Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Снова шахты: решаем строго

Продолжаю серию задач на оптимизацию. Мы уже разобрали, как их решать «нестрого» (но обоснованно!), а теперь как решить строго (для педантов).

 

Задача 1. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Первая шахта. Пусть в ней x человек добывают алюминий, тогда на добычу алюминия идет 10x человеко-часов. И добывается алюминия x кг.  Тогда на никель брошены (20-x) человек, они обеспечат 10(20-x) человеко-часов добычи и добудут 20-x кг никеля.

Вторая шахта. Пусть в ней в течение y^2 часов добывают алюминий, и добудут y кг алюминия. А на никель потрачено 200-y^2 часов, и добыто \sqrt{200-y^2} кг никеля.

Всего добыто алюминия в обеих шахтах: x+y, а никеля 20-x+\sqrt{200-y^2}.

Отношение количеств металлов равно 3:

    \[\frac{x+y }{20-x+\sqrt{200-y^2}}=3\]

Немного упростим это уравнение.

    \[x+y=60-3x+3\sqrt{200-y^2}\]

    \[4x =60- y +3\sqrt{200-y^2}\]

Масса сплава –  полное количество алюминия и никеля в сумме:

    \[M=x+y+20-x+\sqrt{200-y^2}=20+y+\sqrt{200-y^2}\]

Берем производную и приравниваем к нулю:

    \[M'=1+0,5\frac{1}{\sqrt{200-y^2}}\cdot(-2y)=1-\frac{y}{\sqrt{200-y^2}}=0\]

    \[\sqrt{200-y^2}=y\]

    \[y=10\]

Тогда x=20.

Значит, добыто по 10 кг алюминия и 10 кг никеля на второй шахте. А в первой – только алюминий, 20 кг. Отношение получается как раз 3:1.

Ответ: 40 кг металлов.

Задача 2. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Первая шахта. Пусть в ней x человек добывают алюминий, тогда на добычу алюминия идет 10x человеко-часов. И добывается алюминия 3x кг.  Тогда на никель брошены (100-x) человек, они обеспечат 10(100-x) человеко-часов добычи и добудут 100-x кг никеля.

Вторая шахта. Пусть в ней y человек добывают алюминий, в течение y^2 часов, и добудут y кг алюминия. А на никель потрачено 1000-y^2 часов, и добыто \sqrt{1000-y^2} кг никеля.

Всего добыто алюминия в обеих шахтах: 3x+y, а никеля 100-x+\sqrt{1000-y^2}.

Отношение количеств металлов равно 1:

    \[3x+y =100-x+\sqrt{1000-y^2}\]

    \[4x=100-y+\sqrt{1000-y^2}\]

Масса сплава –  полное количество алюминия и никеля в сумме:

    \[M=3x+y+100-x+\sqrt{1000-y^2}=2x+100+y+\sqrt{1000-y^2}\]

Подставим 2x:

    \[2x=50-\frac{y}{2}+\frac{\sqrt{1000-y^2}}{2}\]

    \[M=50-\frac{y}{2}+\frac{\sqrt{1000-y^2}}{2}+100+y+\sqrt{1000-y^2}\]

    \[M=150+0,5y +1,5\sqrt{1000-y^2}\]

Берем производную и приравниваем к нулю:

    \[M'=0,5+1,5\frac{1}{\sqrt{1000-y^2}}\cdot (-2y)=0,5-\frac{3y}{\sqrt{1000-y^2}}=0\]

    \[\sqrt{1000-y^2}=3y\]

    \[1000-y^2=9y^2\]

    \[10y^2=1000\]

    \[y=10\]

Тогда x=30.

Значит, добыто 90 кг алюминия и 70 кг никеля на первой шахте,  и 30 кг алюминия и  10 кг никеля на второй. Всего добыто 120 кг алюминия и 80 кг никеля.

Ответ: 200 кг металлов.

Задача 3. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Первая шахта. Пусть в ней x человек добывают алюминий, тогда на добычу алюминия идет 5x человеко-часов. И добывается алюминия 10x кг.  Тогда на никель брошены (60-x) человек, они обеспечат 5(60-x) человеко-часов добычи и добудут 5(60-x)\cdot 3=15(60-x) кг никеля.

Вторая шахта. Пусть в ней y человек добывают алюминий, в течение 5y часов, и добудут 15y кг алюминия. А (260-y) человек брошены на никель и работают 5(260-y) часов, и добудут (260-y)\cdot 10 кг никеля.

Всего добыто алюминия в обеих шахтах: 10x+15y, а никеля 15(60-x)+10(260-y).

Отношение количеств металлов равно 2:

    \[\frac{10x+15y }{15(60-x)+10(260-y)}=2\]

Немного упростим это уравнение.

    \[10x+15y=30(60-x)+20(260-y)\]

    \[10x+15y=1800-30x+5200-20y\]

    \[40x+35y=7000\]

    \[8x+7y=1400~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Теперь вспомним, ради чего все затевалось. А нужно максимальное количество металла поставить на завод! А металла в полтора раза больше, чем алюминия:  (5x+7,5y)\cdot 3\rightarrow \max.

Выразим y из (1) и подставим:

    \[y=200-\frac{8x}{7}\]

    \[15x+22,5y\rightarrow \max\]

    \[15x+22,5\cdot \left(200-\frac{8x}{7}\right)\rightarrow \max\]

    \[15x+4500-\frac{180x}{7}\right)\rightarrow \max\]

    \[15x-25\frac{5}{7}x +4500\rightarrow \max\]

Таким образом, максимум данной функции достигается при x=0. То есть на первой шахте алюминий не добываем. Зато никеля добудем 15\cdot 60=900 кг.  Тогда 7y=1400, y=200. Масса добытого на второй шахте алюминия – 3000 кг, никеля – 600 кг. Всего на обеих шахтах алюминия добыто 3000 кг, а никеля 1500 кг – что вдвое меньше, как и требовалось.

Ответ: добыто 4500 кг металла.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *