[latexpage]
Задача 1. Пуля, масса которой $m$, пробивает ящик массой $M$, стоящий на плоскости. Пуля подлетает к ящику со скоростью $\upsilon$, а вылетает из него со скоростью $\frac{\upsilon}{2}$. Какое количество теплоты выделится при движении пули в ящике? Начальную и конечную скорости пули считать горизонтальными.

Ящик и пуля
Кинетическая энергия пули при подлете к ящику была: $E_{k1}=\frac{m{\upsilon}^2}{2}$
Кинетическая энергия пули при вылете из него: $E_{k2}=\frac{m{\upsilon}^2}{8}$
Изменение кинетической энергии пули равно:
$$\Delta E_k= E_{k1}- E_{k2}=\frac{m{\upsilon}^2}{2}-\frac{m{\upsilon}^2}{8}$$ $$=\frac{3m{\upsilon}^2}{8}$$
Эта разница передалась ящику. Но не вся эта энергия преобразуется в тепло, часть перейдет в кинетическую энергию ящика. По закону сохранения импульса:
$$\frac{m \upsilon}{2}=M\upsilon_M$$
Скорость ящика:
$$\upsilon_M=\frac{m \upsilon}{2M}$$
Тогда кинетическая энергия ящика равна:
$$E_{kM}=\frac{Mm^2{\upsilon}^2 }{8M^2}=\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M}$$
На тепло пойдет:
$$\Delta E_k – E_{kM}=\frac{3m{\upsilon}^2}{8}-\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M}=\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M} \cdot(1-\frac{m}{3M})$$
Задача 2. Пластмассовый шар массой $M$ лежит на подставке с отверстием. Снизу в шар через отверстие попадает вертикально летящая пуля массой $m$ и пробивает его насквозь. При этом шар подскакивает на высоту $h$. На какую высоту $H$ над подставкой поднимется пробившая шар пуля, если ее скорость перед попаданием была равна $\upsilon_0$?

Шар и пуля
Скорость пули при подлете к ящику была: $\upsilon_0$
Скорость пули при вылете из него: $\upsilon_1$
По закону сохранения импульса:
$$m (\upsilon_0-\upsilon _1)=M\upsilon_M$$
Скорость шара:
$$\upsilon_M=\frac{ m (\upsilon_0-\upsilon _1)}{M}$$
Кинетическая энергия шара:
$$E_{M}=\frac{M{\upsilon_M}^2}{2}=\frac{m^2(\upsilon_0-\upsilon _1)^2}{2M}$$

Пуля пробила шар, тот подскочил
Когда шар подскочит на максимальную высоту, его кинетическая энергия перейдет потенциальную:
$$Mgh=\frac{m^2(\upsilon_0-\upsilon _1)^2}{2M}$$
Отсюда можно определить скорость пули на вылете из шара:
$$\frac{2M^2gh}{m^2}=(\upsilon_0-\upsilon _1)^2$$
$$\upsilon_0-\upsilon _1=\sqrt{\frac{2M^2gh}{m^2}}$$
$$\upsilon _1=-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}+\upsilon_0$$
Кинетическая энергия пули на вылете из шара тоже перейдет в потенциальную, когда пуля достигнет максимальной высоты:
$$\frac{m{\upsilon _1}^2}{2}=mgH$$
Откуда: $H=\frac{\upsilon _1^2}{2g}$
Подставим ранее найденную скорость пули:
$${\upsilon _1}^2=\left(\upsilon_0-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}\right)^2$$
$$H=\frac{\upsilon _1^2}{2g}=\frac{1}{2g}\left(\upsilon_0-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}\right)^2$$
«Вытащим» $\sqrt{2gh}$ за скобку:
$$H=h\left(\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2gh}}-\frac{M}{m}\right)^2$$
Задача 3. Пуля массой $m=5$ г, имеющая скорость $\upsilon = 500$ м/с, попадает в шар массой $M=0,5$ кг, подвешенный на нити, и застревает в нем. При какой наибольшей длине нити $l$ шар совершит полный оборот по окружности? Как изменится ответ, если нить заменить невесомым стержнем?
Решение проведено при консультации Левиева Г. И.

Шар на нити
Когда пуля ударяет в шар и застревает в нем, она передает всю свою кинетическую энергию системе «шар-пуля». Шар с пулей по закону сохранения импульса системы тел будет обладать скоростью $u$ в нижней точке траектории (сразу после столкновения):
$$m \upsilon=(M+m) u$$
$$ u =\frac{m \upsilon }{ M+m } $$
Если шар подвешен на нитке, то в верхней точке траектории сила натяжения нити равна: $T=(M+m)a_z$, где $a_z$ – центростремительное ускорение. Так как шар с пулей обладают скоростью в верхней точке траектории $u_2$ (есть центростремительное ускорение), но потенциальная энергия системы иная, нежели внизу , то очевидно, что скорость системы «шар-пуля» в верхней точке траектории отличается от скорости в нижней ее точке – ($u$):
$$a_z=\frac{u_2^2}{l}$$
В то же самое время на шар с пулей действует сила тяжести $(M+m)g$. В наивысшей точке эти силы равны:
$$(M+m) \frac{u_2^2}{l}=(M+m)g$$
Или
$$\frac{u_2^2}{l}=g$$
$$u_2^2=gl$$
Теперь составим закон сохранения энергии для системы «шар-пуля»: кинетическая энергия шара с пулей внизу частично переходит в потенциальную, когда шар поднимется в верхнюю точку:
$$\frac{(M+m)u^2}{2}=\frac{(M+m)u_2^2}{2}+(M+m)2gl$$
Или
$$\frac{u^2}{2}=\frac{u_2^2}{2}+2gl$$
$$u^2=u_2^2+4gl$$
Подставим $u_2^2=gl$
$$u^2=5gl$$
По закону сохранения импульса $ u =\frac{m \upsilon }{ M+m } $
$$ u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2} $$
$$ u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2}= 5gl $$
$$ l =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ 5g (M+m)^2} $$
Если же шар будет подвешен на стержне, то сила реакции опоры стержня также присутствует:
$$(M+m) \frac{u_2^2}{l}=(M+m)g-N=0$$
Или
$$u_2=0$$
Закон сохранения энергии по-прежнему запишется:
$$\frac{(M+m)u^2}{2}=\frac{(M+m)u_2^2}{2}+(M+m)2gl$$
Или
$$\frac{u^2}{2}=\frac{u_2^2}{2}+2gl$$
$$u^2=u_2^2+4gl$$
Так как $u_2=0$
$$u^2=4gl$$
По закону сохранения импульса $ u =\frac{m \upsilon }{ M+m } $
$$ u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2} $$
$$ u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2}= 4gl $$
$$ l =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ 4g (M+m)^2} $$
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...