Сложная задача про трубку со ртутью

Решение задачи из 63 тренировочного варианта я решила оформить в виде статьи. Хорошая задача, согласны?

Задача. Участки $AB$ и $CD$ вертикальной запаянной с концов узкой стеклянной трубки $ABCDEF$ заполнены воздухом, участки $BC$ и $DE$ – ртутью, в участке $EF$ – вакуум. Длины всех участков одинаковы. Давление в нижней точке $А$ равно $p$ . Трубку осторожно переворачивают так, что точка $F$ оказывается внизу. Каким станет давление в точке $F$ ? Температуру считать постоянной.

Решение. Сделаем рисунок и разметим на нем не только размеры, но и все давления, которые сможем определить. В левой части рисунка – неперевернутая трубка. Вверху вакуум, давление равно нулю. Спускаемся в точку $D$ , там давление равно $\rho g x$ . Давление воздуха на участке $CD$ тоже будет равно $\rho g x$ – оно уравновешивает вес столбика ртути. В точке $B$ давление воздуха должно уравновешивать это давление да еще вес второго столбика, поэтому в точке $B$ , как и в точке $A$ , давление равно $2\rho g x$ , и это равно $p$ .

После поворота трубки ничто не препятствует ртути (столбик $ED$ ) опуститься на дно. Столбик воздуха, который ранее находился на участке $CD$ , примет размер $z$ – мы пока не знаем, какой. Раньше на него действовал вес только столбика ртути, а теперь на него действует еще и давление $p_1$ воздуха, который был в самой нижней части трубки и занимал объем $x$ , а теперь занял теперь другой объем. Пусть давление воздуха в объеме $z$ равно $p_2$ , а давление расширившегося столбика воздуха ( $AB$ ) – $p_1$ . Тогда

$p_2=p_1+\rho g x$

трубка_30

Запишем закон Бойля-Мариотта для обоих объемов воздуха. Каждый из них первоначально занимал объем $x$ (я пишу объемы, но так как сечение одно, то можно объемы заменить длинами участков). Если столбики ртути по-прежнему после поворота занимают объем $2x$ , то воздух занимает объем $3x$ – из которого $z$ – объем нижнего столбика, $3x-z$ – объем воздуха сверху. Все это помечено на рисунке.