Сложное логарифмическое неравенство и свойства функций

[latexpage]

Решаем сложное логарифмическое неравенство. Решение на основе свойства функций.

Решить неравенство:

$$\log_{0,5} \frac{4\cdot (2^{\mid x\mid})^2-8\cdot 2^{\mid x\mid}+5}{4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1}+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$

$$\log_{0,5} \frac{4\cdot (2^{\mid x\mid}-1)^2+1}{4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1}+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$

$$\log_{0,5} (4\cdot (2^{\mid x\mid}-1)^2+1)+\frac{1}{2( 2^{\mid x\mid}-1)+1}>\log_{0,5} (4(2^{\sqrt{x}+2}-1)^2+1)+\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$

Введем функцию

$$y=\log_{0,5} (t^2+1)+\frac{1}{t+1}$$

Эта функция убывает, поэтому

$$y(2\cdot (2^{\mid x\mid}-1))>y(2(2^{\sqrt{x}+2}-1))$$

$$2\cdot (2^{\mid x\mid}-1)<2(2^{\sqrt{x}+2}-1)$$

$$2^{\mid x\mid}<2^{\sqrt{x}+2}$$

$$\mid x\mid}<\sqrt{x}+2$$

Так как $x\geqslant 0$, то

$$x-\sqrt{x}-2<0$$

$$\sqrt{x}<2$$

Ответ: $x \in [0; 4)$.