Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика

Сила, зависящая от скорости

В этих задачах непременно понадобится суммирование. Его могут применять и старшеклассники, и девятиклассники, которые интегрирования еще не знают.

Задача 1. Находящийся на гладкой горизонтальной поверхности шарик привязан нитью к тонкой неподвижной оси. Его толкнули вдоль поверхности и он стал двигаться по окружности. При этом сила сопротивления воздуха, действующая на шарик, направлена против его скорости и пропорциональна ей. Ускорение шарика в некоторый момент направлено под некоторым углом \alpha к нити. На какой угол \varphi повернется нить с этого момента времени до остановки шарика?

К задаче 1

Решение.

По второму закону Ньютона

    \[T=ma\cos \alpha\]

    \[F_c=ma\sin \alpha\]

Для второго закона

Разделим уравнения

    \[\operatorname{ctg}\alpha=\frac{T}{ F_c }\]

Для нормального ускорения

    \[T=ma_n=\frac{m\upsilon^2}{R}\]

А сила сопротивления зависит от скорости:

    \[F_c=-k\upsilon\]

Тогда

    \[\operatorname{ctg}\alpha=\frac{m\upsilon }{ kR }\]

Для тангенциального ускорения

    \[-k\upsilon=ma_{\tau}\]

    \[-k\upsilon=m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t }\]

    \[-k\upsilon\Delta t =m \Delta \upsilon\]

Для разных малых отрезков запишем

    \[-k\upsilon\Delta t_1 =m( \upsilon_{k1}-\upsilon_0)\]

    \[-k\upsilon\Delta t_2 =m( \upsilon_{k2}-\upsilon_{k1})\]

    \[\ldots\]

    \[-k\upsilon\Delta t_n =m( 0-\upsilon_{k(n-1)})\]

Суммируем по перемещению (ведь  \upsilon\Delta t– это малое перемещение).

    \[-k(\Delta S_1+\Delta S_2+\ldots+\Delta S_n)=m(0-\upsilon_0)\]

    \[k \cdot S=m\upsilon_0\]

Но угол \varphi можно записать как

    \[\varphi=\frac{S}{R}\]

Тогда

    \[S=\frac{ m\upsilon_0}{k}=R\operatorname{ctg}\alpha\]

    \[\varphi=\frac{ R\operatorname{ctg}\alpha }{R}= \operatorname{ctg}\alpha\]

Ответ: \varphi=\operatorname{ctg}\alpha.

Задача 2. Тело брошено под углом к горизонту с высокого обрыва. Из-за сопротивления воздуха время подъема тела до наибольшей высоты и и время падения до точки A, находящейся на линии горизонта, которая проходит через точку O старта, отличаются на \tau. В той же точке A горизонтальная составляющая скорости тела равна \upsilon_g, а вертикальная составляющая на \Delta \upsilon меньше вертикальной составляющей скорости в точке O старта. На какую высоту H от линии горизонта поднялось тело, если наибольшее удаление его по горизонтали от точки A за время полета составило \Delta L_0? Сила сопротивления движению тела в воздухе прямо пропорциональна его скорости.

К задаче 2

Решение. Нам известно, что t_1<t_2. Также, что \tau=t_2-t_1. Когда шарик движется вверх, то сила сопротивления направлена вниз.

    \[-mg-k\upsilon_y=m\frac{\Delta \upsilon_y}{\Delta t}\]

Домножаем на \Delta t,

    \[-mg\Delta t -k\upsilon_y\Delta t =m \Delta \upsilon_y\]

Суммирование даст

    \[-mg t_1 -kH =-m \upsilon_{0y}\]

    \[mg t_1 +kH =m \upsilon_{0y}~~~~~~~~~~~~~(1)\]

При движении шарика вниз сила сопротивления направлена вверх.

    \[-mg-k\upsilon_y=m\frac{\Delta \upsilon_y}{\Delta t}\]

Домножаем на \Delta t,

    \[-mg\Delta t -k\upsilon_y\Delta t =m \Delta \upsilon_y\]

Суммирование даст

    \[-mg t_2 +kH =m (\upsilon_{ky}-\upsilon_{0y})\]

    \[mg t_2 -kH =m \upsilon_{ky}~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Вычитаем (2) из (1)

    \[-mg \tau+2kH=m\Delta \upsilon\]

    \[H=\frac{\Delta \upsilon+g\tau}{2\frac{k}{m}}\]

Мы еще не использовали условие про L_0. По оси x

    \[-k\upsilon_x=m\frac{\Delta \upsilon_x}{\Delta t}\]

    \[-k\upsilon_x\Delta t =m \Delta \upsilon_x\]

Суммируем:

    \[-k\Delta L_0=m(0-\upsilon_g)\]

    \[k\Delta L_0=m\upsilon_g\]

    \[\frac{k}{m}=\frac{\upsilon_g }{\Delta L_0}\]

Тогда

    \[H=\frac{\Delta \upsilon+g\tau}{2\frac{\upsilon_g }{\Delta L_0}}\]

    \[H=\frac{\Delta L_0}{2}\cdot \frac{\Delta \upsilon+g\tau }{\upsilon_g }\]

Ответ: H=\frac{\Delta L_0}{2}\cdot \frac{\Delta \upsilon+g\tau }{\upsilon_g }

Задача 3. В архивах экспериментатора Глюка нашли график изменения со временем проекции на вертикальную ось скорости шарика, выпущенного из пневматического пистолета вертикально вверх с балкона 16 этажа. Масштаб на оси скорости со временем выцвел, а на оси времени частично сохранился. Определите начальную скорость шарика и скорость, с которой шарик упал на землю. Ветра в день эксперимента не было.

К задаче 3

Решение. В точке, где график пересекает ось времени, сила сопротивления равна 0, так как там равна нулю скорость. В этой точке

    \[ma=mg\]

    \[a=g\]

Касательная

Так как касательная отсекает 4 клетки на оси скорости (будем считать величину одной клетки \tilde{\upsilon}), то

    \[a=\frac{4\tilde{\upsilon}}{2}=g\]

    \[\tilde{\upsilon}=\frac{g}{2}=5\]

    \[\upsilon_0=7\tilde{\upsilon}=35\]

Конечная скорость равна (по графику точка А)

    \[\upsilon_k=4\tilde{\upsilon}=20\]

Ответ: начальная скорость 35 м/с, конечная 20 м/с.

Задача 4. Заряженная частица попадает в среду, где на нее действует сила сопротивления, пропорциональная скорости. До полной остановки частица проходит путь 10 см. При наличии магнитного поля, перпендикулярного скорости частицы, она при той же начальной скорости останавливается на расстоянии l_1=6 см от точки входа в среду. На каком расстоянии l_2 от точки входа в среду остановилась бы частица, если поле было бы в два раза меньше?

Решение. Записываем уравнение по второму закону:

    \[-k\upsilon=m\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]

    \[-k\upsilon\Delta t =m\Delta \upsilon\]

Суммируем:

    \[-kS =m(0-\upsilon_0)\]

    \[kS =m\upsilon_0\]

Теперь включаем поле (частица начинает движение по спирали и смещается по обеим осям): пишем уравнение по второму закону:

    \[ma_n=F_L\]

    \[\frac{m\upsilon^2}{R}=Bq\upsilon\]

    \[R=\frac{m\upsilon}{qB}\]

Но

    \[m\vec{a}=\vec{F_L}+\vec{F_c}\]

В данном случае очень удобно найти силу Лоренца как векторное произведение:

    \[F_L=q\begin{vmatrix} i & j &k\\ \upsilon_x & \upsilon_y & \upsilon_z\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}=q\begin{vmatrix} i & j &k\\ \upsilon_x & \upsilon_y & 0\\ 0 & 0 & B_z \end{vmatrix}\]

    \[F_{Lx}=q\upsilon_y B_z\]

    \[F_{Ly}=-q\upsilon_x B_z\]

Тогда по оси x

    \[m\frac{\Delta \upsilon_x}{\Delta t}= q\upsilon_y B_z-k\upsilon_x\]

    \[m \Delta \upsilon_x= q\upsilon_y B_z\Delta t -k\upsilon_x\Delta t\]

По оси y

    \[m\frac{\Delta \upsilon_y}{\Delta t}=- q\upsilon_x B_z-k\upsilon_y\]

    \[m \Delta \upsilon_y=- q\upsilon_x B_z\Delta t -k\upsilon_y\Delta t\]

Суммируем:

    \[m(0-\upsilon_0)=q l_y B_z-kl_x\]

    \[0=-ql_x B_z-kl_y\]

Выражаем l_y

    \[l_y=-\frac{qB_z}{k}l_x\]

    \[l_y=-\alpha l_x\]

    \[\alpha=\frac{q B_z}{k}\]

Подставляем:

    \[-m\upsilon_0=-q B_z\alpha l_x -kl_x\]

    \[l_x=\frac{ m\upsilon_0}{k+qB_z\alpha}=\frac{ m\upsilon_0}{k(1+\alpha^2)}=\frac{S}{1+\alpha^2}\]

    \[l_y=-\frac{\alpha S}{1+\alpha^2}\]

    \[l=\sqrt{l_x^2+\l_y^2}=\frac{S}{1+\alpha^2}\sqrt{1+\alpha^2}=\frac{S}{\sqrt{1+\alpha^2}}\]

Тогда

    \[l_1=\frac{S}{\sqrt{1+\alpha^2}}\]

    \[l_2=\frac{S}{\sqrt{1+\frac{\alpha^2}{4}}}\]

    \[\sqrt{1+\alpha^2}=\frac{S}{l_1}\]

    \[\alpha^2=\frac{S^2}{l_1^2}-1\]

    \[l_2=\frac{S}{\sqrt{1+\frac{S^2}{4l_1^2}-\frac{1}{4}}}=\frac{2S}{\sqrt{3-\frac{S^2}{l_1^2}}}\]

Ответ: l_2=\frac{2S}{\sqrt{3-\frac{S^2}{l_1^2}}}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *