Сохранение энергии: задачи

[latexpage]

Задача 1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $u =3$ м/с. На какой высоте его кинетическая энергия будет равна потенциальной? Сопротивление воздуха не учитывать.

Запишем равенство кинетической и потенциальной энергий:

$$mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Откуда получим искомую высоту:

$$h=\frac{\upsilon^2}{2g}$$

Скорость $\upsilon$ тела к этому моменту станет равна

$$\upsilon=u-gt$$

Тогда

$$h=\frac{ (u-gt)^2 }{2g}=\frac{u^2}{2g}-\frac{2ugt}{2g}+\frac{gt^2}{2}$$

Но

$$-\frac{2ugt}{2g}+\frac{gt^2}{2}=-h$$

$$h=\frac{u^2}{2g}-h$$

Тогда

$$2h=\frac{u^2}{2g}$$

$$h=\frac{u^2}{4g}=\frac{9}{40}=0,225$$

Ответ: 22,5 см
Задача 2. Тело массой $m = 1$ кг брошено c поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью $\upsilon_0 = 19,6$ м/с. Определить изменение потенциальной энергии тела за промежуток времени $t = 2$ с после броска.
Построить графики зависимости $\upsilon_y(t)$ и $Е_p(t)$. Сопротивление воздуха не учитывать.

Скорость $\upsilon$ тела изменяется так:

$$\upsilon=\upsilon_0-gt$$

Нетрудно заметить, что по истечении двух секунд тело будет находиться в точке наивысшего подъема, поэтому

$$h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}$$

А потенциальная энергия изменится на

$$E_p=mgh=\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{19,6^2}{2}=192$$

Ответ: энергия изменится на 192 Дж.

Задача 3. Под углом $\alpha = 30^{\circ}$ к горизонту произведен выстрел. Масса пули $m= 10^{-2}$ кг,  ее скорость $\upsilon_0= 10^3$ м/с. Найти зависимость мощности силы тяжести от времени, а также среднюю мощность этой силы в процессе подъема пули до верхней точки траектории. Сопротивление воздуха не учитывать.

Мощность силы тяжести – это скорость производимой ею работы. То есть надо найти работу силы тяжести. Пуля достигает некоторой наибольшей высоты – она поднимается, и при этом сила тяжести совершает некоторую работу, заметим, отрицательную. Мощность можно также представить как произведение силы на скорость:

$$A=mgh$$

$$N=-F\upsilon_y=mg(gt-\upsilon_0\sin{\alpha})=0,96t-50$$

Чтобы найти среднюю мощность, надо подставить среднюю скорость (среднюю скорость по оси $y$), а это половина начальной скорости:

$$\upsilon_{sr}=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{2}$$

Тогда средняя мощность равна:

$$N_{sr}=-F\upsilon_{sr}=mg\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{2}=-24,5$$

Ответ: $N=0,96t-50$, $N_{sr}=-24,5$ Вт.

Задача 4. Водосливная плотина Волжской ГЭС во время паводков может пропустить ежесекундно воду объемом $V = 45 000$ м$^3$. Зная, что высота плотины $H =25$ м, определить мощность водяного потока.

К задаче 4

Мощность силы  равна $F\upsilon$, а так как наша сила – сила тяжести, то

$$N=mg\upsilon$$

Масса воды такого объема равна

$$m=\rho V$$

А скорость

$$\upsilon=gt$$

$$h=\frac{gt^2}{2}$$

Откуда

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

А скорость тогда

$$\upsilon=gt=\sqrt{2hg}$$

Тогда

$$N=\rho V g \sqrt{2hg}$$

$$N=10^3 \cdot 45000 \cdot9,8 \cdot\sqrt{50\cdot9,8}=9,76\cdot10^9$$

Ответ: 10 ГВт

Задача 5. Определить полезную мощность водяного двигателя c КПД $\eta = 20$% ‚ если вода падает на его лопасти с высоты Н = 5 м. Начальная скорость воды на этой высоте $\upsilon_0 = 1$ м/с. У воды, выходящей из двигателя, скорость $u = 2$ м/с, а ежесекундный расход воды $Q= 2$ м$^3$/с.

Водяной двигатель (к задаче 5)

Вода, падая, приобретает скорость. Можно ее определить, и посчитать кинетическую энергию воды (внизу, у лопастей), а можно считать, что вода имела начальную кинетическую энергию, соответствующую скорости $\upsilon_0$, а потом еще к этой энергии добавилась потенциальная, которая в процессе падения тоже перешла в кинетическую. Из энергии, сообщенной водой лопастям часть утекает (ведь вода на выходе тоже имеет скорость, а следовательно, энергию), да кроме того, двигатель использует только 20% остатка. Тогда:

Кинетическая энергия еще не упавшей воды:

$$E_{k0}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

Потенциальная ее энергия:

$$E_p=mgh$$

Энергия, уносимая вытекающей из двигателя водой:

$$E_{k}=\frac{mu^2}{2}$$

Тогда общий приток энергии: $A=E_{k0}+ E_p- E_{k}$.

$$A=\frac{m}{2}\left(\upsilon_0^2+gh-u^2\right)$$

Масса воды равна $m=\rho Q t$

Мощность двигателя равна $N=\frac{A}{t}$

$$N=\frac{\rho Q }{2}\left(\upsilon_0^2+gh-u^2\right)$$

Полезная мощность равна

$$P=\eta N=\frac{\eta \rho Q }{2}\left(\upsilon_0^2+gh-u^2\right)$$

$$P=\frac{0,2 \cdot10^3 \cdot 2 }{2}\left(1^2+5\cdot9,8-2^2\right)=19,4\cdot10^3$$

Ответ: $P=19,4$ кВт

Задача 6. Вертолет, масса которого с грузом $m = 6 \cdot 10^3$ кг, за время $t = 15 $ с набрал высоту $Н = 225$ м. Определить полезную работу двигателя за это время‚ считая подъем вертолета равноускоренным.

К задаче 6

В данном случае работа – это энергия, сообщенная вертолету. А он не только поднялся на определенную высоту (то есть приобрел потенциальную энергию), но и набрал определенную скорость (то есть приобрел и кинетическую энергию тоже). Определим сумму этих двух видов энергии.

$$E_p=mgh$$

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Скорость вертолета равна:

$$\upsilon=at$$

$$h=\frac{at^2}{2}$$

Откуда ускорение вертолета

$$a=\frac{2h}{t^2}$$

Скорость же равна

$$\upsilon=\frac{2h}{t}$$
Квадрат скорости

$$\upsilon^2=\frac{4h^2}{t^2}$$
Кинетическая энергия вертолета

$$E_k=\frac{2m h^2}{t^2}$$

Работа равна

$$A= E_p+ E_k= mgh+\frac{2m h^2}{t^2}= 6 \cdot 10^3\cdot9,8\cdot225+\frac{12 \cdot 10^3 \cdot225^2}{15^2}=15,93\cdot10^6$$

Ответ: $A=16$ MДж