Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Сложные случаи построения сечения треугольной пирамиды.

В этой статье будут рассмотрены случаи построения сечений через точки, принадлежащие граням пирамиды, а не ее ребрам, точки, лежащие вне пирамиды – например, принадлежащие какой-либо прямой, лежащей в одной из плоскостей граней, но не пересекающей грань, или случаи построения сечения плоскостью, проходящей параллельно ребру или грани пирамиды. Во всех задачах пирамида – правильная.

Задача 1. Построить сечение треугольной пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки P,Q,R, если P принадлежит грани SABR принадлежит грани SACQ принадлежит грани SCB.

Задача 1. Дано. Шаг 1.

Проведем прямые через данные точки и вершину пирамиды. При этом прямая SP лежит в задней, невидимой, грани и показана пунктиром.

Задача 1. Шаг 2.

Отметим точки пересечения данными прямыми ребер AC, CB и ABW, X, V.

Задача 1. Шаг 3.

Прямая PR принадлежит секущей плоскости, так как обе точки – P и R  – принадлежат плоскости. Проведем ее, и проведем ее след в плоскости основания ABCVW. Тогда место пересечения прямых PR и VW – место “прокола” прямой PR плоскости основания. Это точка Y, и она принадлежит обеим плоскостям: и секущей, и плоскости основания пирамиды.

Задача 1. Шаг 4.

Совершенно аналогично поступим с точками P и Q: проводим через них прямую, а затем ее след через точки V и X. Точка Z – место пересечения прямых PQ и VX – место “прокола” прямой PQ плоскости основания.

Теперь у нас есть две точки (Y и Z), которые принадлежат сечению и при этом удобно расположены в плоскости основания, что дает возможность провести через них прямую, которая непременно пересечет ребра AC и BC, также лежащие в плоскости основания (все вспомогательные построения здесь скрыты для улучшения обзора):

Задача 1. Шаг 5.

Эта прямая пересечет ребро BC в точке M.

Задача 1. Шаг 6.

Точки M и Q принадлежат грани CSB, поэтому можем соединить их прямой. Эта прямая пересечет ребро SB  в точке N. Аналогично можно теперь провести прямую через точки N и P, принадлежащие грани ABS.

Задача 1. Шаг 7.

Прямая PN пересечет ребро AS в точке E. Ее можно соединить с точкой R, так как располагаются точки в одной плоскости – плоскости грани ASC. Проведем прямую через точки E и R.

Задача 1. Шаг 8.

Прямая ER пересекает ребро AC в точке F. Точку F можно соединить с точкой M, так как обе они лежат в плоскости основания. Наконец, можем полностью увидеть сечение:

Задача 1. Окончательный вид сечения.

Задача 2. Построить сечение плоскотью, проходящей через точку P  в грани ASC пирамиды и прямую j, принадлежащую плоскости основания пирамиды.

Задача 1. Дано. Шаг 1.

Проведем прямую через вершину пирамиды S и точку P. Точка P_1, где данная прямая пересечет ребро AC основания, может, и не понадобится нам, просто четче будет видно местоположение точки P. Проведем прямую, содержащую ребро AC, и найдем ее точку пересечения с прямой j – точку R. Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости основания одновременно.

Задача 2. Шаг 2.

Проводим прямую через точки P и R. Эта прямая – след секущей плоскости в плоскости боковой грани ASC – пересечет ребро AS в точке T, а ребро SC – в точке U. Также проведем продолжение ребра AB до пересечения с прямой j – точки E.

Задача 2. Шаг 3.

Точки T и E лежат в одной плоскости – плоскости задней грани пирамиды, их можно соединить. Полученная прямая пересечет ребро SB в точке V.

Задача 2. Шаг 4.

Точки U, T, V соединяем отрезками и получаем зеленый треугольник сечения:

Задача 2. Общий вид полученного сечения

Задача 3. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку  P, принадлежащую грани ASC. Плоскость сечения должна быть параллельна плоскости грани SCB.

Задача 3. Дано.

Задача простая, совсем простая.  Отдохнем на этой и следующей задачах… Первым делом проводим прямую, проходящую через точку P параллельно ребру SC. Определяем точки, в которых эта прямая пересечет ребра SA и AC.

Задача 3. Шаг 1.

Через точку R в плоскости основания проводим прямую, параллельную ребру CB. Находим точку пересечения этой прямой с ребром AB – точку F.

Задача 3. Шаг 2.

Теперь соединяем точки Q и F и вуаля:

 

Задача 3. Отрезок QF и сечение.

Задача 4. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки  P  и Q грани ABC параллельно ребру  SC.

Думаю, в этой задаче обойдемся без пояснений.

Задача 4. Шаг 1.

Задача 4. Шаг 2.

Окончательный вид сечения

Задача 5. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и T, причем точка T лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды на  расстоянии от центра основания пирамиды O, равном высоте.

Задача 5. Дано.

Шаг 1. Проводим прямую PQ, принадлежащую плоскости сечения, и ее проекцию на плоскость основания пирамиды PB.

Задача 5. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямую TQ, также принадлежащую сечению.

Задача 5. Шаг 2.

Шаг 3. Проводим отрезок OB, соединяя центр основания пирамиды с ее вершиной B. Именно в точке пересечения прямой TQ и отрезка OB прямая TQ “проткнет” основание пирамиды ABC. Отметим эту точку Z.

Шаг 3.

Шаг 4. Так как точки P и Z принадлежат секущей плоскости, да еще и лежат обе в плоскости основания пирамиды, то проведем через них прямую PZ, определив таким образом точку пересечения секущей плоскости и ребра CBU. Далее можно будет соединить точки U и Q, так как они лежат в грани SCB.

Шаг 4.

Шаг 5. Но мы не просто проведем прямую QU, а продлим ее до пересечения с прямой, содержащей ребро SC, найдя точку V. Эта точка будет принадлежать и грани ASC, таким образом, ее можно соединять прямой с точкой P.

Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки V и P прямой и находим точку, где эта прямая пересечет ребро SAW.

Шаг 6.

Шаг 7. Соединяем точки сечения P, W, Q и U:

Шаг 7.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *