Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила упругости

Силы упругости: пружины, канаты и нити

В задачах в этой статьи рассмотрены случаи, когда тело поднимают или опускают с ускорением. При этом натяжение нити, на которой подвешен груз, разное. Даны примеры составления уравнений по второму закону Ньютона в проекциях на оси.

Задача 1. Грузовик взял на буксир легковой автомобиль массой m=2 т и, двигаясь равноускоренно, за t=50 с проехал s=400 м. На сколько при этом удлиняется трос, соединяющий автомобили, если его жесткость k=2\cdot 10^6 Н/м? Трение не учитывать.

Удлинение троса можно найти, зная силу упругости:

    \[F_{upr}=k \Delta x\]

    \[\Delta x=\frac{ F_{upr}}{ k }\]

Так как трение учитывать не нужно, то по второму закону Ньютона

    \[ma= F_{upr}\]

Следовательно,

    \[\Delta x=\frac{ ma }{ k }\]

Определим ускорение грузовика:

    \[S=\frac{at^2}{2}\]

    \[a=\frac{2S}{t^2}\]

Окончательно для удлинения троса получаем:

    \[\Delta x=\frac{ 2mS }{ k t^2}=\frac{ 2\cdot2000\cdot800 }{ 2\cdot 10^6\cdot2500}=6,4\cdot10^{-4}\]

Ответ получен в метрах, можно записать его в мм: 0,64 мм.

 

Задача 2. На нити, выдерживающей натяжение T=20 Н, поднимают груз массой m=1 кг из состояния покоя вертикально вверх. Считая движение равноускоренным, найти предельную высоту h, на которую можно поднять груз за t=1 с так, чтобы нить не оборвалась.

К задаче 2

Запишем второй закон Ньютона в проекция на вертикальную ось:

    \[ma=-mg+T\]

Тогда ускорение равно:

    \[a=\frac{T}{m}-g\]

Высота, на которую тело можно поднять с таким ускорением, равна

    \[h=\frac{at^2}{2}=\left(\frac{T}{m}-g\right) \frac{t^2}{2}=(20-10)\frac{1}{2}=5\]

Ответ: 5 м

 

Задача 3. Веревка выдерживает груз массой m_1=110 кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой m_2=690 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза m, который можно поднимать или опускать на этой веревке с постоянной скоростью?

К задаче 3

Запишем уравнения по второму закону как для подъема, так и для спуска тела. Направим ось вверх, тогда при подъеме:

    \[m_1a=T-m_1g\]

При спуске:

    \[m_2a=m_2g-T\]

Ускорение по условию одно и то же, тогда:

    \[a=\frac{ T-m_1g }{ m_1}\]

Или

    \[a=\frac{ m_2g-T}{ m_2}\]

Приравняв, можем найти силу натяжения веревки, которую она выдерживает:

    \[\frac{ T-m_1g }{ m_1}=\frac{ m_2g-T}{ m_2}\]

    \[( T-m_1g ) m_2=( m_2g-T) m_1\]

    \[T m_2+Tm_1= 2gm_1 m_2\]

    \[T =  \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}\]

Если бы груз массой M просто висел на такой веревке, то мы бы записали

    \[T=Mg\]

Следовательно,

    \[T =  \frac{2gm_1 m_2}{ m_2+m_1}= Mg\]

    \[M=\frac{2m_1 m_2}{ m_2+m_1}=\frac{2\cdot110 \cdot 690}{ 110+690}=189,75\]

Ответ: 190 кг

Задача 4. Груз массой m=1 кг подвешен к пружине жесткостью k=98 Н/м. Длина пружины в нерастянутом состоянии l_0=0,2 м. Найти длину пружины l_1, когда на ней висит груз. Какой будет длина пружины, если пружина с грузом будет находиться в лифте, движущемся с ускорением a=4,9 м/с^2, направленным а) вверх; б) вниз?

К задаче 4

Если груз повешен на пружину, ее длина увеличивается:

    \[l_1=l_0+\Delta x=l_0+\frac{ F_{upr}}{ k }=l_0+\frac{ mg}{ k }=0,2+\frac{9,8}{98}=0,3\]

При движении лифта вверх запишем второй закон (ось направлена вверх):

    \[ma= F_{upr1}-mg\]

    \[F_{upr1}=m(g+a)\]

Тогда длина пружины в этом случае:

    \[l_2=l_0+\frac{ F_{upr1}}{ k }=l_0+\frac{ m(g+a)}{ k }=0,2+\frac{9,8+4,9}{98}=0,35\]

При движении лифта вниз запишем второй закон (ось направлена вверх):

    \[-ma= F_{upr2}-mg\]

    \[F_{upr2}=m(g-a)\]

Тогда длина пружины в этом случае:

    \[l_3=l_0+\frac{ F_{upr2}}{ k }=l_0+\frac{ m(g-a)}{ k }=0,2+\frac{9,8-4,9}{98}=0,25\]

Ответ: l_1=0,3, l_2=0,35, l_3=0,25.

 

Задача 5. Четырьмя натянутыми нитями груз закреплен на тележке. Силы натяжения горизонтальных нитей соответственно T_1 и T_2, а вертикальных – T_3 и T_4. С каким ускорением движется тележка по горизонтальной плоскости?

К задаче 5

Запишем уравнения по второму закону в проекциях на оси, которые расположим традиционно: ось x вправо, ось y – вверх. Тогда, если тележка движется вправо, по оси, имеем:

    \[ma=T_2-T_1\]

    \[T_4-T_3-mg=0\]

Из второго уравнения найдем массу груза:

    \[mg= T_4-T_3\]

    \[m=\frac{ T_4-T_3}{g}\]

Тогда ускорение тележки (и груза) равно:

    \[a=\frac{ T_2-T_1}{m}\]

    \[a=\frac{ g(T_2-T_1}{ T_4-T_3}\]

Если же тележка движется влево (против оси), то изменится только первое уравнение:

    \[-ma=T_2-T_1\]

    \[T_4-T_3-mg=0\]

Тогда ускорение тележки (и груза) равно:

    \[a=\frac{ T_1-T_2}{m}=\frac{ g(T_1-T_2}{ T_4-T_3}\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *