Система из двух зеркал

[latexpage]

В этой статье мы научимся строить изображения в системе из двух зеркал. Надо понимать, что предмет не обязательно должен находиться непосредственно перед зеркалом, чтобы можно было увидеть его изображение. Ведь часто мы видим, находясь в одной из комнат, что происходит в другой в зеркале, которое находится в коридоре. То есть, чтобы увидеть предмет в зеркале, нужно, чтобы предмет находился по отношению к зеркалу под таким же углом, каков угол падающего луча (взгляда).

Задача. Постройте изображение точечного источника света в двух плоских зеркалах, если угол между ними равен $120^{\circ}$, $90^{\circ}$, $72^{\circ}$, $60^{\circ}$, $45^{\circ}$. Сколько изображений получается?
Сначала построим изображения в системе двух зеркал, расположенных под углом $120^{\circ}$. Пусть источник света располагается так, как показано на рисунке. Тогда в зеркале $A$ мы получим его изображение на таком же расстоянии за зеркалом, на каком перед зеркалом располагается сам источник, и точно так же получим изображение в зеркале $B$:

Рисунок 1

То есть всего изображений будет два. Большее количество изображений не получится, так как изображение зеркала $A$ в зеркале $B$ и изображение зеркала $B$ в зеркале $A$ совпадут – это показано серой линией.

Теперь расположим зеркала под углом $90^{\circ}$. Опять на линиях, перпендикулярных зеркалам, получим изображения источника. Но также мы сможем увидеть изображения самих зеркал $A$ и $B$ (показано серым – $C$ и $D$. Строим изображения зеркал симметрично: под каким углом зеркало $B$ расположено к зеркалу $A$ – под таким же будет расположено и его изображение). А в изображениях зеркал сможем увидеть вторичное изображение источника – это изображение изображения (желтым).  То есть всего изображений будет три.

Рисунок 2

Теперь расположим зеркала под углом $72^{\circ}$, и опять получаем изображения источника в зеркалах (первичные изображения в зеркалах $A$ и $B$ – желтым). Также под углами, равными  $72^{\circ}$, получатся изображения самих зеркал: изображение $C$ зеркала $A$, и изображение $D$ зеркала $B$.

Рисунок 3

В этих отраженных зеркалах мы получим изображения изображений – вторичные изображения источника (зеленым). Всего получаем пять изображений.

Следующая задача – построить систему изображений источника в зеркалах, между которыми $60^{\circ}$. Под углами $60^{\circ}$ получим изображения зеркал $A$ и $B$ – показаны светло-серым цветом.  В этих изображениях зеркал мы получим вторичные изображения зеркал – показаны темно-серым цветом. Желтым показаны первичные изображения источника в самих зеркалах $A$ и $B$. Зеленым – вторичные изображения, изображения изображений источника. Наконец, синим показано изображение вторичного изображения.

Рисунок 4

Наконец, последнее построение: между зеркалами $45^{\circ}$. На рисунке показано, как были получены первичные, вторичные, третичные и, наконец, изображение четвертого порядка. ($C$ – изображение зеркала $A$ в $B$, $D$ – изображение зеркала $B$ в $A$, $F$ – изображение $C$ в $A$,  $E$ – изображение $D$ в $B$, $G$ – изображение $C$ в $E$, $H$ – изображение $D$ в $F$. Получилось 7 изображений.

Рисунок 5

Вообще количество изображений можно рассчитать по формуле:

$$N=\frac{360^{\circ}}{\alpha}-1$$

Например, при угле между зеркалами $\alpha=45^{\circ}$ получаем:

$$N=\frac{360^{\circ}}{45^{\circ}}-1=7$$