Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Сложная экономическая задача со вкладом

Сегодня рассматриваем несколько необычную экономическую задачу. Она должна обязательно прийтись по вкусу тем, кто уже хорошо решает задачи всех типов. Не следует начинать свое знакомство с подобными задачами именно с нее: задача непростая. Решение Ирины Витальевны Павловой.

Задача. В начале года Аркадий открыл вклад в банке на сумму 63000 рублей на несколько лет под целое число процентов годовых. В конце каждого года банк увеличивает вклад на r% по сравнению с его размером в начале года, после чего Аркадий снимает со вклада некоторую сумму денег. Суммы, снимаемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы размер вклада на начало каждого года, начиная со второго, был на одну и ту же сумму больше размера вклада на начало предыдущего года.

Известно, что после n-го снятия на вкладе оказалась сумма, в 1,5 раза превышающая сумму первоначального вклада, а за n снятий Аркадий получил в общей сложности 10080 рублей (2 \leqslant n \leqslant 8). Найдите r.

Решение. Составим таблицу.

ГодВклад на начало Вклад после начисления процентовВклад после снятияСумма снятия
1SkSS+bkS-(S+b)
2S+bk(S+b)S+2bk(S+b)-(S+2b)
...............
nS+(n-1)bk(S+(n-1)b)S+nbk(S+(n-1)b)-(S+nb)

Здесь S – сумма вклада, равная 63000, величина b – та сумма, на которую ежегодно увеличивается вклад Аркадия. Множитель k=1+\frac{r}{100}.

Если сложить все суммы из столбца «сумма снятия» – получим 10080 руб.:

    \[k\cdot \frac{S+S+(n-1)b}{2}\cdot n- \frac{S+b+S+nb}{2}\cdot n=10080\]

    \[k\cdot (2S+(n-1)b})\cdot n- (2S+b+nb)\cdot n=20160\]

А окончательная сумма на счету равна

    \[S+nb=1,5S\]

То есть

    \[nb=0,5S\]

Тогда

    \[k\cdot (2S+nb-b})\cdot n- (2S+b+nb)\cdot n=20160\]

    \[k\cdot (2S+0,5S-b})\cdot n- (2S+b+0,5S)\cdot n=20160\]

    \[k\cdot (2,5S-b})\cdot n- (2,5S+b)\cdot n=20160\]

    \[\left(1+\frac{r}{100}\right)\cdot (2,5S-b})\cdot n- (2,5S+b)\cdot n=20160\]

    \[2,5Sn-bn-0,01r\cdot 2,5Sn-0,01rbn-2,5Sn-bn =20160\]

    \[0,01r\cdot (2,5Sn-bn)-2,5Sn-2bn =20160\]

    \[0,01r\cdot (2,5Sn-bn)-2,5Sn =20160+63000\]

    \[r(5Sn-S)=16632000\]

    \[r(5n-1)=264=11\cdot 24=11\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\]

Так как 2 \leqslant n \leqslant 8, то 24=5n-1, откуда n=5, а r=11.

Ответ: r=11.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *