Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Законы сохранения энергии

Сохранение энергии и кинематика

Здесь собраны хорошие простые задачи, которые помогут закрепить тему сохранения энергии, и заодно вспомнить закон Гука, формулы кинематики и закон сохранения импульса.

Задача 1. При подготовке игрушечного пистолета к выстрелу пружину жесткостью 800 Н/м сжали на 5 см. Какую скорость приобретет пуля массой 20 г при выстреле в горизонтальном направлении?

В сжатой пружине аккумулирована энергия

    \[E_p=\frac{kx^2}{2}\]

Эта энергия при выстреле будет передана пуле:

    \[E_k=E_p=\frac{m \upsilon^2}{2}\]

Откуда скорость пули

    \[\upsilon=x\sqrt{\frac{k}{m}}= 0,05\sqrt{\frac{800}{0,02}}=10\]

Ответ: \upsilon=10 м/с.

 

Задача 2. Хоккейная шайба массой 160 г, летящая со скоростью 20 м/с, влетела в ворота и ударила в сетку, которая при этом прогнулась на 6,4 см. Какова максимальная сила, с которой шайба подействовала на сетку? Считать, что сила упругости сетки изменяется в зависимости от ее прогиба по закону Гука.

К задаче 2

Шайба обладала кинетической энергией, которую и передала сетке.

    \[E_k =\frac{m \upsilon^2}{2}=E_p\]

    \[E_p=\frac{kx^2}{2}\]

    \[m \upsilon^2= kx^2\]

Сила, с которой шайба подействовала на сетку, может быть найдена по закону Гука:

    \[F=kx\]

Тогда

    \[m \upsilon^2= Fx\]

    \[F=\frac{ m \upsilon^2}{x}=\frac{ 0,16\cdot 400}{0,064}=1000\]

Ответ: F=1000 Н.

 

К задаче 3

Задача 3. На «американских горах» имеется мертвая петля. Ее радиус 10 м. С какой минимальной высоты h над дном петли должна двигаться тележка, чтобы удержаться на колее, если потерями энергии на трение можно пренебречь?

Чтобы тележка удержалась в верхней части петли, необходимо, чтобы центробежная сила (сила инерции) была бы равна силе тяжести:

    \[m a_n=mg\]

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{R}=g\]

Откуда

    \[\upsilon^2=Rg\]

Теперь запишем закон сохранения энергии для тележки. В верхней точке петли она будет обладать как кинетической, так и потенциальной энергией:

    \[E=\frac{ m \upsilon^2}{2}+mg\cdot 2R=m(\frac{Rg}{2}+2Rg)=2,5 m g R\]

Поэтому тележка должна стартовать из точки на такой высоте, чтобы потенциальная ее энергия была бы равна 2,5 m g R^

    \[E_p=mgh=2,5 m g R\]

Откуда h=2,5R=25 м.

Ответ: h=25 м.

 

Задача 4. Неупругие шары массами 1 кг и 2 кг движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно равными1 м/с и 2 м/с. Найдите изменение кинетической энергии системы после удара.

Применим закон сохранения импульса:

    \[m_1 \upsilon_1-m_2\upsilon_2=(m_1+m_2)\upsilon\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{ m_1 \upsilon_1-m_2\upsilon_2}{ m_1+m_2}=\frac{ 1-4}{ 3}=-1\]

Минус свидетельствует о том, что система после слипания будет двигаться в ту же сторону, куда двигался шар с большей скоростью, а его скорость мы направили против оси x, и поэтому поставили в первом уравнении «минус» перед m_2\upsilon_2. Для того, чтобы определить изменение кинетической энергии системы, совершенно неважно, куда направлена эта скорость, а важна ее величина. Система обладала кинетической энергией:

    \[E_{k1}=\frac{ m_1 \upsilon_1^2}{2}+\frac{ m_2 \upsilon_2^2}{2}\]

А после слипания шаров ее кинетическая энергия стала равна:

    \[E_{k2}=\frac{ (m_1+m_2) \upsilon^2}{2}\]

Тогда изменение энергии:

    \[\Delta E=E_{k2}- E_{k1}=\frac{ (m_1+m_2) \upsilon^2}{2}-\frac{ m_1 \upsilon_1^2}{2}-\frac{ m_2 \upsilon_2^2}{2}=\frac{ (m_1 \upsilon_1-m_2\upsilon_2)^2}{2 (m_1+m_2)}-\frac{ m_1 \upsilon_1^2}{2}-\frac{ m_2 \upsilon_2^2}{2}=\]

    \[=\frac{(-3)^2}{2 \cdot 3}-\frac{ 1}{2}-4=-3\]

Ответ: \Delta E=-3 Дж.

Задача 5. Троллейбус массой 15 т трогается с места с ускорением 1‚4 м/с^2. Найдите работу силы тяги и работу силы сопротивления на первых 10 м пути, если коэффициент трения равен 0,02. Какую кинетическую энергию приобрел троллейбус?

К задаче 5

Определим работу силы трения. Сама сила трения равна \mu N, а сила реакции опоры в данном случае – это сила тяжести:

    \[A_{tr}=-F_{tr}\cdot S=-\mu N \cdot S=-\mu mg \cdot S=-0,02\cdot 15000 \cdot 10\cdot 10=-30 000\]

Сила тяги должна совершить такую работу, чтобы покрыть затраты на трение да еще придать троллейбусу кинетическую энергию:

    \[A_t=A_{tr}+E_k= A_{tr}+\frac{m\upsilon^2}{2}\]

Квадрат скорости найдем из формулы

    \[2aS=\upsilon^2-\upsilon_0^2\]

В нашем случае  она примет вид:

    \[2aS=\upsilon^2\]

Тогда работа силы тяги

    \[A_t=\mu mg \cdot S +maS =30 000 + 15 000 \cdot 1,4\cdot 10=240 000\]

Ответ: работа силы сопротивления A_{tr}=-30 кДж, работа силы тяги A_t=240 кДж.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *