В этой статье будут рассмотрены случаи построения сечений через точки, принадлежащие граням пирамиды, а не ее ребрам, точки, лежащие вне пирамиды – например, принадлежащие какой-либо прямой, лежащей в одной из плоскостей граней, но не пересекающей грань, или случаи построения сечения плоскостью, проходящей параллельно ребру или грани пирамиды. Во всех задачах пирамида – правильная.
Задача 1. Построить сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки
, если
принадлежит грани
,
принадлежит грани
,
принадлежит грани
.

Задача 1. Дано. Шаг 1.
Проведем прямые через данные точки и вершину пирамиды. При этом прямая лежит в задней, невидимой, грани и показана пунктиром.

Задача 1. Шаг 2.
Отметим точки пересечения данными прямыми ребер ,
и
–
.

Задача 1. Шаг 3.
Прямая принадлежит секущей плоскости, так как обе точки – P и R – принадлежат плоскости. Проведем ее, и проведем ее след в плоскости основания
–
. Тогда место пересечения прямых
и
– место “прокола” прямой
плоскости основания. Это точка
, и она принадлежит обеим плоскостям: и секущей, и плоскости основания пирамиды.

Задача 1. Шаг 4.
Совершенно аналогично поступим с точками и
: проводим через них прямую, а затем ее след через точки
и
. Точка
– место пересечения прямых
и
– место “прокола” прямой
плоскости основания.
Теперь у нас есть две точки ( и
), которые принадлежат сечению и при этом удобно расположены в плоскости основания, что дает возможность провести через них прямую, которая непременно пересечет ребра
и
, также лежащие в плоскости основания (все вспомогательные построения здесь скрыты для улучшения обзора):

Задача 1. Шаг 5.
Эта прямая пересечет ребро в точке
.

Задача 1. Шаг 6.
Точки и
принадлежат грани
, поэтому можем соединить их прямой. Эта прямая пересечет ребро
в точке
. Аналогично можно теперь провести прямую через точки
и
, принадлежащие грани
.

Задача 1. Шаг 7.
Прямая пересечет ребро
в точке
. Ее можно соединить с точкой
, так как располагаются точки в одной плоскости – плоскости грани
. Проведем прямую через точки
и
.

Задача 1. Шаг 8.
Прямая пересекает ребро
в точке
. Точку
можно соединить с точкой
, так как обе они лежат в плоскости основания. Наконец, можем полностью увидеть сечение:

Задача 1. Окончательный вид сечения.
Задача 2. Построить сечение плоскотью, проходящей через точку в грани
пирамиды и прямую
, принадлежащую плоскости основания пирамиды.

Задача 1. Дано. Шаг 1.
Проведем прямую через вершину пирамиды и точку
. Точка
, где данная прямая пересечет ребро
основания, может, и не понадобится нам, просто четче будет видно местоположение точки
. Проведем прямую, содержащую ребро
, и найдем ее точку пересечения с прямой
– точку
. Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости основания одновременно.

Задача 2. Шаг 2.
Проводим прямую через точки и
. Эта прямая – след секущей плоскости в плоскости боковой грани
– пересечет ребро
в точке
, а ребро
– в точке
. Также проведем продолжение ребра
до пересечения с прямой
– точки
.

Задача 2. Шаг 3.
Точки и
лежат в одной плоскости – плоскости задней грани пирамиды, их можно соединить. Полученная прямая пересечет ребро
в точке
.

Задача 2. Шаг 4.
Точки ,
,
соединяем отрезками и получаем зеленый треугольник сечения:

Задача 2. Общий вид полученного сечения
Задача 3. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку , принадлежащую грани
. Плоскость сечения должна быть параллельна плоскости грани
.

Задача 3. Дано.
Задача простая, совсем простая. Отдохнем на этой и следующей задачах… Первым делом проводим прямую, проходящую через точку параллельно ребру
. Определяем точки, в которых эта прямая пересечет ребра
и
.

Задача 3. Шаг 1.
Через точку в плоскости основания проводим прямую, параллельную ребру
. Находим точку пересечения этой прямой с ребром
– точку
.

Задача 3. Шаг 2.
Теперь соединяем точки и
и вуаля:

Задача 3. Отрезок QF и сечение.
Задача 4. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки и
грани
параллельно ребру
.
Думаю, в этой задаче обойдемся без пояснений.

Задача 4. Шаг 1.

Задача 4. Шаг 2.

Окончательный вид сечения
Задача 5. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки и
, причем точка
лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды на расстоянии от центра основания пирамиды
, равном высоте.

Задача 5. Дано.
Шаг 1. Проводим прямую , принадлежащую плоскости сечения, и ее проекцию на плоскость основания пирамиды
.

Задача 5. Шаг 1.
Шаг 2. Проводим прямую , также принадлежащую сечению.

Задача 5. Шаг 2.
Шаг 3. Проводим отрезок , соединяя центр основания пирамиды с ее вершиной
. Именно в точке пересечения прямой
и отрезка
прямая
“проткнет” основание пирамиды
. Отметим эту точку
.

Шаг 3.
Шаг 4. Так как точки и
принадлежат секущей плоскости, да еще и лежат обе в плоскости основания пирамиды, то проведем через них прямую
, определив таким образом точку пересечения секущей плоскости и ребра
–
. Далее можно будет соединить точки
и
, так как они лежат в грани
.

Шаг 4.
Шаг 5. Но мы не просто проведем прямую , а продлим ее до пересечения с прямой, содержащей ребро
, найдя точку
. Эта точка будет принадлежать и грани
, таким образом, ее можно соединять прямой с точкой
.

Шаг 5.
Шаг 6. Соединяем точки и
прямой и находим точку, где эта прямая пересечет ребро
–
.

Шаг 6.
Шаг 7. Соединяем точки сечения и
:

Шаг 7.
Окончательный вид сечения:

Окончательный вид
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...
Вот в том и вопрос, что при решении задачи 20 используется геометрия треугольника...
Добрый час! Во втором примере небольшая несозвучность: функции на графике...