Сосуды

[latexpage]

Две задачи про газы в сосудах. Из числа олимпиадных. Разберем их.

Задача 1. В сосуде находятся гелий $He$ и азот $N_2$ в количестве $\nu_1$ и $\nu_2$ соответственно. Сосуд разделён на две части пористой перегородкой П (рисунок), которая свободно пропускает гелий и не пропускает азот, причём изначально азот был только в правой части. Пренебрегая теплоемкостью стенок сосуда и поршней, найдите теплоёмкость системы при нагревании в следующих условиях: 1) при закреплённых поршнях; 2) при свободных поршнях, создающих постоянные давления; 3) при свободном левом поршне, создающем постоянное давление, и закреплённом правом поршне. Универсальная газовая постоянная $R$ известна.

К задаче 1

Решение. Если поршни закреплены, то газы занимают постоянные объемы – то есть работа ими не совершается. Значит, количество теплоты, полученное ими – это изменение их внутренней энергии. Тогда в первом случае

$$C_1=\frac{Q_1}{\Delta T}=\frac{\frac{3}{2}\nu_1 R\Delta T +\frac{5}{2}\nu_2 R\Delta T }{\Delta T}=\frac{3}{2}\nu_1 R+\frac{5}{2}\nu_2 R=\frac{R}{2}(3\nu_1+5\nu_2)$$

Второе слагаемое в числителе соответствует внутренней энергии азота – а это двухатомный газ, поэтому $i=5$.

Во втором случае, когда поршни свободны, процесс нагрева газов будет изобарным, газы будут расширяться и совершать работу, поэтому

$$C_2=\frac{Q_2}{\Delta T}=\frac{\frac{5}{2}\nu_1 R\Delta T +\frac{5}{2}\nu_2 R\Delta T }{\Delta T}=\frac{5}{2}\nu_1 R+\frac{7}{2}\nu_2 R=\frac{R}{2}(5\nu_1+7\nu_2)$$

И третий случай, когда левый поршень свободен. Для азота процесс изохорный, только внутренняя энергия меняется, а вот для гелия – изобарный. Поэтому

$$C_3=\frac{Q_3}{\Delta T}=\frac{\frac{5}{2}\nu_1 R\Delta T +\frac{5}{2}\nu_2 R\Delta T }{\Delta T}=\frac{5}{2}\nu_1 R+\frac{5}{2}\nu_2 R=\frac{5R}{2}(\nu_1+\nu_2)$$

Ответ: $C_1=\frac{R}{2}(3\nu_1+5\nu_2)$;  $C_2=\frac{R}{2}(5\nu_1+7\nu_2)$;

$C_3=\frac{5R}{2}(\nu_1+\nu_2)$.

Задача 2. На рисунке изображены два вертикальных сообщающихся цилиндрических сосуда. Верх левого сосуда герметично запаян, и этот сосуд частично заполнен гелием. Правый сосуд до краев наполнен ртутью так, что часть ртути находится в левом сосуде, и гелий заперт ею. Система помещена в вакуум. Гелию начинают медленно сообщать теплоту и продолжают нагревание до тех пор, пока ртуть остается в левом сосуде. Определите удельную теплоемкость гелия в этом процессе.

К задаче 2

Решение. Чем ниже опускается уровень газа в сосуде, тем больше давление – так как давление газа уравновешивается все большим столбиком ртути. При очень малом объеме, занимаемом газом, и давление очень мало – то есть давление зависит линейно от объема. Для малого изменения объема

$$\Delta Q=\Delta U+A$$

$$\Delta Q=\Delta U+p\Delta V$$

По закону Менделеева-Клапейрона

$$pV=\nu R T$$

Давление линейно зависит от объема:

$$p=kV$$

Перепишем первое начало:

$$\Delta Q=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+kV\Delta V$$

Просуммируем слева и справа:

$$Q=\frac{3}{2}\nu RT+\frac{kV^2}{2}$$

Подставим $p=kV$,

$$Q=\frac{3}{2}\nu R T+\frac{pV}{2}=\frac{3}{2}\nu R T+\frac{1}{2}\nu R T=2\nu RT$$

Теперь можно определить теплоемкость:

$$C=\frac{Q}{T }=2\nu R$$

А удельная теплоемкость равна

$$C_{ud}=\frac{C}{m}=\frac{2Rm}{mM}=\frac{2R}{M}$$

Ответ: $C_{ud}=\frac{2R}{M}$.