Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Равнопеременное движение

Скорости и ускорения как производные координаты

Зная координату тела (закон, по которому она изменяется) можно очень многое о движении  этого тела узнать. Например, скорость – первая производная  от координаты. А ускорение – вторая производная, или первая производная скорости.  Если в задаче дано еще и время движения тела – то можно полностью описать движение и найти все его характеристики для данного момента времени.

Ускорение

Задача 1. Точка движется по прямой согласно закону x=At+Bt^3, где A=6 м/с, B=-0,125 м/c^3. Определить: среднюю скорость точки в интервале времени от t_1=2 с до t_2=6 с, координату точки в тот момент времени, когда скорость тела будет равна нулю.

Средняя скорость – это отношение пройденного пути ко времени. Время движения очевидно: t_2-t_1=4 с. А путь можно определить как x_2-x_1:

    \[x_2= At_2+Bt_2^3\]

    \[x_1= At_1+Bt_1^3\]

    \[\upsilon_{sr}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{6 \cdot 4-0,125(6^3-2^2)}{4}=-0,5\]

Чтобы определить скорость, возьмем производную координаты по времени:

    \[\upsilon=(At+Bt^3)'=A+3Bt^2\]

Если скорость равна 0, то

    \[A+3Bt^2=0\]

    \[6-0,375t^2=0\]

Откуда t=\sqrt{16}=4 с и x=6\cdot 4-0,125\cdot64=16 м.

Ответ: \upsilon_{sr}=-0,5 м/с, x=16 м.

 

Задача 2. Точка движется вдоль оси X по закону x=2t^2-4t^3. Найти направление движения в моменты времени: а) t_1=0,25 с; б) t_2=0,5 с. Чему будут равны ускорения в эти моменты времени?

Чтобы определить направление движения, нам надо узнать знак скорости в данные моменты времени. Определим сначала скорость тела как производную координаты:

    \[\upsilon=x'=(2t^2-4t^3)'=4t-12t^2\]

Тогда

    \[\upsilon_1=4t_1-12t_1^2=1-\frac{12}{16}=0,25\]

    \[\upsilon_2=4t_2-12t_2^2=2-\frac{12}{4}=-1\]

Поэтому в момент времени t_1 тело движется в положительном направлении, а в момент времени t_2 – в отрицательном.

Определим ускорение как вторую производную от координаты, или первую производную скорости по времени:

    \[a=x''=(\upsilon)'=4-24t\]

    \[a_1=4-24\cdot0,25=-2\]

    \[a_2=4-24\cdot0,5=-8\]

Ответ: \upsilon_1=0,25 м/с, движение по оси, a_1=-2 м/с^2, \upsilon_2=-1 м/с, движение против оси, a_2=-8 м/с^2.

 

Задача 3. Тело движется прямолинейно, причем скорость зависит от времени по закону: \upsilon=3t^3-5t+2. Определить зависимость ускорения от времени a(t). Каково значение ускорения при t=5 с?

Чтобы найти ускорение, возьмем производную скорости:

    \[a=\upsilon'=9t^2-5\]

При t=5 имеем:

    \[a=9\cdot 25-5=220\]

Ответ: a=9t^2-5, a=220 м/с^2.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *