Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Сложная задача с параметром

В этой интересной задаче сошлись как использование свойств функций, так и графические приемы решения. Даже в самом конце решения, при записи ответа, нужно подставлять значения в “правильное” неравенство, следя за тем, оказались ли мы выше или ниже разделительной прямой.

Задача. При каких значениях параметра неравенство

   

имеет максимальное количество целых решений?

Рассмотрим правую часть неравенства. Под корнем дробь. Ее знаменатель положителен, следовательно, обязан быть положительным и числитель. Перепишем так:

   

И разобьем корень на два корня, как и степень двойки:

   

Тогда:

   

Видим, что справа и слева выражения похожи. Причем можно ввести функцию ():

   

Тогда и справа, и слева у нас одна и та же функция, но разные аргументы.

Такая функция является монотонно возрастающей, вне зависимости от аргумента, и непрерывной, потому что является произведением двух заведомо возрастающих функций. Поэтому если , то .

   

   

Раскрываем модуль: сначала приравняем к нулю подмодульное выражение.

   

   

Тогда при имеем:

   

   

А при имеем:

   

   

Выделим в обоих случаях:

   

Лучше всего решить эти два неравенства графически. Имеем прямую и параболу в обоих случаях, нарисуем оба:

Рисунок 1

Целые решения обозначены вертикальными черными линиями, а также точками там, где параболы пересекаются.. Очевидно, что надо найти такое  положение горизонтальной прямой , когда она будет пересекать максимальное число этих вертикалей.

Рисунок 2

На этом рисунке изображены области, где целых решений 3, и эти области закрашены сиреневым цветом. Необходимо определить значения параметра для каждой из них. Для этого будем, двигаясь снизу вверх по оси , подставлять соответствующие значения .

Самая нижняя сиреневая полоска, от до . Обратим внимание на то, что значение мы будем подставлять в то неравенство, которое “работает” под разделительной прямой , а будем подставлять в то неравенство, которое является рабочим над ней:

   

   

 

Средняя сиреневая полоска, от до (аналогично, подставляем эти значения в разные неравенства):

   

   

Верхняя сиреневая полоска, от до :

   

   

Итак, наконец, записываем ответ:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *