Разделы сайта

Категория:

...

Сохранение импульса и энергии

13.07.2021 07:33:40 | Автор: Анна

Задачи пришли из хорошего лицея с учеником (впрочем, как обычно). Все задачи решались "энергетически".

Задача 1.

Движение материальной точки массой 3 кг описывается уравнением $х = 25-10t +2t^2$ .

Найдите модуль изменения кинетической энергии за первые 8 с от начала наблюдения за движением. Найдите модуль силы, вызвавшей это изменение.

Решение. Определим скорость. Для этого можно взять производную, а можно сопоставить данную нам формулу с «классической». Тогда понятно, что $a=4$ м/с $^2$ , $\upsilon_0=-10$ м/с.

Зависимость скорости от времени запишем как

$Сохранение импульса и энергии$

Поэтому скорость в нулевой момент времени равна $\upsilon(0)=-10$ , а через 8 с - $\upsilon(8)=22$ , откуда делаем вывод, что тело изменило направление движения и в конце данного отрезка времени «едет» в противоположную сторону. Это, однако, не помешает нам ни вычислить силу, ни определить изменение кинетической энергии.

$Сохранение импульса и энергии$

Определим кинетическую энергию в начале:

$Сохранение импульса и энергии$

А теперь в конце:

$Сохранение импульса и энергии$

Разность кинетических энергий составила 576 Дж.
Ответ: разность кинетических энергий составила 576 Дж, сила равна 12 Н.

Задача 2.

Из духового ружья стреляют в спичечный коробок, лежащий на расстоянии $L$ от края стола. Пуля массой $m$ , летящая горизонтально со скоростью $\upsilon_0$ , пробивает коробок и вылетает из него со скоростью $\frac{\upsilon_0}{3}$ . Масса коробка $M = 3m$ . При каких значениях коэффициента трения между коробком и столом коробок упадёт со стола?

Решение. Составим закон сохранения импульса:

$Сохранение импульса и энергии$

Откуда

$Сохранение импульса и энергии$

Чтобы коробок упал со стола, необходимо, чтобы его кинетическая энергия превысила бы работу против силы трения.

$Сохранение импульса и энергии$

Если же кинетическая энергия коробка будет равна этой работе, то коробок застынет на самом краю стола:

$Сохранение импульса и энергии$

Сокращаем на $3m$ с обеих сторон:

$Сохранение импульса и энергии$

Ответ: при $\mu \le \frac{2\upsilon_0^2}{81 g L }$ коробок упадет.

Задача 3. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью $\frac{\upsilon}{4}$ Какая часть первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?

Решение: запишем закон сохранения импульса:

$Сохранение импульса и энергии$

Откуда делаем вывод, что $M=4m$ .

Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:

$Сохранение импульса и энергии$

Ответ: в тепло перешло 75% энергии.

Задача 4. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно, причем в виде тепла выделилось 80% энергии шарика. Каково соотношение масс шарика и кубика?

Решение: по закону сохранения энергии

$Сохранение импульса и энергии$

Так как $Q=0,8\cdot E_{k1}$ , то

$Сохранение импульса и энергии$

То есть

$Сохранение импульса и энергии$

По закону сохранения импульса

$Сохранение импульса и энергии$

Тогда

$Сохранение импульса и энергии$

Откуда

$Сохранение импульса и энергии$ .

Ответ: 5.

Задача 5. Шарик, движущийся со скоростью $\upsilon$ по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью $\frac{\upsilon}{3}$ Какая часть первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?

Решение: запишем закон сохранения импульса:

$Сохранение импульса и энергии$

Откуда делаем вывод, что $M=3m$ .

Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:

$Сохранение импульса и энергии$

Ответ: в тепло перешло 66,6% энергии.

Задача 6.

В опыте с «мертвой петлей» брусок массой $m$ отпущен с высоты $H= 3R$ ( $R$ - радиус петли). С какой силой давит брусок на опору в верхней точке петли?

К задаче 6

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии.

$Сохранение импульса и энергии$

Получаем:

$Сохранение импульса и энергии$

Или

$Сохранение импульса и энергии$

Теперь запишем второй закон Ньютона для бруска вверху его траектории:

$Сохранение импульса и энергии$

Ответ: брусок давит на плоскость с силой $mg$ - своей силой тяжести.

Задача 7. Шарик массой $m$ подвешен на нити длиной $L$ , а шарик массой $2m$ подвешен на нити длиной $2L$ так, что шарики находятся на одной высоте и соприкасаются. Лёгкий шарик отклоняют на угол 90° и отпускают. На какой угол отклонится тяжелый шарик после абсолютно упругого удара?

К задаче 7

Решение:

Для малого шарика закон сохранения энергии

$Сохранение импульса и энергии$

Откуда

$Сохранение импульса и энергии$

При ударе по закону сохранения импульса:

$Сохранение импульса и энергии$

Здесь $u$ - скорость большего шарика после отскока, $k$ - скорость меньшего.

Записываем закон сохранения энергии для столкновения шаров:

$Сохранение импульса и энергии$

Подставляем $\upsilon$ из закона сохранения импульса:

$Сохранение импульса и энергии$

Зная скорость большего шара, определяем угол отклонения:

$Сохранение импульса и энергии$

Тогда

$Сохранение импульса и энергии$

Ответ: отклонение составит 39 градусов.

Задача 8. Ребенок скатывается с горки на санках. Какую скорость будут иметь санки у подножья горы, если ее высота 15 м, угол наклона $30^{\circ}$ , а коэффициент трения линейно нарастает вдоль склона от нуля до $\mu=0,4$ у подножья?