Сложные случаи построения сечения треугольной пирамиды.

В этой статье будут рассмотрены случаи построения сечений через точки, принадлежащие граням пирамиды, а не ее ребрам, точки, лежащие вне пирамиды – например, принадлежащие какой-либо прямой, лежащей в одной из плоскостей граней, но не пересекающей грань, или случаи построения сечения плоскостью, проходящей параллельно ребру или грани пирамиды. Во всех задачах пирамида – правильная.

Задача 1. Построить сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки , если принадлежит грани ,  принадлежит грани ,  принадлежит грани .

Задача 1. Дано. Шаг 1.

Проведем прямые через данные точки и вершину пирамиды. При этом прямая лежит в задней, невидимой, грани и показана пунктиром.

Задача 1. Шаг 2.

Отметим точки пересечения данными прямыми ребер , и – .

Задача 1. Шаг 3.

Прямая принадлежит секущей плоскости, так как обе точки – P и R  – принадлежат плоскости. Проведем ее, и проведем ее след в плоскости основания – . Тогда место пересечения прямых и – место “прокола” прямой  плоскости основания. Это точка , и она принадлежит обеим плоскостям: и секущей, и плоскости основания пирамиды.

Задача 1. Шаг 4.

Совершенно аналогично поступим с точками и : проводим через них прямую, а затем ее след через точки и . Точка – место пересечения прямых  и – место “прокола” прямой  плоскости основания.

Теперь у нас есть две точки ( и ), которые принадлежат сечению и при этом удобно расположены в плоскости основания, что дает возможность провести через них прямую, которая непременно пересечет ребра и , также лежащие в плоскости основания (все вспомогательные построения здесь скрыты для улучшения обзора):

Задача 1. Шаг 5.

Эта прямая пересечет ребро в точке .

Задача 1. Шаг 6.

Точки и принадлежат грани , поэтому можем соединить их прямой. Эта прямая пересечет ребро  в точке . Аналогично можно теперь провести прямую через точки и , принадлежащие грани .

Задача 1. Шаг 7.

Прямая пересечет ребро в точке . Ее можно соединить с точкой , так как располагаются точки в одной плоскости – плоскости грани . Проведем прямую через точки и .

Задача 1. Шаг 8.

Прямая пересекает ребро в точке . Точку можно соединить с точкой , так как обе они лежат в плоскости основания. Наконец, можем полностью увидеть сечение:

Задача 1. Окончательный вид сечения.

Задача 2. Построить сечение плоскотью, проходящей через точку  в грани пирамиды и прямую , принадлежащую плоскости основания пирамиды.

Задача 1. Дано. Шаг 1.

Проведем прямую через вершину пирамиды и точку . Точка , где данная прямая пересечет ребро основания, может, и не понадобится нам, просто четче будет видно местоположение точки . Проведем прямую, содержащую ребро , и найдем ее точку пересечения с прямой – точку . Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости основания одновременно.

Задача 2. Шаг 2.

Проводим прямую через точки и . Эта прямая – след секущей плоскости в плоскости боковой грани – пересечет ребро в точке , а ребро – в точке . Также проведем продолжение ребра до пересечения с прямой – точки .

Задача 2. Шаг 3.

Точки и лежат в одной плоскости – плоскости задней грани пирамиды, их можно соединить. Полученная прямая пересечет ребро в точке .

Задача 2. Шаг 4.

Точки , , соединяем отрезками и получаем зеленый треугольник сечения:

Задача 2. Общий вид полученного сечения

Задача 3. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку  , принадлежащую грани . Плоскость сечения должна быть параллельна плоскости грани .

Задача 3. Дано.

Задача простая, совсем простая.  Отдохнем на этой и следующей задачах… Первым делом проводим прямую, проходящую через точку параллельно ребру . Определяем точки, в которых эта прямая пересечет ребра и .

Задача 3. Шаг 1.

Через точку в плоскости основания проводим прямую, параллельную ребру . Находим точку пересечения этой прямой с ребром – точку .

Задача 3. Шаг 2.

Теперь соединяем точки и и вуаля:

Задача 3. Отрезок QF и сечение.

Задача 4. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки   и грани параллельно ребру  .

Думаю, в этой задаче обойдемся без пояснений.

Задача 4. Шаг 1.

Задача 4. Шаг 2.

Окончательный вид сечения

Задача 5. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки и , причем точка лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды на  расстоянии от центра основания пирамиды , равном высоте.

Задача 5. Дано.

Шаг 1. Проводим прямую , принадлежащую плоскости сечения, и ее проекцию на плоскость основания пирамиды .

Задача 5. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямую , также принадлежащую сечению.

Задача 5. Шаг 2.

Шаг 3. Проводим отрезок , соединяя центр основания пирамиды с ее вершиной . Именно в точке пересечения прямой и отрезка прямая “проткнет” основание пирамиды . Отметим эту точку .

Шаг 3.

Шаг 4. Так как точки и принадлежат секущей плоскости, да еще и лежат обе в плоскости основания пирамиды, то проведем через них прямую , определив таким образом точку пересечения секущей плоскости и ребра – . Далее можно будет соединить точки и , так как они лежат в грани .

Шаг 4.

Шаг 5. Но мы не просто проведем прямую , а продлим ее до пересечения с прямой, содержащей ребро , найдя точку . Эта точка будет принадлежать и грани , таким образом, ее можно соединять прямой с точкой .

Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки и прямой и находим точку, где эта прямая пересечет ребро – .

Шаг 6.

Шаг 7. Соединяем точки сечения и :

Шаг 7.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид