Сохранение энергии и импульса

Задача 1. Пуля, масса которой $m$ , пробивает ящик массой $M$ , стоящий на плоскости. Пуля подлетает к ящику со скоростью $\upsilon$ , а вылетает из него со скоростью $\frac{\upsilon}{2}$ . Какое количество теплоты выделится при движении пули в ящике? Начальную и конечную скорости пули считать горизонтальными.

Ящик и пуля

Кинетическая энергия пули при подлете к ящику была: $E_{k1}=\frac{m{\upsilon}^2}{2}$

Кинетическая энергия пули при вылете из него: $E_{k2}=\frac{m{\upsilon}^2}{8}$

Изменение кинетической энергии пули равно:

$\Delta E_k= E_{k1}- E_{k2}=\frac{m{\upsilon}^2}{2}-\frac{m{\upsilon}^2}{8}$

$=\frac{3m{\upsilon}^2}{8}$

Эта разница передалась ящику. Но не вся эта энергия преобразуется в тепло, часть перейдет в кинетическую энергию ящика. По закону сохранения импульса:

$\frac{m \upsilon}{2}=M\upsilon_M$

Скорость ящика:

$\upsilon_M=\frac{m \upsilon}{2M}$

Тогда кинетическая энергия ящика равна:

$E_{kM}=\frac{Mm^2{\upsilon}^2 }{8M^2}=\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M}$

На тепло пойдет:

$\Delta E_k - E_{kM}=\frac{3m{\upsilon}^2}{8}-\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M}=\frac{m^2{\upsilon}^2 }{8M} \cdot(1-\frac{m}{3M})$

Задача 2. Пластмассовый шар массой $M$ лежит на подставке с отверстием. Снизу в шар через отверстие попадает вертикально летящая пуля массой $m$ и пробивает его насквозь. При этом шар подскакивает на высоту $h$ . На какую высоту $H$ над подставкой поднимется пробившая шар пуля, если ее скорость перед попаданием была равна $\upsilon_0$ ?

Шар и пуля

Скорость пули при подлете к ящику была: $\upsilon_0$

Скорость пули при вылете из него: $\upsilon_1$

По закону сохранения импульса:

$m (\upsilon_0-\upsilon _1)=M\upsilon_M$

Скорость шара:

$\upsilon_M=\frac{ m (\upsilon_0-\upsilon _1)}{M}$

Кинетическая энергия шара:

$E_{M}=\frac{M{\upsilon_M}^2}{2}=\frac{m^2(\upsilon_0-\upsilon _1)^2}{2M}$

Пуля пробила шар, тот подскочил

Когда шар подскочит на максимальную высоту, его кинетическая энергия перейдет потенциальную:

$Mgh=\frac{m^2(\upsilon_0-\upsilon _1)^2}{2M}$

Отсюда можно определить скорость пули на вылете из шара:

$\frac{2M^2gh}{m^2}=(\upsilon_0-\upsilon _1)^2$

$\upsilon_0-\upsilon _1=\sqrt{\frac{2M^2gh}{m^2}}$

$\upsilon _1=-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}+\upsilon_0$

Кинетическая энергия пули на вылете из шара тоже перейдет в потенциальную, когда пуля достигнет максимальной высоты:

$\frac{m{\upsilon _1}^2}{2}=mgH$

Откуда: $H=\frac{\upsilon _1^2}{2g}$

Подставим ранее найденную скорость пули:

${\upsilon _1}^2=\left(\upsilon_0-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}\right)^2$

$H=\frac{\upsilon _1^2}{2g}=\frac{1}{2g}\left(\upsilon_0-\frac{M}{m}\sqrt{2gh}\right)^2$

«Вытащим» $\sqrt{2gh}$ за скобку:

$H=h\left(\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2gh}}-\frac{M}{m}\right)^2$

Задача 3. Пуля массой $m=5$ г, имеющая скорость $\upsilon = 500$ м/с, попадает в шар массой $M=0,5$ кг, подвешенный на нити, и застревает в нем. При какой наибольшей длине нити $l$ шар совершит полный оборот по окружности? Как изменится ответ, если нить заменить невесомым стержнем?

Решение проведено при консультации Левиева Г. И.

Шар на нити

Когда пуля ударяет в шар и застревает в нем, она передает всю свою кинетическую энергию системе «шар-пуля». Шар с пулей по закону сохранения импульса системы тел будет обладать скоростью $u$ в нижней точке траектории (сразу после столкновения):

$m \upsilon=(M+m) u$

$u =\frac{m \upsilon }{ M+m }$

Если шар подвешен на нитке, то в верхней точке траектории сила натяжения нити равна: $T=(M+m)a_z$ , где $a_z$ – центростремительное ускорение. Так как шар с пулей обладают скоростью в верхней точке траектории $u_2$ (есть центростремительное ускорение), но потенциальная энергия системы иная, нежели внизу , то очевидно, что скорость системы «шар-пуля» в верхней точке траектории отличается от скорости в нижней ее точке – ( $u$ ):

$a_z=\frac{u_2^2}{l}$

В то же самое время на шар с пулей действует сила тяжести $(M+m)g$ . В наивысшей точке эти силы равны:

$(M+m) \frac{u_2^2}{l}=(M+m)g$

Или

$\frac{u_2^2}{l}=g$

$u_2^2=gl$

Теперь составим закон сохранения энергии для системы «шар-пуля»: кинетическая энергия шара с пулей внизу частично переходит в потенциальную, когда шар поднимется в верхнюю точку:

$\frac{(M+m)u^2}{2}=\frac{(M+m)u_2^2}{2}+(M+m)2gl$