Сообщающиеся сосуды

Для того, чтобы решать задачи на тему «сообщающиеся сосуды», необходимо помнить следующее:

Закон сообщающихся сосудов: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах любой формы давление жидкости на любом горизонтальном уровне одинаково.

Следствие 1: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах высоты столбов жидкостей, отсчитываемые от уровня $mn$ , ниже которого жидкость однородна, обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей.

$\frac{h_1}{h_2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}$

Следствие 2: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах однородная жидкость всегда устанавливается на одинаковом уровне независимо от формы сосудов.

Задача 1. Высота воды в левом колене сообщающихся сосудов $h_1=40$ см, в правом – $h_2=10$ см. В каком направлении будет переливаться вода, если открыть кран? На сколько изменится уровень воды в левом сосуде? Найти объем воды, который перелился из одного сосуда в другой. Левое колено сосуда имеет площадь поперечного сечения $S_1=10$ см $^2$ , правое $S=20$ см $^2$ .

Показать

Задача 2. В сосуд с водой вставлена трубка сечением $S=2$ см $^2$ . В трубку налили масло массой $m=72$ г. Найти разность уровней масла и воды.

Трубка с маслом

Показать

Задача 3. В сообщающихся сосудах находятся ртуть и вода. Высота столба воды 68 см. Какой высоты столб керосина следует налить в левое колено, чтобы ртуть установилась в обоих сосудах на одном уровне?

Давление столба воды равно давлению столба керосина

Показать

Задача 4. В сообщающиеся сосуды налиты ртуть, вода и керосин. Какова высота слоя керосина, если высота столба воды 20 см и в правом колене уровень ртути ниже, чем в левом, на $0,5$ см?

Показать

Задача 5. Ртуть находится в сообщающихся сосудах. Площадь сечения левого колена в три раза меньше, чем правого. Уровень ртути в узком колене расположен на расстоянии 30 см от верхнего конца трубки. На сколько поднимется уровень ртути в правом колене, если левый медленно доверху залить водой?

Сообщающиеся сосуды разных объемов

Показать

Первое, что необходимо отметить – это то, что объем ртути не изменится. Весь объем немного переместится под давлением столбика воды. Также необходимо понимать, что высота столбика воды не будет равна 30 см – ведь, залив 30 см воды, мы поймем, что под ее давлением ртуть опустилась в узком колене, переместившись в широкое, в результате чего над 30-сантиметровым столбиком воды образовалось пустое пространство – а нам сказано, что воду залили доверху.

Исходное положение уровня ртути показано на левом рисунке.

Обозначим высоту, на которую поднялся уровень ртути в правом колене $h_{Hg}$ . Тогда объем этого столбика равен $V= h_{Hg} \cdot 3S$ – так как площадь сечения правого сосуда втрое больше, чем левого.

Раз объем ртути в правом колене увеличился, то очевидно, что увеличился он за счет уменьшения объема в левом. Там высота столба ртути уменьшилась на высоту, точно соответствующую найденному объему – отсюда «ушел» тот объем, который «пришел» в правое колено. Раз сечение левого колена меньше, чем правого, то высота, на которую опустилась ртуть, равна $h_v=\frac{V}{S}=\frac{ h_{Hg} \cdot 3S }{S}= 3h_{Hg}$ – эта ситуация изображена на правом рисунке.

Осталось записать в виде уравнения то, что изображено на рисунке – давление столба воды в левом колене равно давлению столба ртути над уровнем однородной жидкости в правом:

$\rho_v g (0,3 + 3h_{Hg}) = 4 \rho_{Hg} g h_{Hg}$

Раскроем скобки, сократим $g$ :

$\rho_v \cdot 0,3 + \rho_v \cdot 3h_{Hg} = 4 \rho_{Hg} h_{Hg}$

$\rho_v \cdot 0,3 = 4 \rho_{Hg} h_{Hg}-\rho_v \cdot 3h_{Hg}$

Вынесем $h_{Hg}$ за скобки:

$\rho_v \cdot 0,3 = h_{Hg} (4 \rho_{Hg} - 3\rho_v)$

Откуда искомый уровень

$h_{Hg}= \frac{\rho_v \cdot 0,3}{4 \rho_{Hg} - 3\rho_v }$

Подставим числа и определим $h_{Hg}$ :

$h_{Hg}= \frac{10^3 \cdot 0,3}{4 \cdot 13600 - 3\cdot 10^3}=0,0058$

Ответ получен в метрах, можно записать в сантиметрах: 0,58 см

Ответ: 0,58 см

Задача 6. Две трубки диаметром по $d=4$ см каждая представляют собой сообщающиеся сосуды. В одно колено сосуда заливают воду объемом $V_1=0,25$ л, в другое – $V_2=0,25$ л ртути. Каковы будут высоты жидкостей в обоих коленах? Объемом изогнутой части трубки пренебречь.

Показать

Понятно, что, раз плотность ртути много больше плотности воды, то ртуть перетечет в оба колена и образует тот самый уровень, ниже которого жидкость однородна. Выше этого уровня будут располагаться: в одном колене – вся вода, а в другом – уравновешивающий давление воды столбик ртути (см. рисунок).

Найдем, какой высоты будут столб воды и уравновешивающий столбик ртути. Площадь сечения сосуда:

$S= \frac{\pi d^2}{4}=\frac{3,14 \cdot 16 \cdot 10^{-4}}{4}=0,2$

Итак, столб воды будет высотой 0,2 м или 20 см. (Кстати, так как объемы воды и ртути одинаковы, то высота столба ртути также была бы равной 20 см, если бы ее просто налили в трубку такого диаметра). Такой столб воды может быть уравновешен столбиком ртути высотой:

$\rho_v h_v=\rho_{Hg} h_{Hg}$

$h_{Hg}=\frac{\rho_v h_v}{\rho_{Hg}}$

$h_{Hg}=\frac{0,2 \cdot 10^3}{13600}=0,0146$

То есть давление воды будет уравновешивать столбик ртути высотой 1,46 см.

Вся остальная ртуть будет находиться ниже обозначенного уровня однородной жидкости, и поровну разделится между обоими коленами сообщающихся сосудов.

Тогда из общей высоты столба ртути (20 см) вычтем 1,46 см для уравновешивания воды, а остальное разделим пополам: $\frac{20-1,46}{2}=9,27$ см – такой высоты будет одинаковый уровень ртути в обоих сосудах. В одном сосуде к этому уровню добавим столб воды: $9,27+20=29,27$ см, в другом сосуде к единому уровню ртути прибавим тот маленький «довесочек», который уравновешивает воду: $9,27+1,46=10,73$ .

Ответ: уровни жидкостей 29,27 – в сосуде с водой, 10,73 – во втором сосуде.

Задача 7. Барометрическая трубка сечением $S=1$ см $^2$ опущена в чашку с ртутью. На сколько изменится уровень ртути в чашке, если, не вынимая конца трубки из ртути, наклонить ее под углом $30^{\circ}$ к вертикали? Диаметр чашки $D=6$ см, атмосферное давление нормальное.

Наклонная трубка в чаше со ртутью

Показать

Задача 8. В вертикально расположенном сосуде переменного сечения находится вода, отделенная от атмосферы двумя невесомыми поршнями сечением $S_1$ и $S_2$ . Поршни соединены тонкой проволокой длиной $l$ . Найти силу натяжения проволоки, если трения нет.

Поршни, связанные нитью

Показать

Комментариев - 6

Адам

2018-11-25

В 8-ой задаче в формулах равновесия:
-Ро*S1-T=0
и T+Po*S2=-p*S2.
Но во втором уравнении векторы Т и F2 сонаправлены, а Т и Fстолба жидкости и F2 и Fстолба жидкости- противоположно направлены=>T+Po*S2-p*S2=0,верно
Если я ошибся прошу меня исправить, а то вижу вроде не выполняется условие равновесия показанные в уравнениях.

Ответить

Анна
|

2018-11-26

Спасибо, поправила! Вы помогаете сайту быть лучше!

Ответить

2018-11-26

Не хочу показаться занудой, но в целях улучшения сайта я заметил опечатку:Раз объем ртути в правом колене увеличился, то очевидно, что увеличился он за счет уменьшения объема в правом колене. Задача 5

Анна
|

2018-11-26

Исправила, благодарствую!

Ответить

Елена

2019-02-19

Задача 4. В правом колене уровень ртути ниже, чем в левом. На рисунке наоборот.

Анна
|

2019-02-21

Ок, спасибо.

Ответить

Сообщающиеся сосуды

Для вас другие записи этой рубрики:

Комментариев - 6

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь

Сентябрь 2019
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Авг
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30