Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Системы с параметром

[latexpage]

Решим две системы с параметром. В обоих случаях необходимо большое число решений.

Задача 1. При каких значениях параметра $a$ система

$$\begin{Bmatrix}{ 2\mid xy-3y-4x+12\mid=a^2+2a-z-30}\\{ 3a^2-a-z-32=0}\\{ z-x^2-y^2+6x+8y=0}\end{matrix}$$

имеет 4 решения?

Решение.

$$\begin{Bmatrix}{ 2\mid x-3\mid \cdot\mid y-4\mid=-2a^2+3a+2}\\{ (x-3)^2+(y-4)^2=3a^2-a-7}\\{ z=3a^2-a-32}\end{matrix}$$

Введем новые обозначения:

$$\mid x-3\mid=u$$

$$\mid y-4\mid=\upsilon$$

Каждому $u>0$ соответствует 2 решения, 2 значения $x$, каждому $u=0$ – одно.

Каждому $\upsilon>0$ соответствует 2 решения, 2 значения $y$, каждому $\upsilon=0$ – одно.

Для любого $a$ существует единственное значение $z$.

Система приобрела вид:

$$\begin{Bmatrix}{ 2u\upsilon=-2a^2+3a+2}\\{ u^2+\upsilon^2=3a^2-a-7}\\{ z=3a^2-a-32}\end{matrix}$$

Видно, что замена $u$ на $\upsilon$ ничего не изменит, то есть система симметрична, значит, если есть решение $(u_0; \upsilon_0; z)$, то будет и решение $( \upsilon_0; u_0; z)$.

Нам нужно 4 решения, поэтому либо $u>0; \upsilon=0$, либо $\upsilon>0; u=0$, либо же имеем одно решение вида $(u;u)$.

Рассмотрим вариант $u=0$.

$$\begin{Bmatrix}{ -2a^2+3a+2=0}\\{ \upsilon^2=3a^2-a-7}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ a=2}\\{ \upsilon^2=3}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ a=-\frac{1}{2}}\\{ \upsilon^2=-\frac{23}{4}}\end{matrix}$$

Второе решение постороннее.

Рассмотрим вариант $\upsilon=0$.

$$\begin{Bmatrix}{ -2a^2+3a+2=0}\\{ u^2=3a^2-a-7}\end{matrix}$$

Получим то же самое. $a=2$ забираем в ответ.

Теперь случай $u>0$, решение вида $(u; u)$

$$\begin{Bmatrix}{ 2u^2=-2a^2+3a+2}\\{ 2u^2=3a^2-a-7}\end{matrix}$$

Получаем

$$5a^2-4a-9=0$$

$$a=-1$$

$$a=\frac{9}{5}$$

При $a=-1$ $u^2=-\frac{3}{2}$ – посторонний корень.

При $a=\frac{9}{5}$ –  $u^2>0$.

В ответ забираем $a=\frac{9}{5}$.

Ответ: $a=2$ или $a=\frac{9}{5}$.

Задача 2. При каких значениях параметра $a$ система

$$\begin{Bmatrix}{ (ay+ax+3)(y-x=a)=0}\\{ \mid xy \mid =a}\end{matrix}$$

имеет 6 решений?

Решение: при $a=0$ решение одно. Поэтому $a>0$.

$$\begin{bmatrix}{ \begin{Bmatrix}{y=-x-\frac{3}{a}}\\{\mid y \mid=\frac{a}{\mid x \mid}}\end{matrix}}\\{  \begin{Bmatrix}{y=x-a}\\{\mid y \mid=\frac{a}{\mid x \mid}}\end{matrix}}\end{matrix}$$

Шесть решений будет, если первая система совокупности имеет 4 решения, а вторая – 2, или наоборот, – первая – два решения, а вторая четыре.

По три решения быть не может – так или иначе получится квадратное уравнение, да и модуль обеспечивает четное число решений.

Первый случай. Первая система совокупности имеет 4 решения, а вторая – 2.

Крайний случай – касание. Первая система при небольшом сдвиге синей прямой будет иметь 4 решения.

Это будет при пересечении $y=\frac{a}{x}$ при $x<0$ и $ y=-x-\frac{3}{a}$. Это прямая и гипербола. Условие касания:

$$-\frac{a}{x^2}=-1$$

$$x=-\sqrt{a}$$

$$y=-\sqrt{a}$$

$$a=\frac{3}{\sqrt[3]{6}}$$

При таком $a$ будет касание, при $a<\frac{3}{\sqrt[3]{6}}$ – пересечение.

Система 2 имеет два решения, если прямая $y=x-a$ проходит выше точки касания. Условие касания:

$$1=\frac{a}{x^2}$$

$$x=\sqrt{a}$$

$$y=-\sqrt{a}$$

$$-\sqrt{a}=\sqrt{a}-a$$

$$\sqrt{a}=2$$

$$a=4$$

При $a<4$ будет 2 решения. То есть при $0<a<4$.

В итоге $a \in (0; \frac{3}{\sqrt[3]{6}})$.

Второй случай. Первая система совокупности имеет 2 решения, а вторая – 4.

Второй случай – первая система имеет два решения, вторая – 4.

Вторая система имеет 4 решения при $a>4$. Первая имеет 2 решения при $a>\frac{3}{\sqrt[3]{6}}$. В итоге – $a \in (4; \infty)$.

Ответ: $a \in (0; \frac{3}{\sqrt[3]{6}})\cup (4; \infty)$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *