Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Законы сохранения энергии

Сохранение энергии: задачи

 

Задача 1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью u =3 м/с. На какой высоте его кинетическая энергия будет равна потенциальной? Сопротивление воздуха не учитывать.

Запишем равенство кинетической и потенциальной энергий:

    \[mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

Откуда получим искомую высоту:

    \[h=\frac{\upsilon^2}{2g}\]

Скорость \upsilon тела к этому моменту станет равна

    \[\upsilon=u-gt\]

Тогда

    \[h=\frac{ (u-gt)^2 }{2g}=\frac{u^2}{2g}-\frac{2ugt}{2g}+\frac{gt^2}{2}\]

Но

    \[-\frac{2ugt}{2g}+\frac{gt^2}{2}=-h\]

    \[h=\frac{u^2}{2g}-h\]

Тогда

    \[2h=\frac{u^2}{2g}\]

    \[h=\frac{u^2}{4g}=\frac{9}{40}=0,225\]

Ответ: 22,5 см
Задача 2. Тело массой m = 1 кг брошено c поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью \upsilon_0 = 19,6 м/с. Определить изменение потенциальной энергии тела за промежуток времени t = 2 с после броска.
Построить графики зависимости \upsilon_y(t) и Е_p(t). Сопротивление воздуха не учитывать.

Скорость \upsilon тела изменяется так:

    \[\upsilon=\upsilon_0-gt\]

Нетрудно заметить, что по истечении двух секунд тело будет находиться в точке наивысшего подъема, поэтому

    \[h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}\]

А потенциальная энергия изменится на

    \[E_p=mgh=\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{19,6^2}{2}=192\]

Ответ: энергия изменится на 192 Дж.

 

Задача 3. Под углом \alpha = 30^{\circ} к горизонту произведен выстрел. Масса пули m= 10^{-2} кг,  ее скорость \upsilon_0= 10^3 м/с. Найти зависимость мощности силы тяжести от времени, а также среднюю мощность этой силы в процессе подъема пули до верхней точки траектории. Сопротивление воздуха не учитывать.

Мощность силы тяжести – это скорость производимой ею работы. То есть надо найти работу силы тяжести. Пуля достигает некоторой наибольшей высоты – она поднимается, и при этом сила тяжести совершает некоторую работу, заметим, отрицательную. Мощность можно также представить как произведение силы на скорость:

    \[A=mgh\]

    \[N=-F\upsilon_y=mg(gt-\upsilon_0\sin{\alpha})=0,96t-50\]

Чтобы найти среднюю мощность, надо подставить среднюю скорость (среднюю скорость по оси y), а это половина начальной скорости:

    \[\upsilon_{sr}=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{2}\]

Тогда средняя мощность равна:

    \[N_{sr}=-F\upsilon_{sr}=mg\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{2}=-24,5\]

Ответ: N=0,96t-50N_{sr}=-24,5 Вт.

Задача 4. Водосливная плотина Волжской ГЭС во время паводков может пропустить ежесекундно воду объемом V = 45 000 м^3. Зная, что высота плотины H =25 м, определить мощность водяного потока.

К задаче 4

Мощность силы  равна F\upsilon, а так как наша сила – сила тяжести, то

    \[N=mg\upsilon\]

Масса воды такого объема равна

    \[m=\rho V\]

А скорость

    \[\upsilon=gt\]

    \[h=\frac{gt^2}{2}\]

Откуда

    \[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

А скорость тогда

    \[\upsilon=gt=\sqrt{2hg}\]

Тогда

    \[N=\rho V g \sqrt{2hg}\]

    \[N=10^3 \cdot 45000 \cdot9,8 \cdot\sqrt{50\cdot9,8}=9,76\cdot10^9\]

Ответ: 10 ГВт

Задача 5. Определить полезную мощность водяного двигателя c КПД \eta = 20% ‚ если вода падает на его лопасти с высоты Н = 5 м. Начальная скорость воды на этой высоте \upsilon_0 = 1 м/с. У воды, выходящей из двигателя, скорость u = 2 м/с, а ежесекундный расход воды Q= 2 м^3/с.

Водяной двигатель (к задаче 5)

Вода, падая, приобретает скорость. Можно ее определить, и посчитать кинетическую энергию воды (внизу, у лопастей), а можно считать, что вода имела начальную кинетическую энергию, соответствующую скорости \upsilon_0, а потом еще к этой энергии добавилась потенциальная, которая в процессе падения тоже перешла в кинетическую. Из энергии, сообщенной водой лопастям часть утекает (ведь вода на выходе тоже имеет скорость, а следовательно, энергию), да кроме того, двигатель использует только 20% остатка. Тогда:

Кинетическая энергия еще не упавшей воды:

    \[E_{k0}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}\]

Потенциальная ее энергия:

    \[E_p=mgh\]

Энергия, уносимая вытекающей из двигателя водой:

    \[E_{k}=\frac{mu^2}{2}\]

Тогда общий приток энергии: A=E_{k0}+ E_p- E_{k}.

    \[A=\frac{m}{2}\left(\upsilon_0^2+gh-u^2\right)\]

Масса воды равна m=\rho Q t

Мощность двигателя равна N=\frac{A}{t}

    \[N=\frac{\rho Q }{2}\left(\upsilon_0^2+gh-u^2\right)\]

Полезная мощность равна

    \[P=\eta N=\frac{\eta \rho Q }{2}\left(\upsilon_0^2+gh-u^2\right)\]

    \[P=\frac{0,2 \cdot10^3 \cdot 2 }{2}\left(1^2+5\cdot9,8-2^2\right)=19,4\cdot10^3\]

Ответ: P=19,4 кВт

 

Задача 6. Вертолет, масса которого с грузом m = 6 \cdot 10^3 кг, за время t = 15 с набрал высоту Н = 225 м. Определить полезную работу двигателя за это время‚ считая подъем вертолета равноускоренным.

К задаче 6

В данном случае работа – это энергия, сообщенная вертолету. А он не только поднялся на определенную высоту (то есть приобрел потенциальную энергию), но и набрал определенную скорость (то есть приобрел и кинетическую энергию тоже). Определим сумму этих двух видов энергии.

    \[E_p=mgh\]

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

Скорость вертолета равна:

    \[\upsilon=at\]

    \[h=\frac{at^2}{2}\]

Откуда ускорение вертолета

    \[a=\frac{2h}{t^2}\]

Скорость же равна

    \[\upsilon=\frac{2h}{t}\]

Квадрат скорости

    \[\upsilon^2=\frac{4h^2}{t^2}\]

Кинетическая энергия вертолета

    \[E_k=\frac{2m h^2}{t^2}\]

Работа равна

    \[A= E_p+ E_k= mgh+\frac{2m h^2}{t^2}= 6 \cdot 10^3\cdot9,8\cdot225+\frac{12 \cdot 10^3 \cdot225^2}{15^2}=15,93\cdot10^6\]

Ответ: A=16 MДж

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *