Сообщающиеся сосуды

Для того, чтобы решать задачи на тему «сообщающиеся сосуды», необходимо помнить следующее:

Закон сообщающихся сосудов: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах любой формы давление жидкости на любом горизонтальном уровне одинаково.

Следствие 1: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах высоты столбов жидкостей, отсчитываемые от уровня $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , ниже которого жидкость однородна, обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей.

Следствие 2: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах однородная жидкость всегда устанавливается на одинаковом уровне независимо от формы сосудов.

Задача 1. Высота воды в левом колене сообщающихся сосудов $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см, в правом – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см. В каком направлении будет переливаться вода, если открыть кран? На сколько изменится уровень воды в левом сосуде? Найти объем воды, который перелился из одного сосуда в другой. Левое колено сосуда имеет площадь поперечного сечения $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , правое $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Сообщающиеся сосуды разного сечения

Так как по закону сообщающихся сосудов уровни должны быть одинаковы, если сосуды открыты, то переливаться вода будет из того сосуда, где уровень выше, в тот, где он ниже, то есть из левого в правый. Найдем объем воды в левом колене, который находится выше уровня в правом: именно он распределится в обоих сосудах так, что уровень станет равным.

Мы получили результат в м $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , так как представили в метрах и высоту уровня воды, и площадь левого сосуда. Кому-то может быть понятней, если записать результат в литрах: 0,3 л, хоть это и не единица СИ.

Итак, этот объем разделится между двумя сосудами, если открыть кран, причем так, что уровни уравняются: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Таким образом, уровень в правом сосуде поднимется на 10 см и станет равным 20 см.

Тогда и в левом установится такой же уровень, то есть 20 см, значит, уровень изменился на 20 см (с сорока до двадцати).

Значит, воды перельется в правый сосуд $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то есть 0,2 л.

Ответ: в правый; 0,2 м; 0,2 л.

Задача 2. В сосуд с водой вставлена трубка сечением $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . В трубку налили масло массой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ г. Найти разность уровней масла и воды.

Трубка с маслом

Эту задачу я отнесла также к сообщающимся сосудам, так как трубка и сосуд, в который она погружена, по сути, являются сообщающимися сосудами.

Установим, какой объем масла будет весить 72 г. Машинное масло имеет плотность $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ кг/м $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , или 0,9 г/см $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , поэтому объем масла такой массы будет $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ cм $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

В трубке сечением $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ такой объем масла образует столбик высотой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см. Давление такого столба масла равно: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ Па. Такое же давление должен оказывать и столб воды, определим, какой он должен быть высоты:

Таким образом, высота столба воды, оказывающего такое же давление, равна 36 см – на 4 см меньше, чем столб масла.

Ответ: 4 см, или 0,04 м

Задача 3. В сообщающихся сосудах находятся ртуть и вода. Высота столба воды 68 см. Какой высоты столб керосина следует налить в левое колено, чтобы ртуть установилась в обоих сосудах на одном уровне?

Давление столба воды равно давлению столба керосина

Как мы помним, давления в обеих трубках сообщающихся сосудов должны быть одинаковыми. При этом сравниваются давления столбов над уровнем однородной жидкости в обеих трубках. В данном случае уровень ртути одинаков в правом и левом колене, поэтому давления, оказываемые керосином и водой, должны тоже быть одинаковыми. Приравняем давления столбов воды и керосина:

Тогда высота столба керосина

Ответ: 85 см

Задача 4. В сообщающиеся сосуды налиты ртуть, вода и керосин. Какова высота слоя керосина, если высота столба воды 20 см и в правом колене уровень ртути ниже, чем в левом, на $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см?

Сообщающиеся сосуды с водой и керосином

Проведем уровень, ниже которого жидкость однородна. Над этим уровнем столбы жидкостей в правом и левом коленах будут оказывать одинаковые давления. То есть суммарное давление столбика ртути высотой 0,5 см и столб воды высотой 20 см должны оказывать такое же давление, как и керосин в правом колене. Тогда запишем условие равенства давлений:

Из этого равенства высота столба керосина:

Или:

Подставим числа:

Ответ: 33,5 см

Задача 5. Ртуть находится в сообщающихся сосудах. Площадь сечения левого колена в три раза меньше, чем правого. Уровень ртути в узком колене расположен на расстоянии 30 см от верхнего конца трубки. На сколько поднимется уровень ртути в правом колене, если левый медленно доверху залить водой?

Сообщающиеся сосуды разных объемов

Первое, что необходимо отметить – это то, что объем ртути не изменится. Весь объем немного переместится под давлением столбика воды. Также необходимо понимать, что высота столбика воды не будет равна 30 см – ведь, залив 30 см воды, мы поймем, что под ее давлением ртуть опустилась в узком колене, переместившись в широкое, в результате чего над 30-сантиметровым столбиком воды образовалось пустое пространство – а нам сказано, что воду залили доверху.

Исходное положение уровня ртути показано на левом рисунке.

Обозначим высоту, на которую поднялся уровень ртути в правом колене $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда объем этого столбика равен $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – так как площадь сечения правого сосуда втрое больше, чем левого.

Раз объем ртути в правом колене увеличился, то очевидно, что увеличился он за счет уменьшения объема в правом колене. Там высота столба ртути уменьшилась на высоту, точно соответствующую найденному объему – отсюда «ушел» тот объем, который «пришел» в правое колено. Раз сечение левого колена меньше, чем правого, то высота, на которую опустилась ртуть, равна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – эта ситуация изображена на правом рисунке.

Осталось записать в виде уравнения то, что изображено на рисунке – давление столба воды в левом колене равно давлению столба ртути над уровнем однородной жидкости в правом:

Раскроем скобки, сократим $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Вынесем $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ за скобки:

Откуда искомый уровень

Подставим числа и определим $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Ответ получен в метрах, можно записать в сантиметрах: 0,58 см

Ответ: 0,58 см

Задача 6. Две трубки диаметром по $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см каждая представляют собой сообщающиеся сосуды. В одно колено сосуда заливают воду объемом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ л, в другое – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ л ртути. Каковы будут высоты жидкостей в обоих коленах? Объемом изогнутой части трубки пренебречь.

Понятно, что, раз плотность ртути много больше плотности воды, то ртуть перетечет в оба колена и образует тот самый уровень, ниже которого жидкость однородна. Выше этого уровня будут располагаться: в одном колене – вся вода, а в другом – уравновешивающий давление воды столбик ртути (см. рисунок).

Найдем, какой высоты будут столб воды и уравновешивающий столбик ртути. Площадь сечения сосуда:

Итак, столб воды будет высотой 0,2 м или 20 см. (Кстати, так как объемы воды и ртути одинаковы, то высота столба ртути также была бы равной 20 см, если бы ее просто налили в трубку такого диаметра). Такой столб воды может быть уравновешен столбиком ртути высотой:

То есть давление воды будет уравновешивать столбик ртути высотой 1,46 см.

Вся остальная ртуть будет находиться ниже обозначенного уровня однородной жидкости, и поровну разделится между обоими коленами сообщающихся сосудов.

Тогда из общей высоты столба ртути (20 см) вычтем 1,46 см для уравновешивания воды, а остальное разделим пополам: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см – такой высоты будет одинаковый уровень ртути в обоих сосудах. В одном сосуде к этому уровню добавим столб воды: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см, в другом сосуде к единому уровню ртути прибавим тот маленький «довесочек», который уравновешивает воду: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Ответ: уровни жидкостей 29,27 – в сосуде с водой, 10,73 – во втором сосуде.

Задача 7. Барометрическая трубка сечением $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ опущена в чашку с ртутью. На сколько изменится уровень ртути в чашке, если, не вынимая конца трубки из ртути, наклонить ее под углом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ к вертикали? Диаметр чашки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см, атмосферное давление нормальное.

Наклонная трубка в чаше со ртутью

При нормальном давлении столбик ртути поднимется на 760 мм. То есть объем ртути в трубке сечением $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равен $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ м $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Высота столба при наклоне трубки останется той же: это обусловлено атмосферным давлением, но, так как трубка наклонена, то теперь за высоту столба принимаем высоту проекции этого столба на вертикальную ось. Таким образом, можно найти новый объем ртути в трубке.

То есть изменение объема ртути в трубке равно $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Этот объем поднимется в трубку при ее наклоне. То есть точно на этот объем уменьшится количество ртути в чашке. При диаметре $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ см чашка имеет площадь поверхности $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$

Определим высоту, на которую понизится уровень: разделим объем $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ на площадь чаши:

Ответ: уровень ртути в чашке понизится на 2,7 см.

Задача 8. В вертикально расположенном сосуде переменного сечения находится вода, отделенная от атмосферы двумя невесомыми поршнями сечением $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Поршни соединены тонкой проволокой длиной $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Найти силу натяжения проволоки, если трения нет.

Поршни, связанные нитью

На оба поршня оказывает давление атмосфера, только на верхний поршень она давит сверху, а на нижний – снизу. Обозначим силу натяжения нити $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда силы, которые приложены к верхнему поршню – это сила натяжения нити и сила давления атмосферы, равная $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

На нижний поршень оказывает давление атмосфера, которая давит с силой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а

также столб воды высотой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ : $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Также к нему приложена сила натяжения нити $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .