Сложная задача про трубку со ртутью

[latexpage]

Решение задачи из 63 тренировочного варианта я решила оформить в виде статьи. Хорошая задача, согласны?

Задача. Участки $AB$ и $CD$ вертикальной запаянной с концов узкой стеклянной трубки $ABCDEF$ заполнены воздухом, участки $BC$ и $DE$ – ртутью, в участке $EF$ – вакуум. Длины всех участков одинаковы. Давление в нижней точке $А$ равно $p$. Трубку осторожно переворачивают так, что точка $F $оказывается внизу. Каким станет давление в точке $F$? Температуру считать постоянной.

Решение. Сделаем рисунок и разметим на нем не только размеры, но и все давления, которые сможем определить. В левой части рисунка – неперевернутая трубка. Вверху вакуум, давление равно нулю. Спускаемся в точку $D$, там давление равно $\rho g x$. Давление воздуха на участке $CD$ тоже будет равно $\rho g x$ – оно уравновешивает вес столбика ртути.  В точке $B$ давление воздуха должно уравновешивать это давление да еще вес второго столбика, поэтому в точке $B$, как и в точке $A$, давление равно $2\rho g x$, и это равно $p$.

После поворота трубки ничто не препятствует ртути (столбик $ED$) опуститься на дно. Столбик воздуха, который ранее находился на участке $CD$, примет размер $z$ – мы пока не знаем, какой. Раньше на него действовал вес только столбика ртути, а теперь на него действует еще и давление $p_1$ воздуха, который был в самой нижней части трубки и занимал объем $x$, а теперь занял теперь другой объем. Пусть давление воздуха в объеме $z$ равно $p_2$, а давление расширившегося столбика воздуха ($AB$) – $p_1$. Тогда
$$p_2=p_1+\rho g x$$

Запишем закон Бойля-Мариотта для обоих объемов воздуха. Каждый из них первоначально занимал объем $x$ (я пишу объемы, но так как сечение одно, то можно объемы заменить длинами участков). Если столбики ртути по-прежнему после поворота занимают объем $2x$, то воздух занимает объем $3x$ – из которого $z$ – объем нижнего столбика, $3x-z$ – объем воздуха сверху. Все это помечено на рисунке.

Закон Бойля-Мариотта для столбика, бывшего в самом низу, а оказавшегося наверху:

$$p_1\cdot y=px$$

Закон Бойля-Мариотта для столбика $CD$:

$$p_2 z=\frac{p}{2}x$$

Тогда

$$p_1=p\frac{x}{y }$$

Заменяем $p_2$:

$$\frac{p x }{2}= (p_1+\rho g x) z=\left(p_1+\frac{p}{2}\right)z$$

$$\frac{p x }{2}= \left (p\frac{x}{y }+\frac{p}{2}\right)(3x-y)$$

$$\frac{ x }{2}=\left( \frac{x}{y }+\frac{ 1 }{2}\right)(3x-y) $$

Делим на $y$:

$$\frac{ x }{2y}= \left(\frac{x}{y }+\frac{ 1 }{2}\right) \left(\frac{3x}{y}-1\right) $$

$$\frac{ x }{y}=2\left( \frac{x}{y }+\frac{ 1 }{2}\right) \left(\frac{3x}{y}-1\right) $$

Если для удобства обозначить $\frac{x}{y }=t$, то

$$t=2(3t^2-t+3t-\frac{1}{2})$$

$$6t^2=1$$

$$t=\frac{1}{\sqrt{6}}$$

Мы искали давление в точке $F$, оно равно $p_1+2\rho g h=p_1+p$,

$$p_1+p= p\frac{x}{y }+p=p\left(1+ \frac{x}{y }\right)=p\left(1+\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$$

Ответ: $p\left(1+\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$