Сложная задача про снаряд и цель

Особенность этой задачи состоит в том, что кроме дальности полета снаряда и начальной скорости больше никаких данных нет. Однако, если обладать достаточной смекалкой, можно решить и такую задачу. Также здесь потребуются знания по решению биквадратных уравнений.

Задача. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,1 км друг от друга. За какое время снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели?

В этой задаче ничего не сказано про угол, под которым произведен выстрел. То есть снаряд может лететь по любой траектории.

Траектория полета снаряда

Начальную скорость снаряда можно разложить по осям: $\upsilon_{vert}=\upsilon_0\sin{\alpha}$ – по вертикальной оси и $\upsilon_{gor}=\upsilon_0\cos{\alpha}$ – по горизонтальной. Снаряд достигнет высшей точки траектории, и в этот момент вертикальная составляющая скорости станет равной 0:

$\upsilon_{vert}=\upsilon_0\sin{\alpha}-gt=0$

Отсюда найдем $\sin{\alpha}=\frac{gt}{\upsilon_0}$ .

Здесь $t$ – только половина времени полета, потому что, чтобы снова вернуться на уровень земли, снаряд потратит ровно столько же времени, как и туда, поэтому полное время полета равно

$t_{poln}=\frac{2\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}$

Все это время снаряд двигался по горизонтали равномерно, с постоянной скоростью, равной горизонтальной составляющей $\upsilon_0\cos{\alpha}$ , и в итоге одолел 5,1 км до цели:

$\upsilon_0\cos{\alpha}\cdot t_{poln}=S$

Отсюда найдем $\cos{\alpha}=\frac{S}{\upsilon_0\cdot 2t}$ .

Теперь составим основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2{\alpha}+ \cos^2{\alpha}=1$

$\frac{g^2t^2}{\upsilon_0^2}+\frac{S^2}{\upsilon_0^2\cdot 4t^2}=1$

Осталось решить это биквадратное уравнение.

$\frac{100 t^2}{240^2}+\frac{5100^2}{240^2\cdot 4t^2}=1$

Домножаем на $t^2$ :

$\frac{100 t^4}{240^2}-t^2+\frac{5100^2}{240^2\cdot 4}=0$

$0,00174 t^4-t^2+112,9=0$

$0,00174 a^2-a+112,9=0$

Определяем дискриминант: $D=1-4\cdot0,00174\cdot112,9=0,216$

Корни: $a_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{0,216}}{2\cdot0,00174}=\frac{1 \pm 0,465}{0,00348}$

$a_1=421$

$a_2=154$

Тогда определим время:

$t_1=\sqrt{a_1}=\sqrt{421}=20,52$

$t_2=\sqrt{a_2}=\sqrt{154}=12,4$

Не забудем, что за $t$ мы обозначили только время полета до наивысшей точки, поэтому полное время полета до цели вдвое больше: или 41,1 с, или 24,8 с.

Таким образом, в зависимости от угла, снаряд может лететь 24,8 или 41,1 с.

Комментариев - 2

Александр

2020-06-01

Более коротко и проще: Из L= (V^2/g)*Sin(2A) находим Sin(2A) = L*g/V^2 = 0.8854 отсюда можно найти углы А =58,85 и 31,15 собственно говоря и всё, но можно продолжить и без углов. пусть tg(A)=X, тогда
0.8854=2*Х/(1+Х^2), решая Х1=1.655 и Х2=0.605 С другой стороны tg(A)= (g*t^2)/2*L
отсюда t=SQR(2*L*tg(A)/g) t1=41.1 и t2=24.8

Ответить

Анна
|

2020-06-01

Спасибо. Но с тригонометрическим тождеством интересный прием, собственно, ради него…

Ответить

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Июн
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Сложная задача про снаряд и цель

Для вас другие записи этой рубрики:

Комментариев - 2

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы