[latexpage]
Задачи пришли из хорошего лицея с учеником (впрочем, как обычно). Все задачи решались “энергетически”.
Задача 1. Движение материальной точки массой 3 кг описывается уравнением $х = 25-10t +2t^2$.
Найдите модуль изменения кинетической энергии за первые 8 с от начала наблюдения за движением. Найдите модуль силы, вызвавшей это изменение.
Решение. Определим скорость. Для этого можно взять производную, а можно сопоставить данную нам формулу с «классической». Тогда понятно, что $a=4$ м/с$^2$, $\upsilon_0=-10$ м/с.
Зависимость скорости от времени запишем как
$$\upsilon=\upsilon_0+at=-10+4t$$
Поэтому скорость в нулевой момент времени равна $\upsilon(0)=-10$, а через 8 с – $\upsilon(8)=22$, откуда делаем вывод, что тело изменило направление движения и в конце данного отрезка времени «едет» в противоположную сторону. Это, однако, не помешает нам ни вычислить силу, ни определить изменение кинетической энергии.
$$F=ma=3\cdot 4=12$$
Определим кинетическую энергию в начале:
$$E_{k1}=\frac{m\upsilon(0)^2}{2}=\frac{3\cdot 100}{2}=150$$
А теперь в конце:
$$E_{k2}=\frac{m\upsilon(8)^2}{2}=\frac{3\cdot 22^2}{2}=726$$
Разность кинетических энергий составила 576 Дж.
Ответ: разность кинетических энергий составила 576 Дж, сила равна 12 Н.
Задача 2. Из духового ружья стреляют в спичечный коробок, лежащий на расстоянии $L$ от края стола. Пуля массой $m$, летящая горизонтально со скоростью $\upsilon_0$, пробивает коробок и вылетает из него со скоростью $\frac{\upsilon_0}{3}$. Масса коробка $M = 3m$. При каких значениях коэффициента трения между коробком и столом коробок упадёт со стола?
Решение. Составим закон сохранения импульса:
$$m\upsilon_0=3m\cdot u+m\cdot \frac{\upsilon_0}{3}$$
Откуда
$$ m\cdot \frac{2\upsilon_0}{3}=3m\cdot u$$
$$u=\frac{2\upsilon_0}{9}$$
Чтобы коробок упал со стола, необходимо, чтобы его кинетическая энергия превысила бы работу против силы трения.
$$F_{tr}=\mu N=\mu \cdot 3m g$$
$$A_{tr}= F_{tr}\cdot L=\mu \cdot 3m g L$$
Если же кинетическая энергия коробка будет равна этой работе, то коробок застынет на самом краю стола:
$$\mu \cdot 3m g L=\frac{3m\cdot \frac{2^2\upsilon_0^2}{81}}{2}=\frac{3m\cdot 2\upsilon_0^2}{81}$$
Сокращаем на $3m$ с обеих сторон:
$$\mu g L=\frac{2\upsilon_0^2}{81}$$
$$\mu =\frac{2\upsilon_0^2}{81 g L }$$
Ответ: при $\mu \leqslant \frac{2\upsilon_0^2}{81 g L }$ коробок упадет.
Задача 3. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью $\frac{\upsilon}{4}$ Какая часть первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?
Решение: запишем закон сохранения импульса:
$$m\upsilon=M\frac{\upsilon}{4}$$
Откуда делаем вывод, что $M=4m$.
Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:
$$E_{k1}=Q+E_{k2}$$
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=Q+\frac{4m \cdot \left\frac{\upsilon}{4}\right)^2}{2}$$
$$Q=\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{1}{4}\right)$$
$$Q=\frac{3}{4}\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}$$
Ответ: в тепло перешло 75% энергии.
Задача 4. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно, причем в виде тепла выделилось 80% энергии шарика. Каково соотношение масс шарика и кубика?
Решение: по закону сохранения энергии
$$E_{k1}=Q+E_{k2}$$
Так как $Q=0,8\cdot E_{k1}$, то
$$E_{k2}=0,2\cdot E_{k1}$$
То есть
$$0,2 \cdot\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{M\upsilon_x^2}{2}$$
По закону сохранения импульса
$$m\upsilon=M\upsilon_x$$
Тогда
$$0,2 \cdot\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m\upsilon\upsilon_x}{2}$$
$$0,2 \cdot\upsilon= \upsilon_x$$
$$\upsilon_x=\frac{\upsilon}{5}$$
Откуда
$$M=5m$$.
Ответ: 5.
Задача 5. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью $\frac{\upsilon}{3}$ Какая часть первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?
Решение: запишем закон сохранения импульса:
$$m\upsilon=M\frac{\upsilon}{3}$$
Откуда делаем вывод, что $M=3m$.
Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:
$$E_{k1}=Q+E_{k2}$$
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=Q+\frac{3m \cdot \left\frac{\upsilon}{3}\right)^2}{2}$$
$$Q=\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)$$
$$Q=\frac{2}{3}\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}$$
Ответ: в тепло перешло 66,6% энергии.
Задача 6. В опыте с «мертвой петлей» брусок массой $m$ отпущен с высоты $H= 3R$ ($R$ – радиус петли). С какой силой давит брусок на опору в верхней точке петли?

К задаче 6
Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии.
$$mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+mgh$$
$$mg\cdot 3R=\frac{m\upsilon^2}{2}+mg\cdot 2R$$
Получаем:
$$mg\cdot R=\frac{m\upsilon^2}{2}$$
Или
$$\upsilon^2=2gR$$
Теперь запишем второй закон Ньютона для бруска вверху его траектории:
$$ma_n=mg+N$$
$$N=ma_n-mg=m\cdot \frac{2gR}{R}-mg=mg$$
Ответ: брусок давит на плоскость с силой $mg$ – своей силой тяжести.
Задача 7. Шарик массой $m$ подвешен на нити длиной $L$, а шарик массой $2m$ подвешен на нити длиной $2L$ так, что шарики находятся на одной высоте и соприкасаются. Лёгкий шарик отклоняют на угол 90° и отпускают. На какой угол отклонится тяжелый шарик после абсолютно упругого удара?

К задаче 7
Решение:
Для малого шарика закон сохранения энергии
$$mgL=\frac{m\upsilon^2}{2}$$
Откуда
$$\upsilon^2=2gL$$
При ударе по закону сохранения импульса:
$$m\upsilon=2m u-m k$$
Здесь $u$ – скорость большего шарика после отскока, $k$ – скорость меньшего.
Записываем закон сохранения энергии для столкновения шаров:
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{2m\cdot u^2}{2}+\frac{mk^2}{2}$$
Подставляем $\upsilon$ из закона сохранения импульса:
$$\upsilon=2 u- k$$
$$\frac{m(2u-k)^2}{2}=\frac{2m\cdot u^2}{2}+\frac{mk^2}{2}$$
$$(2u-k)^2=2\cdot u^2+k^2$$
$$4u^2-4uk+k^2=2\cdot u^2+k^2$$
$$2u^2=4uk $$
$$u=2k $$
$$u=\frac{2\upsilon}{3}$$
$$k=\frac{\upsilon}{3}$$
Зная скорость большего шара, определяем угол отклонения:
$$\frac{2m}{2}\cdot \left(\frac{2\upsilon}{3}\right)^2=2mgh’$$
$$\left(\frac{2\upsilon}{3}\right)^2=2gh’$$
$$h’=\frac{4}{9\cdot 2g}\upsilon^2=\frac{4}{9}L$$
Тогда
$$\cos {\alpha}=\frac{2L-\frac{4}{9}L }{2L}=\frac{7}{9}$$
$$\alpha =\arccos\left(\frac{7}{9}\right)=38,9^{\circ}$$
Ответ: отклонение составит 39 градусов.
Задача 8. Ребенок скатывается с горки на санках. Какую скорость будут иметь санки у подножья горы, если ее высота 15 м, угол наклона $30^{\circ}$, а коэффициент трения линейно нарастает вдоль склона от нуля до $\mu=0,4$ у подножья?
Решение. Будем, как и остальные задачи в этой подборке, решать энергетически. Тогда
$$mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+A$$
Здесь $A$ – работа против силы трения, $mgH$ – потенциальная энергия на вершине.
Весь путь санок можно записать как
$$S=\frac{H}{\sin \alpha}$$
При этом вначале $F_{tr1}=0$, а в конце $F_{tr2}=\mu m g \cos \alpha$.
График зависимости силы трения от $S$ представлен на рисунке. Понятно, что площадь под ним -это и есть работа.

Зависимость силы трения от пройденного расстояния
$$mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{\mu m g \cos \alpha S}{2}$$
$$gH=\frac{\upsilon^2}{2}+\frac{\mu g \cos \alpha S}{2}$$
$$\upsilon^2=2gH-\mu g \cos \alpha S=2gH\left(1-\frac{\mu \cos \alpha}{2\sin \alpha}\right)=2gH\left(1-\frac{\mu}{2}\operatorname{ctg}\alpha\right)$$
$$\upsilon=\sqrt{2gH\left(1-\frac{\mu}{2}\operatorname{ctg}\alpha\right)}= \sqrt{300(1-\frac{0,4}{2}\cdot \sqrt{3})}=\sqrt{196}=14$$
Ответ: 14 м/с
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...