Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Параметры (18 (С5))

Система с параметром. Теорема Виета.

При решении этой задачи была использована теорема Виета, и это очень облегчило решение и сделало его прозрачным. Заметить, что именно этот путь надо выбрать, может помочь опыт решения подобных задач.

Задача. При каких значениях параметра система имеет больше двух решений?

   

Рассмотрим первое уравнение системы. Его можно рассматривать как квадратное относительно :

   

Теперь, когда уравнение записано в такой форме, хорошо видно, что удобно применить теорему Виета. Тогда сумма корней – , а произведение – .

Тогда получили систему:

   

Получили две параболы и прямую, которая меняет свой угол наклона, или еще говорят – пучок прямых. Центр нашего пучка находится в точке (3; 1).

Пучок прямых

Теперь предстоит исследовать эту систему, вращая нашу прямую. Начнем с положения прямой, показанного на рисунке.

Рисунок 1.

При таком положении прямой имеем касание и 2 пересечения, то есть три решения. Определим положение прямой в такой ситуации.

   

При касании такое уравнение должно иметь один корень, то есть :

   

   

В свою очередь, дискриминант этого уравнения:

   

   

Корень соответствует рисунку, когда касание происходит вблизи вершины. Если начнем увеличивать коэффициент наклона из этого положения, то скоро придем к положению прямой, показанному на рисунке 2.

Рисунок 2.

При этом , и прямая пересекает систему двух парабол ровно в двух точках, то есть нас устраивают значения параметра .

Увеличивая далее коэффициент наклона, будем все время иметь три корня, до положения, когда прямая будет касаться параболы .

Рисунок 3.

Определим значение параметра при касании:

   

   

   

При касании такое уравнение должно иметь один корень, то есть :

   

   

   

   

Итак, второй промежуток устраивающих нас положений прямой, и, следовательно, значений параметра – .

Вращаем прямую дальше, и видим, что решений два вплоть до момента, когда наша прямая коснется правой ветви параболы вверху. После этого касания, которому соответствует значение параметра , снова будем иметь три решения: .

Из положения прямой, когда , «перешагнем» к положению . Такое значение параметра нас устраивает вплоть до , когда прямая коснется параболы справа. Тогда еще один интервал, который мы возьмем в решение – .

Записываем ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *