Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Изопроцессы

Сложная задача про трубку со ртутью

Решение задачи из 63 тренировочного варианта я решила оформить в виде статьи. Хорошая задача, согласны?

Задача. Участки AB и CD вертикальной запаянной с концов узкой стеклянной трубки ABCDEF заполнены воздухом, участки BC и DE – ртутью, в участке EF – вакуум. Длины всех участков одинаковы. Давление в нижней точке А равно p. Трубку осторожно переворачивают так, что точка Fоказывается внизу. Каким станет давление в точке F? Температуру считать постоянной.

Решение. Сделаем рисунок и разметим на нем не только размеры, но и все давления, которые сможем определить. В левой части рисунка – неперевернутая трубка. Вверху вакуум, давление равно нулю. Спускаемся в точку D, там давление равно \rho g x. Давление воздуха на участке CD тоже будет равно \rho g x – оно уравновешивает вес столбика ртути.  В точке B давление воздуха должно уравновешивать это давление да еще вес второго столбика, поэтому в точке B, как и в точке A, давление равно 2\rho g x, и это равно p.

После поворота трубки ничто не препятствует ртути (столбик ED) опуститься на дно. Столбик воздуха, который ранее находился на участке CD, примет размер z – мы пока не знаем, какой. Раньше на него действовал вес только столбика ртути, а теперь на него действует еще и давление p_1 воздуха, который был в самой нижней части трубки и занимал объем x, а теперь занял теперь другой объем. Пусть давление воздуха в объеме z равно p_2, а давление расширившегося столбика воздуха (AB) – p_1. Тогда

    \[p_2=p_1+\rho g x\]

Запишем закон Бойля-Мариотта для обоих объемов воздуха. Каждый из них первоначально занимал объем x (я пишу объемы, но так как сечение одно, то можно объемы заменить длинами участков). Если столбики ртути по-прежнему после поворота занимают объем 2x, то воздух занимает объем 3x – из которого z – объем нижнего столбика, 3x-z – объем воздуха сверху. Все это помечено на рисунке.

Закон Бойля-Мариотта для столбика, бывшего в самом низу, а оказавшегося наверху:

    \[p_1\cdot y=px\]

Закон Бойля-Мариотта для столбика CD:

    \[p_2 z=\frac{p}{2}x\]

Тогда

    \[p_1=p\frac{x}{y }\]

Заменяем p_2:

    \[\frac{p x }{2}= (p_1+\rho g x) z=\left(p_1+\frac{p}{2}\right)z\]

    \[\frac{p x }{2}= \left (p\frac{x}{y }+\frac{p}{2}\right)(3x-y)\]

    \[\frac{ x }{2}=\left( \frac{x}{y }+\frac{ 1 }{2}\right)(3x-y)\]

Делим на y:

    \[\frac{ x }{2y}= \left(\frac{x}{y }+\frac{ 1 }{2}\right) \left(\frac{3x}{y}-1\right)\]

    \[\frac{ x }{y}=2\left( \frac{x}{y }+\frac{ 1 }{2}\right) \left(\frac{3x}{y}-1\right)\]

Если для удобства обозначить \frac{x}{y }=t, то

    \[t=2(3t^2-t+3t-\frac{1}{2})\]

    \[6t^2=1\]

    \[t=\frac{1}{\sqrt{6}}\]

Мы искали давление в точке F, оно равно p_1+2\rho g h=p_1+p,

    \[p_1+p= p\frac{x}{y }+p=p\left(1+ \frac{x}{y }\right)=p\left(1+\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\]

Ответ: p\left(1+\frac{1}{\sqrt{6}}\right)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *