Сложные случаи построения сечения треугольной пирамиды.

В этой статье будут рассмотрены случаи построения сечений через точки, принадлежащие граням пирамиды, а не ее ребрам, точки, лежащие вне пирамиды – например, принадлежащие какой-либо прямой, лежащей в одной из плоскостей граней, но не пересекающей грань, или случаи построения сечения плоскостью, проходящей параллельно ребру или грани пирамиды. Во всех задачах пирамида – правильная.

[latexpage]

Задача 1. Построить сечение треугольной пирамиды $SABC$ плоскостью, проходящей через точки $P,Q,R$, если $P$ принадлежит грани $SAB$, $R$ принадлежит грани $SAC$, $Q$ принадлежит грани $SCB$.

Задача 1. Дано. Шаг 1.

Проведем прямые через данные точки и вершину пирамиды. При этом прямая $SP$ лежит в задней, невидимой, грани и показана пунктиром.

Задача 1. Шаг 2.

Отметим точки пересечения данными прямыми ребер $AC$, $CB$ и $AB$ – $W, X, V$.

Задача 1. Шаг 3.

Прямая $PR$ принадлежит секущей плоскости, так как обе точки – P и R  – принадлежат плоскости. Проведем ее, и проведем ее след в плоскости основания $ABC$ – $VW$. Тогда место пересечения прямых $PR$ и $VW$ – место “прокола” прямой $PR$ плоскости основания. Это точка $Y$, и она принадлежит обеим плоскостям: и секущей, и плоскости основания пирамиды.

Задача 1. Шаг 4.

Совершенно аналогично поступим с точками $P$ и $Q$: проводим через них прямую, а затем ее след через точки $V$ и $X$. Точка $Z$ – место пересечения прямых $PQ$ и $VX$ – место “прокола” прямой $PQ$ плоскости основания.

Теперь у нас есть две точки ($Y$ и $Z$), которые принадлежат сечению и при этом удобно расположены в плоскости основания, что дает возможность провести через них прямую, которая непременно пересечет ребра $AC$ и $BC$, также лежащие в плоскости основания (все вспомогательные построения здесь скрыты для улучшения обзора):

Задача 1. Шаг 5.

Эта прямая пересечет ребро $BC$ в точке $M$.

Задача 1. Шаг 6.

Точки $M$ и $Q$ принадлежат грани $CSB$, поэтому можем соединить их прямой. Эта прямая пересечет ребро $SB$  в точке $N$. Аналогично можно теперь провести прямую через точки $N$ и $P$, принадлежащие грани $ABS$.

Задача 1. Шаг 7.

Прямая $PN$ пересечет ребро $AS$ в точке $E$. Ее можно соединить с точкой $R$, так как располагаются точки в одной плоскости – плоскости грани $ASC$. Проведем прямую через точки $E$ и $R$.

Задача 1. Шаг 8.

Прямая $ER$ пересекает ребро $AC$ в точке $F$. Точку $F$ можно соединить с точкой $M$, так как обе они лежат в плоскости основания. Наконец, можем полностью увидеть сечение:

Задача 1. Окончательный вид сечения.

Задача 2. Построить сечение плоскотью, проходящей через точку $P$  в грани $ASC$ пирамиды и прямую $j$, принадлежащую плоскости основания пирамиды.

Задача 1. Дано. Шаг 1.

Проведем прямую через вершину пирамиды $S$ и точку $P$. Точка $P_1$, где данная прямая пересечет ребро $AC$ основания, может, и не понадобится нам, просто четче будет видно местоположение точки $P$. Проведем прямую, содержащую ребро $AC$, и найдем ее точку пересечения с прямой $j$ – точку $R$. Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости основания одновременно.

Задача 2. Шаг 2.

Проводим прямую через точки $P$ и $R$. Эта прямая – след секущей плоскости в плоскости боковой грани $ASC$ – пересечет ребро $AS$ в точке $T$, а ребро $SC$ – в точке $U$. Также проведем продолжение ребра $AB$ до пересечения с прямой $j$ – точки $E$.

Задача 2. Шаг 3.

Точки $T$ и $E$ лежат в одной плоскости – плоскости задней грани пирамиды, их можно соединить. Полученная прямая пересечет ребро $SB$ в точке $V$.

Задача 2. Шаг 4.

Точки $U$, $T$, $V$ соединяем отрезками и получаем зеленый треугольник сечения:

Задача 2. Общий вид полученного сечения

Задача 3. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку  $P$, принадлежащую грани $ASC$. Плоскость сечения должна быть параллельна плоскости грани $SCB$.

Задача 3. Дано.

Задача простая, совсем простая.  Отдохнем на этой и следующей задачах… Первым делом проводим прямую, проходящую через точку $P$ параллельно ребру $SC$. Определяем точки, в которых эта прямая пересечет ребра $SA$ и $AC$.

Задача 3. Шаг 1.

Через точку $R$ в плоскости основания проводим прямую, параллельную ребру $CB$. Находим точку пересечения этой прямой с ребром $AB$ – точку $F$.

Задача 3. Шаг 2.

Теперь соединяем точки $Q$ и $F$ и вуаля:

Задача 3. Отрезок QF и сечение.

Задача 4. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки  $P$  и $Q$ грани $ABC$ параллельно ребру  $SC$.

Думаю, в этой задаче обойдемся без пояснений.

Задача 4. Шаг 1.

Задача 4. Шаг 2.

Окончательный вид сечения

Задача 5. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $P, Q$ и $T$, причем точка $T$ лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды на  расстоянии от центра основания пирамиды $O$, равном высоте.

Задача 5. Дано.

Шаг 1. Проводим прямую $PQ$, принадлежащую плоскости сечения, и ее проекцию на плоскость основания пирамиды $PB$.

Задача 5. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямую $TQ$, также принадлежащую сечению.

Задача 5. Шаг 2.

Шаг 3. Проводим отрезок $OB$, соединяя центр основания пирамиды с ее вершиной $B$. Именно в точке пересечения прямой $TQ$ и отрезка $OB$ прямая $TQ$ “проткнет” основание пирамиды $ABC$. Отметим эту точку $Z$.

Шаг 3.

Шаг 4. Так как точки $P$ и $Z$ принадлежат секущей плоскости, да еще и лежат обе в плоскости основания пирамиды, то проведем через них прямую $PZ$, определив таким образом точку пересечения секущей плоскости и ребра $CB$ – $U$. Далее можно будет соединить точки $U$ и $Q$, так как они лежат в грани $SCB$.

Шаг 4.

Шаг 5. Но мы не просто проведем прямую $QU$, а продлим ее до пересечения с прямой, содержащей ребро $SC$, найдя точку $V$. Эта точка будет принадлежать и грани $ASC$, таким образом, ее можно соединять прямой с точкой $P$.

Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки $V$ и $P$ прямой и находим точку, где эта прямая пересечет ребро $SA$ – $W$.

Шаг 6.

Шаг 7. Соединяем точки сечения $P, W, Q$ и $U$:

Шаг 7.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид