[latexpage]
Для того, чтобы решать задачи на тему «сообщающиеся сосуды», необходимо помнить следующее:
Закон сообщающихся сосудов: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах любой формы давление жидкости на любом горизонтальном уровне одинаково.
Следствие 1: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах высоты столбов жидкостей, отсчитываемые от уровня $mn$, ниже которого жидкость однородна, обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей.
$$\frac{h_1}{h_2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}$$
Следствие 2: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах однородная жидкость всегда устанавливается на одинаковом уровне независимо от формы сосудов.
Задача 1. Высота воды в левом колене сообщающихся сосудов $h_1=40$ см, в правом – $h_2=10$ см. В каком направлении будет переливаться вода, если открыть кран? На сколько изменится уровень воды в левом сосуде? Найти объем воды, который перелился из одного сосуда в другой. Левое колено сосуда имеет площадь поперечного сечения $S_1=10$ см$^2$, правое $S=20$ см$^2$.
Показать

Сообщающиеся сосуды разного сечения
Так как по закону сообщающихся сосудов уровни должны быть одинаковы, если сосуды открыты, то переливаться вода будет из того сосуда, где уровень выше, в тот, где он ниже, то есть из левого в правый. Найдем объем воды в левом колене, который находится выше уровня в правом: именно он распределится в обоих сосудах так, что уровень станет равным.
$$V=h \cdot S_1=(40-10) \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-3}=3 \cdot 10^{-4}$$
Мы получили результат в м$^3$, так как представили в метрах и высоту уровня воды, и площадь левого сосуда. Кому-то может быть понятней, если записать результат в литрах: 0,3 л, хоть это и не единица СИ.
Итак, этот объем разделится между двумя сосудами, если открыть кран, причем так, что уровни уравняются: $h_1=h_2$, $V=V_1+V_2$.
$$V_1+V_2=V = h_1 \cdot S_1 + h_2 \cdot S_2=h_2 \cdot (S_1+S_2) $$
$$h_2= \frac{V}{S_1+S_2}=\frac{3 \cdot 10^{-4}}{30 \cdot 10^{-4}}=0,1$$
Таким образом, уровень в правом сосуде поднимется на 10 см и станет равным 20 см.
Тогда и в левом установится такой же уровень, то есть 20 см, значит, уровень изменился на 20 см (с сорока до двадцати).
Значит, воды перельется в правый сосуд $V_2=h_2 \cdot S_2=0,1 \cdot 20 \cdot 10^{-4}=0,2\cdot 10^{-4}$, то есть 0,2 л.
Ответ: в правый; 0,2 м; 0,2 л.
Задача 2. В сосуд с водой вставлена трубка сечением $S=2$ см$^2$. В трубку налили машинное масло массой $m=72$ г. Найти разность уровней масла и воды.

Трубка с маслом
Показать
Эту задачу я отнесла также к сообщающимся сосудам, так как трубка и сосуд, в который она погружена, по сути, являются сообщающимися сосудами.
Установим, какой объем масла будет весить 72 г. Машинное масло имеет плотность $ \rho=900$ кг/м$^3$, или 0,9 г/см$^3$, поэтому объем масла такой массы будет $V=\frac {m}{\rho}=\frac{72}{0,9}=80$ cм$^3$.
В трубке сечением $S=2$ см$^2$ такой объем масла образует столбик высотой $h=\frac{V}{S}=\frac{80}{2}=40$ см. Давление такого столба масла равно: $P_m=\rho_m g h_m=900 \cdot 10 \cdot 0,4=3600$ Па. Такое же давление должен оказывать и столб воды, определим, какой он должен быть высоты:
$$h_v=\frac{P}{\rho_v g}=\frac{3600}{10 \cdot 10^3}=0,36$$
Таким образом, высота столба воды, оказывающего такое же давление, равна 36 см – на 4 см меньше, чем столб масла.
Ответ: 4 см, или 0,04 м.
Задача 3. В сообщающихся сосудах находятся ртуть и вода. Высота столба воды 68 см. Какой высоты столб керосина следует налить в левое колено, чтобы ртуть установилась в обоих сосудах на одном уровне?

Давление столба воды равно давлению столба керосина
Показать
Как мы помним, давления в обеих трубках сообщающихся сосудов должны быть одинаковыми. При этом сравниваются давления столбов над уровнем однородной жидкости в обеих трубках. В данном случае уровень ртути одинаков в правом и левом колене, поэтому давления, оказываемые керосином и водой, должны тоже быть одинаковыми. Приравняем давления столбов воды и керосина:
$$\rho_v g h_v=\rho_k g h_k$$
$$\rho_v h_v=\rho_k h_k$$
Тогда высота столба керосина
$$ h_k = \frac{\rho_v h_v}{\rho_k }=\frac{10^3\cdot 0,68}{800}=0,85$$
Ответ: 85 см
Задача 4. В сообщающиеся сосуды налиты ртуть, вода и керосин. Какова высота слоя керосина, если высота столба воды 20 см и в правом колене уровень ртути ниже, чем в левом, на $0,5$ см?
Показать
Проведем уровень, ниже которого жидкость однородна. Над этим уровнем столбы жидкостей в правом и левом коленах будут оказывать одинаковые давления. То есть суммарное давление столбика ртути высотой 0,5 см и столб воды высотой 20 см должны оказывать такое же давление, как и керосин в правом колене. Тогда запишем условие равенства давлений:

К задаче 4
$$\rho_v g h_v + \rho_{Hg} g h_{Hg} =\rho_k g h_k$$
Из этого равенства высота столба керосина:
$$ h_k=\frac{\rho_v g h_v + \rho_{Hg} g h_{Hg}}{\rho_k g }$$
Или:
$$h_k=\frac{\rho_v h_v + \rho_{Hg} h_{Hg}}{\rho_k}$$
Подставим числа:
$$h_k=\frac{10^3 \cdot 0,2 + 13600 \cdot 0,005}{800}=0,335$$
Ответ: 33,5 см
Задача
5. Ртуть находится в сообщающихся сосудах. Площадь сечения левого колена в три раза меньше, чем правого. Уровень ртути в узком колене расположен на расстоянии 30 см от верхнего конца трубки. На сколько поднимется уровень ртути в правом колене, если левый медленно доверху залить водой?

Сообщающиеся сосуды разных объемов
Показать
Первое, что необходимо отметить – это то, что объем ртути не изменится. Весь объем немного переместится под давлением столбика воды. Также необходимо понимать, что высота столбика воды не будет равна 30 см – ведь, залив 30 см воды, мы поймем, что под ее давлением ртуть опустилась в узком колене, переместившись в широкое, в результате чего над 30-сантиметровым столбиком воды образовалось пустое пространство – а нам сказано, что воду залили доверху.
Исходное положение уровня ртути показано на левом рисунке.
Обозначим высоту, на которую поднялся уровень ртути в правом колене $h_{Hg}$. Тогда объем этого столбика равен $V= h_{Hg} \cdot 3S$ – так как площадь сечения правого сосуда втрое больше, чем левого.
Раз объем ртути в правом колене увеличился, то очевидно, что увеличился он за счет уменьшения объема в левом. Там высота столба ртути уменьшилась на высоту, точно соответствующую найденному объему – отсюда «ушел» тот объем, который «пришел» в правое колено. Раз сечение левого колена меньше, чем правого, то высота, на которую опустилась ртуть, равна $h_v=\frac{V}{S}=\frac{ h_{Hg} \cdot 3S }{S}= 3h_{Hg}$ – эта ситуация изображена на правом рисунке.
Осталось записать в виде уравнения то, что изображено на рисунке – давление столба воды в левом колене равно давлению столба ртути над уровнем однородной жидкости в правом:
$$ \rho_v g (0,3 + 3h_{Hg}) = 4 \rho_{Hg} g h_{Hg}$$
Раскроем скобки, сократим $g$:
$$ \rho_v \cdot 0,3 + \rho_v \cdot 3h_{Hg} = 4 \rho_{Hg} h_{Hg}$$
$$ \rho_v \cdot 0,3 = 4 \rho_{Hg} h_{Hg}-\rho_v \cdot 3h_{Hg}$$
Вынесем $h_{Hg}$ за скобки:
$$ \rho_v \cdot 0,3 = h_{Hg} (4 \rho_{Hg} – 3\rho_v)$$
Откуда искомый уровень
$$ h_{Hg}= \frac{\rho_v \cdot 0,3}{4 \rho_{Hg} – 3\rho_v }$$
Подставим числа и определим $h_{Hg}$:
$$ h_{Hg}= \frac{10^3 \cdot 0,3}{4 \cdot 13600 – 3\cdot 10^3}=0,0058$$
Ответ получен в метрах, можно записать в сантиметрах: 0,58 см
Ответ: 0,58 см
Задача 6. Две трубки диаметром по $d=4$ см каждая представляют собой сообщающиеся сосуды. В одно колено сосуда заливают воду объемом $V_1=0,25$ л, в другое – $V_2=0,25$ л ртути. Каковы будут высоты жидкостей в обоих коленах? Объемом изогнутой части трубки пренебречь.
Показать
Понятно, что, раз плотность ртути много больше плотности воды, то ртуть перетечет в оба колена и образует тот самый уровень, ниже которого жидкость однородна. Выше этого уровня будут располагаться: в одном колене – вся вода, а в другом – уравновешивающий давление воды столбик ртути (см. рисунок).
Найдем, какой высоты будут столб воды и уравновешивающий столбик ртути. Площадь сечения сосуда:
$$S= \frac{\pi d^2}{4}=\frac{3,14 \cdot 16 \cdot 10^{-4}}{4}=0,2$$
Итак, столб воды будет высотой 0,2 м или 20 см. (Кстати, так как объемы воды и ртути одинаковы, то высота столба ртути также была бы равной 20 см, если бы ее просто налили в трубку такого диаметра). Такой столб воды может быть уравновешен столбиком ртути высотой:
$$\rho_v h_v=\rho_{Hg} h_{Hg}$$
$$ h_{Hg}=\frac{\rho_v h_v}{\rho_{Hg}}$$
$$ h_{Hg}=\frac{0,2 \cdot 10^3}{13600}=0,0146$$
То есть давление воды будет уравновешивать столбик ртути высотой 1,46 см.
Вся остальная ртуть будет находиться ниже обозначенного уровня однородной жидкости, и поровну разделится между обоими коленами сообщающихся сосудов.
Тогда из общей высоты столба ртути (20 см) вычтем 1,46 см для уравновешивания воды, а остальное разделим пополам: $\frac{20-1,46}{2}=9,27$ см – такой высоты будет одинаковый уровень ртути в обоих сосудах. В одном сосуде к этому уровню добавим столб воды: $9,27+20=29,27$ см, в другом сосуде к единому уровню ртути прибавим тот маленький «довесочек», который уравновешивает воду: $9,27+1,46=10,73$.
Ответ: уровни жидкостей 29,27 – в сосуде с водой, 10,73 – во втором сосуде.
Задача 7. Барометрическая трубка сечением $S=1$ см$^2$ опущена в чашку с ртутью. На сколько изменится уровень ртути в чашке, если, не вынимая конца трубки из ртути, наклонить ее под углом $30^{\circ}$ к вертикали? Диаметр чашки $D=6$ см, атмосферное давление нормальное.

Наклонная трубка в чаше со ртутью
Показать
При нормальном давлении столбик ртути поднимется на 760 мм. То есть объем ртути в трубке сечением $S=1$ см$^2$ равен $V_1= S \cdot h = 0,76\cdot 1\cdot 10^{-4}=7,6 \cdot 10^{-5}$ м$^3$
Высота столба при наклоне трубки останется той же: это обусловлено атмосферным давлением, но, так как трубка наклонена, то теперь за высоту столба принимаем высоту проекции этого столба на вертикальную ось. Таким образом, можно найти новый объем ртути в трубке.
$$l=\frac{h}{\sin 60^{\circ}}=\frac{2h}{\sqrt{3}}$$
$$V_2=S \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}}$$
То есть изменение объема ртути в трубке равно $\delta V=V_2-V_1= S \cdot \left(\frac{2h}{\sqrt{3}}-h\right)=1,18 \cdot 10^{-5}$.
Этот объем поднимется в трубку при ее наклоне. То есть точно на этот объем уменьшится количество ртути в чашке. При диаметре $D=6$ см чашка имеет площадь поверхности $S_{ch}=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{3,14 \cdot 36 \cdot 10^{-4}}{4}=2,8 \cdot 10^{-3}$
Определим высоту, на которую понизится уровень: разделим объем $\delta V$ на площадь чаши:
$$\Delta h=\frac{\Delta V}{S_{ch}}=\frac{1,18 \cdot 10^{-5}}{2,8 \cdot 10^{-3}}=0,42 \cdot 10^{-2}$$
Ответ: уровень ртути в чашке понизится на 0,42 см.
Задача 8. В вертикально расположенном сосуде переменного сечения находится вода, отделенная от атмосферы двумя невесомыми поршнями сечением $S_1$ и $S_2$. Поршни соединены тонкой проволокой длиной $l$. Найти силу натяжения проволоки, если трения нет.

Поршни, связанные нитью
Показать
На оба поршня оказывает давление атмосфера, только на верхний поршень она давит сверху, а на нижний – снизу. Обозначим силу натяжения нити $T$. Тогда силы, которые приложены к верхнему поршню – это сила натяжения нити и сила давления атмосферы, равная $F_1=P_0 \cdot S_1$.
На нижний поршень оказывает давление атмосфера, которая давит с силой $F_2=P_0 \cdot S_2$, а
также столб воды высотой $l$: $p=\rho g l$. Также к нему приложена сила натяжения нити $T$.
Запишем уравнения равновесия сил для нижнего и верхнего поршня:
$$P_0 \cdot S_1+T=pS_1$$
$$T+P_0 \cdot S_2=(p +\rho g l)\cdot S_2$$
Выразим $T$:
$$ T =(p-P_0) \cdot S_1$$
$$(P_0-p) \cdot S_2+T= \rho g l S_2$$
$$-(p-P_0)S_2+ S_1(p-P_0)= \rho g l \cdot S_2$$
$$(p-P_0)(S_1-S_2) = \rho g l \cdot S_2$$
$$p-P_0 = \frac{\rho g l S_2}{S_1- S_2}$$
Полученное выражение подставим в первое уравнение:
$$ T =(p-P_0) \cdot S_1=\frac{\rho g l S_2S_1}{S_1- S_2}$$
Ответ: $ T =\frac{\rho g l S_2 S_1}{S_1- S_2}$
Комментариев - 14
В 8-ой задаче в формулах равновесия:
-Ро*S1-T=0
и T+Po*S2=-p*S2.
Но во втором уравнении векторы Т и F2 сонаправлены, а Т и Fстолба жидкости и F2 и Fстолба жидкости- противоположно направлены=>T+Po*S2-p*S2=0,верно
Если я ошибся прошу меня исправить, а то вижу вроде не выполняется условие равновесия показанные в уравнениях.
Спасибо, поправила! Вы помогаете сайту быть лучше!
Добрый день, возник такой вопрос(сам являюсь репетитор и преподавателем):
Почему на верхний поршень действует лишь сила натяжения нити T и сила давления со стороны атмосферы?
А как же давление со стороны жидкости, ведь давление в жидкостях и газах может распространяться во все стороны…
Я считаю, что уравнение для верхнего поршня: -T – Po * S1 = P(жидкости под верхним поршнем) * S
для нижнего поршня: +Т + Po * S2 = (P(жидкости под верхним поршнем) + ro*g*l) * S2
Будьте добры ответьте мне, я категорически не согласен с уравнениями, которые были приведены в качестве решения.
Согласна с Вами полностью. Давно решала – не понимаю, как я так смогла сделать…
Не хочу показаться занудой, но в целях улучшения сайта я заметил опечатку:Раз объем ртути в правом колене увеличился, то очевидно, что увеличился он за счет уменьшения объема в правом колене. Задача 5
Исправила, благодарствую!
Задача 4. В правом колене уровень ртути ниже, чем в левом. На рисунке наоборот.
Ок, спасибо.
Здравствуйте, Анна !
Я школу закончил давно, и многое уже забыл.
А тут жизнь поставила задачу. Позвольте попросить Вашей помощи !
Есть сообщающиеся сосуды с жидким металлом (не ртуть !)
Одно колено сосуда открыто для атмосферного давления,
с другого конца колена создано пониженное давление.
Понятно, что где пониженное давление,там будет выше уровень.
Но нужен расчёт. Какие формулы здесь необходимы ?
Заранее благодарен за ответ !
С уважением,
Павел Филиппенко
[latexpage]
Здравствуйте, Павел. Понадобится знать только плотность расплавленного металла. И воспользоваться формулой $p=\rho\cdot g\cdot h$, где $g=9,8$ м/с$^2$- ускорение свободного падения. Для состояния равновесия $$p_x+\rho\cdot g\cdot h_1=p_o+\rho\cdot g\cdot h_2$$
Здесь $p_x$ – давление в закрытой части, $p_o$ – атмосферное, $h_1$ и $h_2$ – высоты столбов металла.
Вы бы во второй задаче указали ро масла, а то создаётся впечатление, что надо решить без него. Я час над этим пробилась, пока в решение не заглянула
Ок, благодарю.
Задача 7 пишете 30 градусов к вертикали, а решаете, как 30 градусов к горизонтали- угол наклона трубочки.
Точно, спасибо большое. Исправила.