon_0^2}{81}}{2}=\frac{3m\cdot 2\upsilon_0^2}{81}$

Сокращаем на $3m$ с обеих сторон:

$\mu g L=\frac{2\upsilon_0^2}{81}$

$\mu =\frac{2\upsilon_0^2}{81 g L }$

Ответ: при $\mu \leqslant \frac{2\upsilon_0^2}{81 g L }$ коробок упадет.

Задача 3. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью $\frac{\upsilon}{4}$ Какая часть первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?

Решение: запишем закон сохранения импульса:

$m\upsilon=M\frac{\upsilon}{4}$

Откуда делаем вывод, что $M=4m$ .

Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:

$E_{k1}=Q+E_{k2}$

$\frac{m\upsilon^2}{2}=Q+\frac{4m \cdot \left\frac{\upsilon}{4}\right)^2}{2}$

$Q=\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{1}{4}\right)$

$Q=\frac{3}{4}\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}$

Ответ: в тепло перешло 75% энергии.

Задача 4. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно, причем в виде тепла выделилось 80% энергии шарика. Каково соотношение масс шарика и кубика?

Решение: по закону сохранения энергии

$E_{k1}=Q+E_{k2}$

Так как $Q=0,8\cdot E_{k1}$ , то

$E_{k2}=0,2\cdot E_{k1}$

То есть

$0,2 \cdot\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{M\upsilon_x^2}{2}$

По закону сохранения импульса

$m\upsilon=M\upsilon_x$

Тогда

$0,2 \cdot\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m\upsilon\upsilon_x}{2}$

$0,2 \cdot\upsilon= \upsilon_x$

$\upsilon_x=\frac{\upsilon}{5}$

Откуда

$M=5m$

Ответ: 5.

Задача 5. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью $\frac{\upsilon}{3}$ Какая часть первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?

Решение: запишем закон сохранения импульса:

$m\upsilon=M\frac{\upsilon}{3}$

Откуда делаем вывод, что $M=3m$ .

Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:

$E_{k1}=Q+E_{k2}$

$\frac{m\upsilon^2}{2}=Q+\frac{3m \cdot \left\frac{\upsilon}{3}\right)^2}{2}$

$Q=\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)$

$Q=\frac{2}{3}\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}$

Ответ: в тепло перешло 66,6% энергии.

Задача 6. В опыте с «мертвой петлей» брусок массой $m$ отпущен с высоты $H= 3R$ ( $R$ – радиус петли). С какой силой давит брусок на опору в верхней точке петли?

К задаче 6

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии.

$mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+mgh$

$mg\cdot 3R=\frac{m\upsilon^2}{2}+mg\cdot 2R$

Получаем:

$mg\cdot R=\frac{m\upsilon^2}{2}$

Или

$\upsilon^2=2gR$

Теперь запишем второй закон Ньютона для бруска вверху его траектории:

$ma_n=mg+N$

$N=ma_n-mg=m\cdot \frac{2gR}{R}-mg=mg$

Ответ: брусок давит на плоскость с силой $mg$ – своей силой тяжести.

Задача 7. Шарик массой $m$ подвешен на нити длиной $L$ , а шарик массой $2m$ подвешен на нити длиной $2L$ так, что шарики находятся на одной высоте и соприкасаются. Лёгкий шарик отклоняют на угол 90° и отпускают. На какой угол отклонится тяжелый шарик после абсолютно упругого удара?

К задаче 7

Решение:

Для малого шарика закон сохранения энергии

$mgL=\frac{m\upsilon^2}{2}$

Откуда

$\upsilon^2=2gL$

При ударе по закону сохранения импульса:

$m\upsilon=2m u-m k$

Здесь $u$ – скорость большего шарика после отскока, $k$ – скорость меньшего.

Записываем закон сохранения энергии для столкновения шаров:

$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{2m\cdot u^2}{2}+\frac{mk^2}{2}$

Подставляем $\upsilon$ из закона сохранения импульса:

$\upsilon=2 u- k$

$\frac{m(2u-k)^2}{2}=\frac{2m\cdot u^2}{2}+\frac{mk^2}{2}$

$(2u-k)^2=2\cdot u^2+k^2$

$4u^2-4uk+k^2=2\cdot u^2+k^2$

$2u^2=4uk$

$u=2k$

$u=\frac{2\upsilon}{3}$

$k=\frac{\upsilon}{3}$

Зная скорость большего шара, определяем угол отклонения:

$\frac{2m}{2}\cdot \left(\frac{2\upsilon}{3}\right)^2=2mgh'$

$\left(\frac{2\upsilon}{3}\right)^2=2gh'$

$h'=\frac{4}{9\cdot 2g}\upsilon^2=\frac{4}{9}L$

Тогда

$\cos {\alpha}=\frac{2L-\frac{4}{9}L }{2L}=\frac{7}{9}$

$\alpha =\arccos\left(\frac{7}{9}\right)=38,9^{\circ}$

Ответ: отклонение составит 39 градусов.

Задача 8. Ребенок скатывается с горки на санках. Какую скорость будут иметь санки у подножья горы, если ее высота 15 м, угол наклона $30^{\circ}$ , а коэффициент трения линейно нарастает вдоль склона от нуля до $\mu=0,4$ у подножья?