Сохранение энергии и импульса

[latexpage]

Задача 1. Пуля, масса которой $m$, пробивает ящик массой $M$, стоящий на плоскости.  Пуля подлетает к ящику со скоростью $\upsilon$, а вылетает из него со скоростью $\frac{\upsilon}{2}$. Какое количество теплоты выделится при движении пули в ящике? Начальную и конечную скорости пули считать горизонтальными.

Ящик и пуля

Кинетическая энергия пули при подлете к ящику была: $E_{k1}=\frac{m{\upsilon}^2}{2}$

Кинетическая энергия пули при вылете из него:  $E_{k2}=\frac{m{\upsilon}^2}{8}$

Изменение кинетической энергии пули равно:

$$\Delta E_k= E_{k1}- E_{k2}=\frac{m{\upsilon}^2}{2}-\frac{m{\upsilon}^2}{8}$$ $$=\frac{3m{\upsilon}^2}{8}$$

Эта разница передалась ящику. Но не вся эта энергия преобразуется в тепло, часть перейдет в кинетическую энергию ящика. По закону сохранения импульса:

$$\frac{m \upsilon}{2}=M\upsilon_M$$

Скорость ящика:

$$\upsilon_M=\frac{m \upsilon}{2M}$$

Тогда кинетическая энергия ящика равна:

$$E_{kM}=\frac{Mm^2{\upsilon}^2 }{8M^2}=\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M}$$

На тепло пойдет:

$$\Delta E_k – E_{kM}=\frac{3m{\upsilon}^2}{8}-\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M}=\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M} \cdot(1-\frac{m}{3M})$$

Задача 2.  Пластмассовый шар массой $M$ лежит на подставке с отверстием.  Снизу в шар через отверстие попадает вертикально летящая пуля массой $m$ и пробивает его насквозь. При этом шар подскакивает на высоту $h$. На какую высоту $H$ над подставкой  поднимется пробившая шар пуля, если ее скорость перед попаданием была равна $\upsilon_0$?

Шар и пуля

Скорость пули при подлете к ящику была: $\upsilon_0$

Скорость  пули при вылете из него:  $\upsilon_1$

По закону сохранения импульса:

$$m (\upsilon_0-\upsilon _1)=M\upsilon_M$$

Скорость шара:

$$\upsilon_M=\frac{ m (\upsilon_0-\upsilon _1)}{M}$$

Кинетическая энергия шара:

$$E_{M}=\frac{M{\upsilon_M}^2}{2}=\frac{m^2(\upsilon_0-\upsilon _1)^2}{2M}$$

Пуля пробила шар, тот подскочил

Когда шар подскочит на максимальную высоту, его кинетическая энергия перейдет  потенциальную:

$$Mgh=\frac{m^2(\upsilon_0-\upsilon _1)^2}{2M}$$

Отсюда можно определить скорость пули на вылете из шара:

$$\frac{2M^2gh}{m^2}=(\upsilon_0-\upsilon _1)^2$$

$$\upsilon_0-\upsilon _1=\sqrt{\frac{2M^2gh}{m^2}}$$

$$\upsilon _1=-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}+\upsilon_0$$

Кинетическая энергия пули на вылете из шара тоже перейдет в потенциальную, когда пуля достигнет максимальной высоты:

$$\frac{m{\upsilon _1}^2}{2}=mgH$$

Откуда: $H=\frac{\upsilon _1^2}{2g}$

Подставим ранее найденную скорость пули:

$${\upsilon _1}^2=\left(\upsilon_0-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}\right)^2$$

$$H=\frac{\upsilon _1^2}{2g}=\frac{1}{2g}\left(\upsilon_0-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}\right)^2$$

«Вытащим»  $\sqrt{2gh}$ за скобку:

$$H=h\left(\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2gh}}-\frac{M}{m}\right)^2$$

Задача 3. Пуля массой $m=5$ г, имеющая скорость $\upsilon = 500$ м/с, попадает в шар массой $M=0,5$ кг, подвешенный на нити, и застревает в нем. При какой наибольшей длине нити $l$ шар совершит полный оборот по окружности? Как изменится ответ, если нить заменить невесомым стержнем?

Решение проведено при консультации Левиева Г. И.

Шар на нити

Когда пуля ударяет в шар и застревает в нем, она передает всю свою кинетическую энергию системе «шар-пуля». Шар с пулей по закону сохранения импульса системы тел будет обладать скоростью $u$ в нижней точке траектории (сразу после столкновения):

$$m \upsilon=(M+m) u$$

$$ u =\frac{m \upsilon }{ M+m } $$

Если шар подвешен  на нитке, то в верхней точке траектории сила натяжения нити равна: $T=(M+m)a_z$, где $a_z$ – центростремительное ускорение.  Так как шар с пулей обладают скоростью в верхней точке  траектории $u_2$ (есть центростремительное ускорение), но потенциальная энергия системы иная, нежели внизу , то очевидно, что скорость системы «шар-пуля» в верхней точке траектории отличается от скорости в нижней ее точке – ($u$):

$$a_z=\frac{u_2^2}{l}$$

В то же самое время на шар с пулей действует сила тяжести $(M+m)g$. В наивысшей точке эти силы равны:

$$(M+m) \frac{u_2^2}{l}=(M+m)g$$

Или

$$\frac{u_2^2}{l}=g$$

$$u_2^2=gl$$

Теперь составим закон сохранения энергии для системы «шар-пуля»: кинетическая энергия шара с пулей внизу частично переходит в потенциальную, когда шар поднимется в верхнюю точку:

$$\frac{(M+m)u^2}{2}=\frac{(M+m)u_2^2}{2}+(M+m)2gl$$

Или

$$\frac{u^2}{2}=\frac{u_2^2}{2}+2gl$$

$$u^2=u_2^2+4gl$$

Подставим $u_2^2=gl$

$$u^2=5gl$$

По закону сохранения импульса $ u =\frac{m \upsilon }{ M+m } $

$$ u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2} $$

$$ u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2}= 5gl $$

$$ l =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ 5g (M+m)^2} $$

Если же шар будет подвешен на стержне, то сила реакции опоры стержня также присутствует:

$$(M+m) \frac{u_2^2}{l}=(M+m)g-N=0$$

Или

$$u_2=0$$

Закон сохранения энергии по-прежнему запишется:

$$\frac{(M+m)u^2}{2}=\frac{(M+m)u_2^2}{2}+(M+m)2gl$$

Или

$$\frac{u^2}{2}=\frac{u_2^2}{2}+2gl$$

$$u^2=u_2^2+4gl$$

Так как $u_2=0$

$$u^2=4gl$$

По закону сохранения импульса $ u =\frac{m \upsilon }{ M+m } $

$$ u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2} $$

$$ u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2}= 4gl $$

$$ l =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ 4g (M+m)^2} $$