Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии

Сохранение энергии и импульса



Задача 1. Пуля, масса которой m, пробивает ящик массой M, стоящий на плоскости.  Пуля подлетает к ящику со скоростью \upsilon, а вылетает из него со скоростью \frac{\upsilon}{2}. Какое количество теплоты выделится при движении пули в ящике? Начальную и конечную скорости пули считать горизонтальными.


Ящик и пуля

Кинетическая энергия пули при подлете к ящику была: E_{k1}=\frac{m{\upsilon}^2}{2}

Кинетическая энергия пули при вылете из него:  E_{k2}=\frac{m{\upsilon}^2}{8}

Изменение кинетической энергии пули равно:

    \[\Delta E_k= E_{k1}- E_{k2}=\frac{m{\upsilon}^2}{2}-\frac{m{\upsilon}^2}{8}\]

    \[=\frac{3m{\upsilon}^2}{8}\]

Эта разница передалась ящику. Но не вся эта энергия преобразуется в тепло, часть перейдет в кинетическую энергию ящика. По закону сохранения импульса:

    \[\frac{m \upsilon}{2}=M\upsilon_M\]

Скорость ящика:

    \[\upsilon_M=\frac{m \upsilon}{2M}\]

Тогда кинетическая энергия ящика равна:

    \[E_{kM}=\frac{Mm^2{\upsilon}^2 }{8M^2}=\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M}\]

На тепло пойдет:

    \[\Delta E_k - E_{kM}=\frac{3m{\upsilon}^2}{8}-\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M}=\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M} \cdot(1-\frac{m}{3M})\]

 

Задача 2.  Пластмассовый шар массой M лежит на подставке с отверстием.  Снизу в шар через отверстие попадает вертикально летящая пуля массой m и пробивает его насквозь. При этом шар подскакивает на высоту h. На какую высоту H над подставкой  поднимется пробившая шар пуля, если ее скорость перед попаданием была равна \upsilon_0?


Шар и пуля

Скорость пули при подлете к ящику была: \upsilon_0

Скорость  пули при вылете из него:  \upsilon_1

По закону сохранения импульса:

    \[m (\upsilon_0-\upsilon _1)=M\upsilon_M\]

Скорость шара:

    \[\upsilon_M=\frac{ m (\upsilon_0-\upsilon _1)}{M}\]

Кинетическая энергия шара:

    \[E_{M}=\frac{M{\upsilon_M}^2}{2}=\frac{m^2(\upsilon_0-\upsilon _1)^2}{2M}\]

Пуля пробила шар, тот подскочил

Когда шар подскочит на максимальную высоту, его кинетическая энергия перейдет  потенциальную:

    \[Mgh=\frac{m^2(\upsilon_0-\upsilon _1)^2}{2M}\]

Отсюда можно определить скорость пули на вылете из шара:

    \[\frac{2M^2gh}{m^2}=(\upsilon_0-\upsilon _1)^2\]

    \[\upsilon_0-\upsilon _1=\sqrt{\frac{2M^2gh}{m^2}}\]

    \[\upsilon _1=-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}+\upsilon_0\]

Кинетическая энергия пули на вылете из шара тоже перейдет в потенциальную, когда пуля достигнет максимальной высоты:

    \[\frac{m{\upsilon _1}^2}{2}=mgH\]

Откуда: H=\frac{\upsilon _1^2}{2g}

Подставим ранее найденную скорость пули:

    \[{\upsilon _1}^2=\left(\upsilon_0-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}\right)^2\]

    \[H=\frac{\upsilon _1^2}{2g}=\frac{1}{2g}\left(\upsilon_0-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}\right)^2\]

«Вытащим»  \sqrt{2gh} за скобку:

    \[H=h\left(\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2gh}}-\frac{M}{m}\right)^2\]

 



Задача 3. Пуля массой m=5 г, имеющая скорость \upsilon = 500 м/с, попадает в шар массой M=0,5 кг, подвешенный на нити, и застревает в нем. При какой наибольшей длине нити l шар совершит полный оборот по окружности? Как изменится ответ, если нить заменить невесомым стержнем?

Решение проведено при консультации Левиева Г. И.


Шар на нити

Когда пуля ударяет в шар и застревает в нем, она передает всю свою кинетическую энергию системе «шар-пуля». Шар с пулей по закону сохранения импульса системы тел будет обладать скоростью u в нижней точке траектории (сразу после столкновения):

    \[m \upsilon=(M+m) u\]

    \[u =\frac{m \upsilon }{ M+m }\]

 

Если шар подвешен  на нитке, то в верхней точке траектории сила натяжения нити равна: T=(M+m)a_z, где a_z – центростремительное ускорение.  Так как шар с пулей обладают скоростью в верхней точке  траектории u_2 (есть центростремительное ускорение), но потенциальная энергия системы иная, нежели внизу , то очевидно, что скорость системы «шар-пуля» в верхней точке траектории отличается от скорости в нижней ее точке – (u):

    \[a_z=\frac{u_2^2}{l}\]

В то же самое время на шар с пулей действует сила тяжести (M+m)g. В наивысшей точке эти силы равны:

    \[(M+m) \frac{u_2^2}{l}=(M+m)g\]

Или

    \[\frac{u_2^2}{l}=g\]

    \[u_2^2=gl\]

Теперь составим закон сохранения энергии для системы «шар-пуля»: кинетическая энергия шара с пулей внизу частично переходит в потенциальную, когда шар поднимется в верхнюю точку:

    \[\frac{(M+m)u^2}{2}=\frac{(M+m)u_2^2}{2}+(M+m)2gl\]

Или

    \[\frac{u^2}{2}=\frac{u_2^2}{2}+2gl\]

    \[u^2=u_2^2+4gl\]

Подставим u_2^2=gl

    \[u^2=5gl\]

По закону сохранения импульса u =\frac{m \upsilon }{ M+m }

    \[u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2}\]

    \[u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2}= 5gl\]

    \[l =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ 5g (M+m)^2}\]

Если же шар будет подвешен на стержне, то сила реакции опоры стержня также присутствует:

    \[(M+m) \frac{u_2^2}{l}=(M+m)g-N=0\]

Или

    \[u_2=0\]

Закон сохранения энергии по-прежнему запишется:

    \[\frac{(M+m)u^2}{2}=\frac{(M+m)u_2^2}{2}+(M+m)2gl\]

Или

    \[\frac{u^2}{2}=\frac{u_2^2}{2}+2gl\]

    \[u^2=u_2^2+4gl\]

Так как u_2=0

    \[u^2=4gl\]

По закону сохранения импульса u =\frac{m \upsilon }{ M+m }

    \[u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2}\]

    \[u^2 =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ (M+m)^2}= 4gl\]

    \[l =\frac{m^2 \upsilon^2 }{ 4g (M+m)^2}\]

 



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *