Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Система с параметром. Теорема Виета.

При решении этой задачи была использована теорема Виета, и это очень облегчило решение и сделало его прозрачным. Заметить, что именно этот путь надо выбрать, может помочь опыт решения подобных задач.

Задача. При каких значениях параметра a система имеет больше двух решений?

    \[\begin{Bmatrix}{y^2-2xy+4y-x^4-2x^3+4x^2=0}\\{y -ax+3a-1=0}\end{matrix}\]

Рассмотрим первое уравнение системы. Его можно рассматривать как квадратное относительно y:

    \[y^2-(2x-4)y-x^2(x^2+2x-4)=0\]

Теперь, когда уравнение записано в такой форме, хорошо видно, что удобно применить теорему Виета. Тогда сумма корней – 2x-4, а произведение – -x^2(x^2+2x-4).

Тогда получили систему:

    \[\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{y=-x^2}\\{y= x^2+2x-4}}\end{matrix}\\{y =a(x-3)+1}\end{matrix}\]

Получили две параболы и прямую, которая меняет свой угол наклона, или еще говорят – пучок прямых. Центр нашего пучка находится в точке (3; 1).

Пучок прямых

Теперь предстоит исследовать эту систему, вращая нашу прямую. Начнем с положения прямой, показанного на рисунке.

Рисунок 1.

При таком положении прямой имеем касание и 2 пересечения, то есть три решения. Определим положение прямой в такой ситуации.

    \[-x^2= a(x-3)+1\]

При касании такое уравнение должно иметь один корень, то есть D=0:

    \[x^2+ ax-3a+1=0\]

    \[D=a^2-4(1-3a)=a^2+12a-4=0\]

В свою очередь, дискриминант этого уравнения:

    \[D=144+16=160\]

    \[a=\frac{-12 \pm \sqrt{160}}{2}=-6 \pm 2\sqrt{10}\]

Корень a=-6 + 2\sqrt{10} соответствует рисунку, когда касание происходит вблизи вершины. Если начнем увеличивать коэффициент наклона из этого положения, то скоро придем к положению прямой, показанному на рисунке 2.

Рисунок 2.

При этом a=1, и прямая пересекает систему двух парабол ровно в двух точках, то есть нас устраивают значения параметра a \in [-6 + 2\sqrt{10};1).

Увеличивая далее коэффициент наклона, будем все время иметь три корня, до положения, когда прямая будет касаться параболы y= x^2+2x-4.

Рисунок 3.

Определим значение параметра при касании:

    \[x^2+2x-4= a(x-3)+1\]

    \[x^2+2x-4- a(x-3)-1=0\]

    \[x^2+x(2-a)+3a-5=0\]

При касании такое уравнение должно иметь один корень, то есть D=0:

    \[D=(2-a)^2-4\cdot(3a-5)=4-4a+a^2-12a+20=0\]

    \[a^2-16a+24=0\]

    \[D=256-4\cdot24=160\]

    \[a=\frac{16 \pm \sqrt{160}}{2}=8 \pm 2\sqrt{10}\]

Итак, второй промежуток устраивающих нас положений прямой, и, следовательно, значений параметра – a \in (1; 8 - 2\sqrt{10}].

Вращаем прямую дальше, и видим, что решений два вплоть до момента, когда наша прямая коснется правой ветви параболы y= x^2+2x-4 вверху. После этого касания, которому соответствует значение параметра a=8 + 2\sqrt{10}, снова будем иметь три решения: a \in [8 + 2\sqrt{10};+\infty).

Из положения прямой, когда a=+\infty, «перешагнем» к положению a=-\infty. Такое значение параметра нас устраивает вплоть до a = -6 - 2\sqrt{10}, когда прямая коснется параболы y=-x^2 справа. Тогда еще один интервал, который мы возьмем в решение – a \in (-\infty; -6 - 2\sqrt{10}].

Записываем ответ: a \in (-\infty; -6 - 2\sqrt{10}] \cup [-6 + 2\sqrt{10};1) \cup (1; 8 - 2\sqrt{10}] \cup [8 + 2\sqrt{10};+\infty).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *