Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии

Сохранение энергии: задачи заочной школы МФТИ

Сложные, интересные задачи, после решения которых вы будете чувствовать себя гуру закона сохранения энергии)))

Задача 1. Космический корабль (КК) движется по околоземной орбите. Чему равна работа силы земного тяготения за время половины одного оборота КК вокруг Земли?

Так как энергия корабля осталась неизменной, то и работа, равная ее изменению, равна нулю.

Задача 2. Какую работу – положительную или отрицательную – мы совершаем: 1) растягивая пружину? 2) сжимая её?

И растягивая пружину, и сжимая ее, мы сообщаем ей потенциальную энергию. Иными словами, совершаем работу. Работа в обоих случаях ненулевая, положительная. Не путайте эту работу с работой силы упругости!

 

Задача 3. Недеформированную пружину сжали на 1 см, совершив при этом работу 10 Дж. Какую минимальную работу нужно совершить дополнительно, чтобы сжать её ещё на 1 см?

Определим работу как изменение потенциальной энергии пружины. Тогда

   

   

   

Нужно определить жесткость пружины. Сделаем это, использовав первую формулу.

   

Тогда:

   

   

Ответ: 30 Дж.

 

Задача 4. В каком случае двигатель автомобиля должен совершить большую полезную работу – при разгоне автомобиля с места до скорости 10 км/ч или далее при увеличении скорости от 10 км/ч до 20 км/ч?

Аналогично решению предыдущей задачи определим работу как изменение энергии. Тогда разность меньше, чем разность :

   

   

 

Задача 5. У какого из грузовиков, гружёного или порожнего, больше тормозной путь при одинаковой скорости в начале торможения? Торможение производится только задними колёсами. Нагрузка равномерно распределена по всем четырём колёсам. Коэффициент трения между покрышками и дорогой одинаков для обоих грузовиков. Сопротивление воздуха не учитывать.

Так как масса груженого автомобиля больше, чем пустого, энергия такого автомобиля больше. Чтобы снизить скорость до нуля, придется произвести  большее изменение энергии для груженого автомобиля, поэтому и совершенная работа будет больше.

 

Задача 6. Какую полезную работу совершает двигатель автомобиля «Жигули» массой т во время разгона на первых м пути, если это расстояние автомобиль проходит, двигаясь равноускорено, за время с? Коэффициент сопротивления движению .

Коэффициент сопротивления – такой коэффициент, который учитывает как силу трения об асфальт, так и сопротивление воздуха. Поскольку мы знаем, как работать с силой трения, то будем считать этот коэффициент коэффициентом трения (сведем все сопротивление к силе трения).

Тогда можно записать по второму закону:

   

   

Здесь – сила тяги автомобиля, она же – сила «полезная часть» силы трения, – сила сопротивления.

Ускорение автомобиля найдем как

   

   

   

Ответ: 195 кДж.

 

Задача 7. Какую полезную мощность развивает автомобиль из предыдущей задачи  в конце 10-й секунды своего движения?

Мгновенную мощность в конце 10-ой секунды вычислим по формуле

   

Здесь – скорость в конце 10 секунды.

   

Ответ: 39 кВт.

 

Задача 8. Шарик для игры в настольный теннис радиусом   мм и массой г погружён в воду на глубину см. Когда шарик отпустили, он выпрыгнул из воды на высоту   см. Сколько энергии перешло в теплоту вследствие трения шарика о воду? Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать, что количество энергии, перешедшей в теплоту, равно работе силы сопротивления воды, взятой с противоположным знаком: .

Сначала шарик находился в покое. В момент достижения им максимальной высоты подъема он снова неподвижен, но уже на другой высоте относительно первоначальной точки. То есть потенциальная энергия шарика изменилась, а кинетическая – нет. Изменение кинетической энергии – сумма работ, совершенных всеми силами. В воде на шарик действует сила Архимеда, сила тяжести и сила сопротивления воды. В воздухе – только сила тяжести. Работа силы тяжести отрицательна и равна

   

Работа силы сопротивления воды также отрицательна:

   

Работа силы Архимеда равна

   

Тогда:

   

   

По условию,

   

Ответ: мДж.

 

Задача 9. На какую высоту выпрыгнул бы из воды шарик для игры в пинг-понг из задачи 8, если бы вода не оказывала сопротивление движению шарика? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Исключим из уравнений работу силы сопротивления. В этом случае

Работа силы тяжести отрицательна и равна

   

Работа силы Архимеда равна

   

Изменение кинетической энергии – сумма работ, совершенных всеми силами:

   

   

   

   

Ответ: 55 см.

Задача 10. Льдина площадью м и толщиной м плавает в воде. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?

Так как , то

   

Где = объем льдины, – объем погруженной части.

Тогда

   

   

Глубина погружения льдины

   

«Недогруженными»  остались см.

При погружении льдины будет меняться сила Архимеда. Именно против нее мы будем совершать работу. Поэтому для вычислений нужно взять среднюю силу. Кроме того, в расчет возьмем не полную силу, а только тот «излишек», который возникнет в результате полного погружения льдины в воду, и, чтобы усреднить, поделим его пополам (на самом деле нужно считать интеграл с соответствующими пределами, но мы же с вами в школе):

   

Ответ: 8 Дж.

 

Задача 11. Поперёк шоссе лежит бревно массой и длиной . Чтобы освободить дорогу, бревно пытаются перетащить на траву, прикладывая силу вдоль бревна. Бревно перетащили лишь наполовину длины. Какую минимальную работу при этом совершили? Коэффициенты трения бревна об асфальт и о траву равны и соответственно.

Эту задачу я решала «по отдельности». Предположим, что ширина шоссе , и бревно занимает его от края до края. Первая половина бревна, потихоньку съезжая с асфальта, въезжала на траву. Коэффициент трения плавно менялся с до , тогда средний равен . Масса половины бревна , перетащили на , тогда работа по перетаскиванию равна

   

Теперь вторая половина. Она ехала только по асфальту, коэффициент трения не менялся, масса , перетащили на , тогда работа по перетаскиванию равна

   

Полная работа по перетаскиванию бревна равна

   

Ответ: .

 

Задача 12. Брусок массой 0,5 кг лежит на наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол (). Брусок соединен с вершиной наклонной плоскости недеформированной пружиной жёсткостью 64 Н/м. Какую скорость надо сообщить бруску вверх вдоль наклонной плоскости, чтобы он вернулся и остановился в начальной точке? Коэффициент трения между бруском и плоскостью 0,8.

Когда бруску сообщили скорость, то ему сообщили кинетическую энергию. Брусок стал двигаться вверх. При этом он терся о поверхность: тратил энергию на преодоление силы трения. Кинетическая энергия постепенно переходила в потенциальную энергию бруска (он поднимался выше по плоскости) и пружины (она сжималась). Теперь можно записать это уравнением:

   

Или, выражая высоту подъема через длину пройденного бруском расстояния,

   

Для силы реакции опоры плоскости можно записать, что , а для силы трения тогда

   

   

Теперь брусок станет двигаться вниз. Его потенциальная энергия и потенциальная энергия сжатой пружины будут переходить в работу силы трения. То есть

   

   

Сократим на :

   

Отсюда определим :

   

Подставим в уравнение (1):

   

   

   

   

   

Подставим числа:

   

Ответ:   м/с.

 

Задача 13. (МФТИ, 2008) На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся незакреплённые горки массами и . На вершине горки массой на высоте лежит монета массой (рис.). От незначительного толчка монета съезжает с горки в направлении другой горки. На какую максимальную высоту сможет подняться монета на горке массой ? Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Шайба не отрывается от поверхностей горок, а поступательно движущиеся горки – от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

Запишем закон сохранения импульса. Сначала общая масса монетки и горки покоилась, а затем монетка съехала вперед, а горка – назад:

   

Откуда получим, что

   

Теперь запишем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия монетки перешла в кинетическую энергию монетки и горки (монетка полностью съехала вниз):

   

Подставляя ранее полученное отношение скоростей монетки и горки, имеем:

   

Найдем теперь скорость монетки на столе перед заездом на вторую горку:

   

Снова обращаемся за помощью к закону сохранения импульса:

   

Откуда

   

И снова составим закон сохранения энергии. Кинетическая энергия монетки переходит в ее потенциальную энергию, а также в кинетическую энергию горки:

   

Откуда

   

Подставим скорость второй горки из закона сохранения импульса:

   

   

Ответ: .

 

 

Задача 14. На пути тележки массой , скользящей по гладкому горизонтальному столу со скоростью , находится незакреплённая горка высотой и массой . Тележка по горке, а также горка по столу скользят без трения. Скорость тележки недостаточна, чтобы преодолеть горку. На какую максимальную высоту поднимется тележка? Какие скорость и приобретут тележка и горка, когда тележка съедет с горки, не добравшись до вершины?

Запишем закон сохранения импульса:

   

   

Теперь запишем закон сохранения энергии. Кинетическая энергия тележки перейдет в ее потенциальную, а также в кинетическую энергию системы горка – тележка:

   

Откуда

   

Теперь тележка съезжает с горки. По закону сохранения импульса

   

   

По закону сохранения энергии

   

   

После преобразований данного выражения, которые я не хочу приводить, получим скорость горки:

   

Вообще, получается два корня, один из которых . Этот корень подразумевает, что , то есть тележка преодолела всю горку: при въезде толкнула горку вперед, при скатывании – назад, и горка осталась неподвижной. Этот корень по условию не подойдет нам.

Из закона сохранения импульса найдем скорость тележки:

   

   

Ответ: ,  скорость горки , скорость тележки  .

 

Задача 15. При движении автомобиля на подъёме с углом наклона поверхности дороги к горизонту () у него устанавливается скорость при полезной мощности автомобиля кВт. При движении автомобиля по горизонтальному участку дороги при той же полезной мощности у него устанавливается скорость . Какую полезную мощность должен развивать автомобиль при спуске с углом наклона поверхности дороги () со скоростью ? Сила сопротивления движению автомобиля пропорциональна квадрату его скорости.

Так как сила сопротивления движению пропорциональна квадрату скорости, то можно записать

   

Работа по преодолению этой силы будет равна

   

А мощность

   

– коэффициент.

Кроме того, работа совершается и против силы тяжести (в первом случае), а в третьем, наоборот, сила тяжести нам будет помогать.

Работа против силы тяжести (при подъеме) будет равна:

   

   

Требуемая в этом случае дополнительная мощность

   

– коэффициент.

Общая мощность в первом случае равна

   

Теперь рассмотрим второй случай.

   

Так как по условию , то

   

Откуда

   

Теперь, наконец, случай движения вниз по склону. Работа по преодолению силы сопротивления

   

   

Работа силы тяжести (при спуске) будет равна:

   

   

Требуемая в этом случае дополнительная мощность

   

– все тот же коэффициент.

Общая мощность в третьем случае равна

   

Подставим , определив эту величину:

   

   

   

Подставим , имеем:

   

Ответ: .

 

Задача 16. Ракета массой с работающим двигателем неподвижно «зависла» над землей. Скорость вырывающихся из ракеты газов равна . Какова мощность двигателя ракеты?

Ракета «зависла», следовательно,

   

Здесь – сила давления газов на ракету. Тогда импульс, сообщаемый газу (ведь ракета действует на газы с такой же точно силой) равен

   

Но с другой стороны этот импульс равен :

   

Кроме того, работа двигателя равна кинетической энергии вылетевших газов:

   

Мощность двигателя – скорость совершения работы – равна

   

Подставим ранее найденный импульс:

   

Ответ:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *