Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Сложная задача про снаряд и цель

Особенность этой задачи состоит в том, что кроме дальности полета снаряда и начальной скорости больше никаких данных нет. Однако, если обладать достаточной смекалкой, можно решить и такую задачу. Также здесь потребуются знания по решению биквадратных уравнений.

 



Задача. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,1 км друг от друга. За какое время снаряд с начальной скоростью 240 м/с  достигнет цели?

В этой задаче ничего не сказано про угол, под которым произведен выстрел. То есть снаряд может лететь по любой траектории.

Траектория полета снаряда

Начальную скорость снаряда можно разложить по осям: \upsilon_{vert}=\upsilon_0\sin{\alpha} – по вертикальной оси и \upsilon_{gor}=\upsilon_0\cos{\alpha} – по горизонтальной. Снаряд достигнет высшей точки траектории, и в этот момент вертикальная составляющая скорости станет равной 0:

    \[\upsilon_{vert}=\upsilon_0\sin{\alpha}-gt=0\]

Отсюда найдем \sin{\alpha}=\frac{gt}{\upsilon_0}.

Здесь t – только половина времени полета, потому что, чтобы снова вернуться на уровень земли, снаряд потратит ровно столько же времени, как и туда, поэтому полное время полета равно

    \[t_{poln}=\frac{2\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}\]

Все это время снаряд двигался по горизонтали равномерно, с постоянной скоростью, равной горизонтальной составляющей \upsilon_0\cos{\alpha}, и в итоге одолел 5,1 км до цели:

    \[\upsilon_0\cos{\alpha}\cdot t_{poln}=S\]

Отсюда найдем \cos{\alpha}=\frac{S}{\upsilon_0\cdot 2t}.

Теперь составим основное тригонометрическое тождество:

    \[\sin^2{\alpha}+ \cos^2{\alpha}=1\]

    \[\frac{g^2t^2}{\upsilon_0^2}+\frac{S^2}{\upsilon_0^2\cdot 4t^2}=1\]

Осталось решить это биквадратное уравнение.

    \[\frac{100 t^2}{240^2}+\frac{5100^2}{240^2\cdot 4t^2}=1\]

Домножаем на t^2:

    \[\frac{100 t^4}{240^2}-t^2+\frac{5100^2}{240^2\cdot 4}=0\]

    \[0,00174 t^4-t^2+112,9=0\]

    \[0,00174 a^2-a+112,9=0\]

Определяем дискриминант: D=1-4\cdot0,00174\cdot112,9=0,216

Корни: a_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{0,216}}{2\cdot0,00174}=\frac{1 \pm 0,465}{0,00348}

    \[a_1=421\]

    \[a_2=154\]

Тогда определим время:

    \[t_1=\sqrt{a_1}=\sqrt{421}=20,52\]

    \[t_2=\sqrt{a_2}=\sqrt{154}=12,4\]

Не забудем, что за t мы обозначили только время полета до наивысшей точки, поэтому полное время полета до цели вдвое больше: или 41,1 с, или 24,8 с.

Таким образом, в зависимости от угла, снаряд может лететь 24,8 или 41,1 с.



Комментариев - 2

  • |

    Более коротко и проще: Из L= (V^2/g)*Sin(2A) находим Sin(2A) = L*g/V^2 = 0.8854 отсюда можно найти углы А =58,85 и 31,15 собственно говоря и всё, но можно продолжить и без углов. пусть tg(A)=X, тогда
    0.8854=2*Х/(1+Х^2), решая Х1=1.655 и Х2=0.605 С другой стороны tg(A)= (g*t^2)/2*L
    отсюда t=SQR(2*L*tg(A)/g) t1=41.1 и t2=24.8

    /

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо. Но с тригонометрическим тождеством интересный прием, собственно, ради него…

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *