Сложная задача про снаряд и цель

Особенность этой задачи состоит в том, что кроме дальности полета снаряда и начальной скорости больше никаких данных нет. Однако, если обладать достаточной смекалкой, можно решить и такую задачу. Также здесь потребуются знания по решению биквадратных уравнений.
[latexpage]
 

Задача. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,1 км друг от друга. За какое время снаряд с начальной скоростью 240 м/с  достигнет цели?

В этой задаче ничего не сказано про угол, под которым произведен выстрел. То есть снаряд может лететь по любой траектории.

Траектория полета снаряда

Начальную скорость снаряда можно разложить по осям: $\upsilon_{vert}=\upsilon_0\sin{\alpha}$ – по вертикальной оси и $\upsilon_{gor}=\upsilon_0\cos{\alpha}$ – по горизонтальной. Снаряд достигнет высшей точки траектории, и в этот момент вертикальная составляющая скорости станет равной 0:

$$\upsilon_{vert}=\upsilon_0\sin{\alpha}-gt=0$$

Отсюда найдем $\sin{\alpha}=\frac{gt}{\upsilon_0}$.

Здесь $t$ – только половина времени полета, потому что, чтобы снова вернуться на уровень земли, снаряд потратит ровно столько же времени, как и туда, поэтому полное время полета равно

$$t_{poln}=\frac{2\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}$$

Все это время снаряд двигался по горизонтали равномерно, с постоянной скоростью, равной горизонтальной составляющей $\upsilon_0\cos{\alpha}$, и в итоге одолел 5,1 км до цели:

$$\upsilon_0\cos{\alpha}\cdot t_{poln}=S$$

Отсюда найдем $\cos{\alpha}=\frac{S}{\upsilon_0\cdot 2t}$.

Теперь составим основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2{\alpha}+ \cos^2{\alpha}=1$$

$$\frac{g^2t^2}{\upsilon_0^2}+\frac{S^2}{\upsilon_0^2\cdot 4t^2}=1$$

Осталось решить это биквадратное уравнение.

$$\frac{100 t^2}{240^2}+\frac{5100^2}{240^2\cdot 4t^2}=1$$

Домножаем на $t^2$:

$$\frac{100 t^4}{240^2}-t^2+\frac{5100^2}{240^2\cdot 4}=0$$

$$0,00174 t^4-t^2+112,9=0$$

$$0,00174 a^2-a+112,9=0$$

Определяем дискриминант: $D=1-4\cdot0,00174\cdot112,9=0,216$

Корни: $a_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{0,216}}{2\cdot0,00174}=\frac{1 \pm 0,465}{0,00348}$

$$a_1=421$$

$$a_2=154$$

Тогда определим время:

$$t_1=\sqrt{a_1}=\sqrt{421}=20,52$$

$$t_2=\sqrt{a_2}=\sqrt{154}=12,4$$

Не забудем, что за $t$ мы обозначили только время полета до наивысшей точки, поэтому полное время полета до цели вдвое больше: или 41,1 с, или 24,8 с.

Таким образом, в зависимости от угла, снаряд может лететь 24,8 или 41,1 с.