Сила упругости

[latexpage]

Продолжаем готовиться к олимпиадам. Сегодняшние задачи – на силу упругости.

Задача 1. На столе стоят пружинные весы, на весах – цилиндрический сосуд с водой. Когда в сосуд долили некоторое количество воды, свободная поверхность воды в сосуде осталась относительно стола на прежнем уровне. Определите жесткость $k$ пружинных весов. Внутренняя площадь сосуда $S=10$ см$^2$. Ответ дать в Н/м. $g=10$ м/c $ ^{2}$.

К задаче 1

Решение.

Для нового равновесия необходимо, чтобы добавочная сила упругости уравновесила добавочную силу тяжести. Так как уровень добавленной воды равен добавочной деформации пружины $x$, то $Sx\rho g=kx$, откуда $k=S\rho g=10$ Н/м.

Ответ: 10 Н/м.

Задача 2. При проведении эксперимента ученик исследовал зависимость модуля силы упругости пружины от длины пружины, которая выражается формулой $F(L)=k|L-L_0|$, где $L_0$ — длина недеформированной пружины. График полученной зависимости приведен на рисунке. Какое(-ие) из утверждений соответствует(-ют) результатам опыта?

А. Длина пружины в недеформированном состоянии равна 3 см.

Б. Жесткость пружины равна 200 Н/м.

К задаче 2

1. только А)
2. только Б)
3. А) и Б)
4. ни А) ни Б)

Решение.

Из графика видно, что модуль силы упругости обращается в ноль при $L=3=L_0$ см. Определим из графика жесткость пружины. Для этого рассмотрим, например, точку $L=5$ см: $k=\frac{F(0,05)}{0,05-0,03}=200$ Н/м. Таким образом, верны оба утверждения.

Ответ: 3.

Задача 3. Массивное тело тянут по гладкому горизонтальному столу двумя последовательно соединенными пружинами, жесткость которых равна $k_1=100$ Н/м и $k_2=30$ Н/м . Найти суммарное удлинение пружин, если приложенная сила равна $F=3$ Н. Ответ дать в сантиметрах.

Решение.

Эквивалентная жесткость двух последовательно соединенных пружин может быть найдена по формуле:

$$k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}.$$

(Вывод формулы смотри здесь, задача 6)

Тогда суммарное удлинение

$$\Delta=\frac{F}{k}=F\frac{k_1+k_2}{k_1k_2}=13.$$

Ответ: 13 см.

Задача 4. Два шара с массами $M$ и $m$ соединены нитью и подвешены к пружине, как показано на рисунке. Если перерезать нить в случае а), то шар $M$ начнет движение с ускорением $a_1=5$ м/$c^{2}$. Каково будет ускорение шара $m$, если перерезать нить в случае б)? Ответ дать в м/с$^2$. $g=10$ м/$c^{2}$.

К задаче 4

Решение.

До перерезания нити второй закон Ньютона для системы шаров в обоих случаях будет иметь вид: $0=F-(M+m)g$, где $F$ – сила упругости пружины. Для изменения силы упругости необходимо, чтобы изменилась длина пружины. Длина пружины изменится, если груз сместится, а на это требуется некоторое время.  Поэтому сразу после перерезания нити можно считать, что сила упругости пружины измениться не успеет. Поэтому сразу после перерезания второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вверх, будет для обоих случаев иметь вид:

а) $Ma_1=F-Mg$ и

б) $ma_2=F-mg.$

Решая систему, получим: $a_2=\frac{g^2}{a_1}=20$ м/с$^2.$

Ответ: 20 м/с$^2$.

Задача 5. На графике представлены результаты измерения длины пружины при различных значениях массы грузов, лежащих в чашке пружинных весов. С учетом погрешностей измерений $\Delta m=\pm 1$ г, $\Delta l=\pm 0,2$ см. Из приведенных ответов выберите тот, в котором указана длина пружины в ненагруженном состоянии.

К задаче 5

а)  1 см

б)  2 см

в)  2,5 см

г)  3 см

Решение.

Согласно второму закону Ньютона, для груза на пружине имеем $k(l-l_0)=mg$, где $l_0$ — длина нерастянутой пружины. Перепишем это выражение в следующем виде: $l=l_0+\frac{g}{k}m$. Следовательно, длина пружины линейно зависит от массы груза. Аппроксимируем результаты измерений с учетом погрешностей линейной зависимостью. Пересечение получившейся прямой с вертикальной осью дает приблизительное значение длины нерастянутой пружины. Из рисунка имеем, $l\approx 2$ см.

К задаче 5

Ответ: б).