Сохранение энергии: задачи

Задача 1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью  м/с. На какой высоте его кинетическая энергия будет равна потенциальной? Сопротивление воздуха не учитывать.

Запишем равенство кинетической и потенциальной энергий:

Откуда получим искомую высоту:

Скорость тела к этому моменту станет равна

Тогда

Но

Тогда

Ответ: 22,5 см
Задача 2. Тело массой кг брошено c поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью м/с. Определить изменение потенциальной энергии тела за промежуток времени с после броска.
Построить графики зависимости и . Сопротивление воздуха не учитывать.

Скорость тела изменяется так:

Нетрудно заметить, что по истечении двух секунд тело будет находиться в точке наивысшего подъема, поэтому

А потенциальная энергия изменится на

Ответ: энергия изменится на 192 Дж.

Задача 3. Под углом к горизонту произведен выстрел. Масса пули кг,  ее скорость м/с. Найти зависимость мощности силы тяжести от времени, а также среднюю мощность этой силы в процессе подъема пули до верхней точки траектории. Сопротивление воздуха не учитывать.

Мощность силы тяжести – это скорость производимой ею работы. То есть надо найти работу силы тяжести. Пуля достигает некоторой наибольшей высоты – она поднимается, и при этом сила тяжести совершает некоторую работу, заметим, отрицательную. Мощность можно также представить как произведение силы на скорость:

Чтобы найти среднюю мощность, надо подставить среднюю скорость (среднюю скорость по оси ), а это половина начальной скорости:

Тогда средняя мощность равна:

Ответ: ,  Вт.

Задача 4. Водосливная плотина Волжской ГЭС во время паводков может пропустить ежесекундно воду объемом м. Зная, что высота плотины м, определить мощность водяного потока.

К задаче 4

Мощность силы  равна , а так как наша сила – сила тяжести, то

Масса воды такого объема равна

А скорость

Откуда

А скорость тогда

Тогда

Ответ: 10 ГВт

Задача 5. Определить полезную мощность водяного двигателя c КПД % ‚ если вода падает на его лопасти с высоты Н = 5 м. Начальная скорость воды на этой высоте м/с. У воды, выходящей из двигателя, скорость м/с, а ежесекундный расход воды м/с.

Водяной двигатель (к задаче 5)

Вода, падая, приобретает скорость. Можно ее определить, и посчитать кинетическую энергию воды (внизу, у лопастей), а можно считать, что вода имела начальную кинетическую энергию, соответствующую скорости , а потом еще к этой энергии добавилась потенциальная, которая в процессе падения тоже перешла в кинетическую. Из энергии, сообщенной водой лопастям часть утекает (ведь вода на выходе тоже имеет скорость, а следовательно, энергию), да кроме того, двигатель использует только 20% остатка. Тогда:

Кинетическая энергия еще не упавшей воды:

Потенциальная ее энергия:

Энергия, уносимая вытекающей из двигателя водой:

Тогда общий приток энергии: .

Масса воды равна

Мощность двигателя равна

Полезная мощность равна

Ответ: кВт

Задача 6. Вертолет, масса которого с грузом кг, за время  с набрал высоту м. Определить полезную работу двигателя за это время‚ считая подъем вертолета равноускоренным.

К задаче 6

В данном случае работа – это энергия, сообщенная вертолету. А он не только поднялся на определенную высоту (то есть приобрел потенциальную энергию), но и набрал определенную скорость (то есть приобрел и кинетическую энергию тоже). Определим сумму этих двух видов энергии.

Скорость вертолета равна:

Откуда ускорение вертолета

Скорость же равна

Квадрат скорости

Кинетическая энергия вертолета

Работа равна

Ответ: MДж