Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (15)

Сложная экономическая задача со вкладом

[latexpage]

Сегодня рассматриваем несколько необычную экономическую задачу. Она должна обязательно прийтись по вкусу тем, кто уже хорошо решает задачи всех типов. Не следует начинать свое знакомство с подобными задачами именно с нее: задача непростая. Решение Ирины Витальевны Павловой.

Задача. В начале года Аркадий открыл вклад в банке на сумму 63000 рублей на несколько лет под целое число процентов годовых. В конце каждого года банк увеличивает вклад на $r$% по сравнению с его размером в начале года, после чего Аркадий снимает со вклада некоторую сумму денег. Суммы, снимаемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы размер вклада на начало каждого года, начиная со второго, был на одну и ту же сумму больше размера вклада на начало предыдущего года.

Известно, что после $n$-го снятия на вкладе оказалась сумма, в 1,5 раза превышающая сумму первоначального вклада, а за $n$ снятий Аркадий получил в общей сложности 10080 рублей ($2 \leqslant n \leqslant 8$). Найдите $r$.

Решение. Составим таблицу.

ГодВклад на начало Вклад после начисления процентовВклад после снятияСумма снятия
1SkSS+bkS-(S+b)
2S+bk(S+b)S+2bk(S+b)-(S+2b)
...............
nS+(n-1)bk(S+(n-1)b)S+nbk(S+(n-1)b)-(S+nb)

Здесь $S$ – сумма вклада, равная 63000, величина $b$ – та сумма, на которую ежегодно увеличивается вклад Аркадия. Множитель $k=1+\frac{r}{100}$.

Если сложить все суммы из столбца «сумма снятия» – получим 10080 руб.:

$$k\cdot \frac{S+S+(n-1)b}{2}\cdot n- \frac{S+b+S+nb}{2}\cdot n=10080$$

$$k\cdot (2S+(n-1)b})\cdot n- (2S+b+nb)\cdot n=20160$$

А окончательная сумма на счету равна

$$S+nb=1,5S$$

То есть

$$nb=0,5S$$

Тогда

$$k\cdot (2S+nb-b})\cdot n- (2S+b+nb)\cdot n=20160$$

$$k\cdot (2S+0,5S-b})\cdot n- (2S+b+0,5S)\cdot n=20160$$

$$k\cdot (2,5S-b})\cdot n- (2,5S+b)\cdot n=20160$$

$$\left(1+\frac{r}{100}\right)\cdot (2,5S-b})\cdot n- (2,5S+b)\cdot n=20160$$

$$2,5Sn-bn-0,01r\cdot 2,5Sn-0,01rbn-2,5Sn-bn =20160$$

$$0,01r\cdot (2,5Sn-bn)-2,5Sn-2bn =20160$$

$$0,01r\cdot (2,5Sn-bn)-2,5Sn =20160+63000$$

$$r(5Sn-S)=16632000$$

$$r(5n-1)=264=11\cdot 24=11\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$$

Так как $2 \leqslant n \leqslant 8$, то $24=5n-1$, откуда $n=5$, а $r=11$.

Ответ: $r=11$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *