Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Сложное логарифмическое неравенство и свойства функций

Решаем сложное логарифмическое неравенство. Решение на основе свойства функций.

Решить неравенство:

    \[\log_{0,5} \frac{4\cdot (2^{\mid x\mid})^2-8\cdot 2^{\mid x\mid}+5}{4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1}+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}\]

    \[\log_{0,5} \frac{4\cdot (2^{\mid x\mid}-1)^2+1}{4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1}+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}\]

    \[\log_{0,5} (4\cdot (2^{\mid x\mid}-1)^2+1)+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\log_{0,5} (4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1)+\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}\]

Введем функцию

    \[y=\log_{0,5} (t^2+1)+\frac{1}{t+1}\]

Эта функция убывает, поэтому

    \[y(2\cdot (2^{\mid x\mid}-1))>y(2(2^{\sqrt{x}+2}-1))\]

    \[2\cdot (2^{\mid x\mid}-1)<2(2^{\sqrt{x}+2}-1)\]

    \[2^{\mid x\mid}<2^{\sqrt{x}+2}\]

    \[\mid x\mid}<\sqrt{x}+2\]

Так как x\geqslant 0, то

    \[x-\sqrt{x}-2<0\]

    \[\sqrt{x}<2\]

Ответ: x \in [0; 4).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *