Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Гидродинамика

Сообщающиеся сосуды


Для того, чтобы решать задачи на тему «сообщающиеся сосуды», необходимо помнить следующее:

Закон сообщающихся сосудов: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах любой формы давление жидкости на любом горизонтальном уровне одинаково.

Следствие 1: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах высоты столбов жидкостей, отсчитываемые от уровня , ниже которого жидкость однородна, обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей.

   

Следствие 2: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах однородная жидкость всегда устанавливается на одинаковом уровне независимо от формы сосудов.

Задача 1.  Высота воды в левом колене сообщающихся сосудов см, в правом – см. В каком направлении будет переливаться вода, если открыть кран? На сколько изменится уровень воды в левом сосуде? Найти объем воды, который перелился из одного сосуда в другой.  Левое колено сосуда имеет площадь поперечного сечения см, правое см.


Сообщающиеся сосуды разного сечения

Так как по закону сообщающихся сосудов уровни должны быть одинаковы, если сосуды открыты, то переливаться вода будет из того сосуда, где уровень выше, в тот, где он ниже, то есть из левого в правый. Найдем объем воды в левом колене, который находится выше уровня в правом: именно он распределится в обоих сосудах так, что уровень станет равным.

   

Мы получили результат в м, так как представили в метрах и высоту уровня воды, и площадь левого сосуда. Кому-то может быть понятней, если записать результат в литрах: 0,3 л, хоть это и не единица СИ.

Итак, этот объем разделится между двумя сосудами, если открыть кран, причем так, что уровни уравняются: , .

   

   

Таким образом, уровень в правом сосуде поднимется на 10 см и станет равным 20 см.

Тогда и в левом установится такой же уровень, то есть 20 см, значит, уровень изменился на 20 см (с сорока до двадцати).

Значит,  воды перельется в правый сосуд , то есть 0,2 л.

Ответ: в правый; 0,2 м;  0,2 л.

 

Задача 2. В сосуд с водой вставлена трубка сечением см. В трубку налили масло массой г. Найти разность уровней масла и воды.


Трубка с маслом

Эту задачу я отнесла также к сообщающимся сосудам, так как трубка и сосуд, в который она погружена, по сути, являются сообщающимися сосудами.

Установим, какой объем масла будет весить 72 г. Машинное масло имеет плотность кг/м, или 0,9 г/см, поэтому объем масла такой массы будет .

В трубке сечением см такой объем масла образует столбик высотой  см. Давление такого столба масла равно: Па. Такое же давление должен оказывать и столб воды, определим, какой он должен быть высоты:

   

Таким образом, высота столба воды, оказывающего такое же давление, равна 36 см – на 4 см меньше, чем столб масла.

Ответ: 4 см, или  0,04 м

 

Задача 3. В сообщающихся сосудах находятся ртуть и вода. Высота столба воды 68 см. Какой высоты столб керосина  следует налить в левое колено, чтобы ртуть установилась в обоих сосудах на одном уровне?


Давление столба воды равно давлению столба керосина

Как мы помним, давления в обеих трубках сообщающихся сосудов должны быть одинаковыми. При этом сравниваются давления столбов над уровнем однородной жидкости в обеих трубках. В данном случае уровень ртути одинаков в правом и левом колене, поэтому давления, оказываемые керосином и водой, должны тоже быть одинаковыми. Приравняем давления столбов воды и керосина:

   

   

Тогда высота столба керосина

   

Ответ: 85 см

 

Задача 4. В сообщающиеся сосуды налиты ртуть, вода и керосин. Какова высота слоя керосина, если высота столба воды 20 см и в правом колене уровень ртути ниже, чем в левом, на см?


Сообщающиеся сосуды с водой и керосином

Проведем уровень, ниже которого  жидкость однородна. Над этим уровнем столбы жидкостей в правом и левом коленах будут оказывать одинаковые давления. То есть суммарное давление столбика ртути высотой 0,5 см и столб воды высотой 20 см должны оказывать такое же давление, как и керосин в правом колене. Тогда запишем условие равенства давлений:

   

Из этого равенства высота столба керосина:

   

Или:

   

Подставим числа:

   

Ответ: 33,5 см

 

Задача 5. Ртуть находится в сообщающихся сосудах. Площадь сечения левого колена в три раза меньше, чем правого. Уровень ртути в узком колене расположен на расстоянии 30 см от верхнего конца трубки. На сколько поднимется уровень ртути в правом колене, если левый медленно доверху залить водой?


Сообщающиеся сосуды разных объемов

Первое, что необходимо отметить – это то, что объем ртути не изменится. Весь объем немного переместится под давлением столбика воды. Также необходимо понимать, что высота столбика воды не будет равна 30 см – ведь, залив 30 см воды, мы поймем, что под ее давлением ртуть опустилась в узком колене, переместившись в широкое, в результате чего над 30-сантиметровым столбиком воды образовалось пустое пространство – а нам сказано, что воду залили доверху.

Исходное положение уровня ртути показано на левом рисунке.

Обозначим высоту, на которую поднялся уровень ртути в правом колене . Тогда объем этого столбика равен – так как площадь сечения правого сосуда втрое больше, чем левого.

Раз объем ртути в правом колене увеличился, то очевидно, что увеличился он за счет уменьшения объема в правом колене. Там высота столба ртути уменьшилась на высоту, точно соответствующую найденному объему – отсюда «ушел» тот объем, который «пришел» в правое колено. Раз сечение левого колена меньше, чем правого, то высота, на которую опустилась ртуть, равна – эта ситуация изображена на правом рисунке.

Осталось записать в виде уравнения то, что изображено на рисунке –  давление столба воды в левом колене равно давлению столба ртути над уровнем однородной жидкости в правом:

   

Раскроем скобки, сократим :

   

   

Вынесем за скобки:

   

Откуда искомый уровень

   

Подставим числа и определим :

   

Ответ получен в метрах, можно записать в сантиметрах: 0,58 см

Ответ: 0,58 см

 

Задача 6. Две трубки диаметром по см каждая представляют собой сообщающиеся сосуды. В одно колено сосуда заливают воду объемом л, в другое – л ртути. Каковы будут высоты жидкостей в обоих коленах? Объемом изогнутой части трубки пренебречь.


 

Понятно, что, раз плотность ртути много больше плотности воды, то ртуть перетечет в оба колена и образует тот самый уровень, ниже которого жидкость однородна. Выше этого уровня будут располагаться: в одном колене – вся вода, а в другом – уравновешивающий давление воды столбик ртути (см. рисунок).

Найдем, какой высоты будут столб воды и уравновешивающий столбик ртути. Площадь сечения сосуда:

   

Итак, столб воды будет высотой 0,2 м или 20 см. (Кстати, так как объемы воды и ртути одинаковы, то высота столба ртути также была бы равной 20 см, если бы ее просто налили в трубку такого диаметра). Такой столб воды может быть уравновешен столбиком ртути высотой:

   

   

   

То есть давление воды будет уравновешивать столбик ртути высотой 1,46 см.

Вся остальная ртуть будет находиться ниже обозначенного уровня однородной жидкости, и поровну разделится между обоими коленами сообщающихся сосудов.

Тогда из общей высоты столба ртути (20 см) вычтем 1,46 см для уравновешивания воды, а остальное разделим пополам: см – такой высоты будет одинаковый уровень ртути в обоих сосудах. В одном сосуде к этому уровню добавим столб воды: см, в другом сосуде к единому уровню ртути прибавим тот маленький «довесочек», который уравновешивает воду: .

Ответ: уровни жидкостей 29,27 – в сосуде с водой, 10,73 – во втором сосуде.

 

Задача 7. Барометрическая трубка сечением см опущена в чашку с ртутью. На сколько изменится уровень ртути в чашке, если, не вынимая конца трубки из ртути, наклонить ее под углом  к вертикали? Диаметр чашки см, атмосферное давление нормальное.


Наклонная трубка в чаше со ртутью

При  нормальном давлении столбик ртути поднимется на 760 мм. То есть объем ртути в трубке сечением  см равен м

Высота столба при наклоне трубки останется той же: это обусловлено атмосферным давлением, но, так как трубка наклонена, то теперь за высоту столба принимаем высоту проекции этого столба на вертикальную ось. Таким образом, можно найти новый объем ртути в трубке.

   

   

То есть изменение объема ртути в трубке равно .

Этот объем поднимется в трубку при ее наклоне. То есть точно на этот объем уменьшится количество ртути в чашке. При диаметре см чашка имеет площадь поверхности

Определим высоту, на которую понизится уровень: разделим объем на площадь чаши:

   

Ответ:  уровень ртути в чашке понизится на 2,7 см.

 

Задача 8. В вертикально расположенном сосуде переменного сечения находится вода, отделенная от атмосферы двумя невесомыми поршнями сечением и . Поршни соединены тонкой проволокой длиной . Найти силу натяжения проволоки, если трения нет.


Поршни, связанные нитью

На оба поршня оказывает давление атмосфера, только на верхний поршень она давит сверху, а на нижний – снизу. Обозначим силу натяжения нити . Тогда силы, которые приложены к верхнему поршню – это сила натяжения нити и сила давления атмосферы, равная .

На нижний поршень оказывает давление атмосфера, которая давит с силой , а

также столб воды высотой : . Также к нему приложена сила натяжения нити .

Запишем уравнения равновесия сил для нижнего и верхнего поршня:

   

   

Сложим уравнения:

   

   

   

   

Полученное выражение подставим в первое уравнение:

   

   

Ответ: 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *