Сила упругости. Закон Гука

Закон Гука: Ut tensio sic vis – каково растяжение, такова и сила. Закон выражает зависимость между размерами малых деформаций тел и силами или силой, вызывающей данные деформации. Его можно записать так: [pmath]F=k*delim{|}{x}{|}[/pmath]. Здесь [pmath]F[/pmath] – сила, воздействующая на тело, она может как сжимать тело, так и растягивать его, [pmath]k[/pmath] – жесткость материала – коэффициент, разный для разных материалов. Чем он больше, тем жестче материал и его труднее сжать или растянуть. [pmath]delim{|}{x}{|}[/pmath] – это удлинение. Вообще в формуле присутствует знак “минус”: [pmath]F=-k*x[/pmath]. Он свидетельствует о том, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Также закон Гука можно записать и в другой форме: [pmath]{sigma}=E{varepsilon}[/pmath][pmath][/pmath]. В этой форме закона Гука [pmath]{sigma}{}[/pmath]- нормальное напряжение в поперечном сечении (нормальное – значит, перпендикулярное срезу) – это, по сути, плотность силы: [pmath]{sigma}=F/S[/pmath] (S  – площадь среза, или поперечного сечения). Е – коэффициент, называемый Модулем Юнга – его можно определить по справочнику для разных материалов, [pmath]{varepsilon}{}[/pmath] – относительное удлинение, [pmath]{varepsilon}={Delta{x}}/x[/pmath][pmath][/pmath].

Задачи.

1. На сколько удлинится рыболовная леска жесткостью 0,3 кН/м при поднятии вверх рыбы весом 300 г?

Сначала определим силу, которая возникает, когда мы что-то поднимаем. Это, конечно, сила тяжести. Если принять ускорение свободного падения равным 10 м/с*с, то модуль силы тяжести равен (не забываем массу представить в единицах СИ – килограммах): [pmath]F=mg=0,3*10=3[/pmath] Н. Тогда по закону Гука определим модуль удлинения лески: [pmath]F=k*delim{|}{x}{|}[/pmath]

Выражаем модуль удлинения: [pmath]delim{|}{x}{|}=F/k[/pmath]

Подставим числа, жесткость лески при этом выражаем в Ньютонах: [pmath]delim{|}{x}{|}=3/{0,3*10^3}=10^{-2}=0,01[/pmath] м, или 1 см.

Ответ: 1 см.

2. На рисунке представлены графики зависимости удлинения от модуля приложенной силы для стальной 1 и медной 2 проволок равной длины и диаметра. Сравнить жесткости проволок.

Задача 2

На рисунке видно, что при воздействии одной и той же силы F удлинение  стальной проволоки вдвое меньше, чем медной. Значит, стальную растянуть вдвое труднее – или ее жесткость вдвое больше.

3. Найти удлинение буксирного троса жесткостью 100 кН/м при буксировке автомобиля массой 2 тонны с ускорением 0,5 м/с*с. Трением пренебречь.

В этой задаче также сначала определим силу. Силу, которая действует на конец троса со стороны буксируемого автомобиля, можно определить по второму закону Ньютона: ведь ускорение, с которым двигается тело, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела, в данном случае выражение записано для модуля силы: [pmath]F=ma[/pmath]. Выразив массу машины в килограммах, определим этот модуль силы: [pmath]F=2000*0,5=1000[/pmath] Н. Тогда модуль удлинения троса [pmath]delim{|}{x}{|}=F/k[/pmath], вычисляем:

[pmath]delim{|}{x}{|}=10^3/{100*10^3}=1/100[/pmath] м, или 1 см.

Ответ: 1 см.

4. Подвешенное к тросу тело массой 10 кг поднимается вертикально. С каким ускорением движется тело, если трос жесткостью 59 кН/м удлинился на  2 мм?

Это обратная двум предыдущим задача. Здесь сначала мы определим модуль силы упругости:

[pmath]F=k*delim{|}{x}{|}[/pmath], при подстановке важно не забывать применять в расчетах величины, представленные в единицах СИ: [pmath]F=59*10^3*2*10^{-3}=118[/pmath].

Зная силу, можно определить и ускорение (модуль ускорения): для этого воспользуемся вторым законом Ньютона: [pmath]F-mg=ma[/pmath],откуда [pmath]a=F/m-g=118/10-10=11,8-10=1,8[/pmath]

Таким образом, получили ответ: 2 м/c*c

5. С каким максимальным ускорением можно поднимать с помощью веревки тело массой 200 кг, если веревка выдерживает неподвижный груз массой 240 кг?

Веревка выдерживает висящее тело массой 240 кг – а на висящее тело действует сила тяжести, равная [pmath]F=mg=240*10=2400[/pmath] Н (если принять равным 10 ускорение свободного падения). Тогда по второму закону Ньютона [pmath]F-mg=ma[/pmath] такая сила может заставить тело массой 200 кг двигаться с  ускорением:[pmath]a=F/m-g=2400/200-10=2[/pmath].

Ответ: 2 м/c*c

6. Жесткость одной пружины равна [pmath]k_1[/pmath], а другой – [pmath]k_2[/pmath]. Какова жесткость пружины, составленной из этих двух пружин, соединенных последовательно?

Запишем для каждой из пружин закон Гука. Для первой: [pmath]F=k_1*delim{|}{x_1}{|}[/pmath].

Для второй: [pmath]F=k_2*delim{|}{x_2}{|}[/pmath] – иными словами, пружины с разной жесткостью можно растянуть по-разному при воздействии одной и той же силы. Первую можно удлинить так: [pmath]delim{|}{x_1}{|}=F/{k_1}[/pmath], вторую же можно удлинить так: [pmath]delim{|}{x_2}{|}=F/{k_2}[/pmath] Наконец, соединим их и снова будем растягивать с той же силой: [pmath]F=k*delim{|}{x}{|}[/pmath]. Удлинение такой составной пружины сложится из удлинений первой и второй:  [pmath]delim{|}{x_1}{|}+delim{|}{x_2}{|}=F/{k_1}+F/{k_2}=delim{|}{x}{|}[/pmath].

Вынесем за скобку силу:  [pmath]delim{|}{x}{|}=F(1/{k_1}+1/{k_2})[/pmath] и приведем к общему знаменателю сумму в скобках:

[pmath]delim{|}{x}{|}=F({k_1}+{k_2})/{k_1*k_2}[/pmath]

Отсюда [pmath]F=delim{|}{x}{|}*{{k_1}*{k_2}}/{k_1+k_2}[/pmath], а жесткость составной пружины [pmath]k={{k_1}*{k_2}}/{k_1+k_2}[/pmath]

7. Жесткость данного куска проволоки равна k. Чему равна жесткость половины этого куска проволоки?

Эту задачу можно решить, воспользовавшись второй формой закона Гука. Тогда для целой проволоки имеем:  [pmath]{sigma_1}=E{varepsilon_1}[/pmath], а для половины  [pmath]{sigma_2}=E{varepsilon_2}[/pmath].

Так как это одна и та же проволока, то модуль Юнга у обоих кусков одинаков. Также одинаково у обоих кусков и нормальное напряжение: ведь на оба куска воздействуют с одной и той же силой, и сечение также одинаково. Поэтому из закона Гука заключаем, что относительное удлинение также одинаково:  [pmath]{varepsilon_1}={varepsilon_2}[/pmath]. Для целого куска относительное удлинение равно:  [pmath]{varepsilon_1}={Delta{x_1}}/x[/pmath][pmath][/pmath], а для второго куска  [pmath]{varepsilon}={Delta{x_2}}/{{1/2}x}[/pmath][pmath][/pmath]. Приравняем оба выражения, тогда:

[pmath]{Delta{x_1}}/x={Delta{x_2}}/{{1/2}x}[/pmath][pmath][/pmath], или [pmath]{Delta{x_1}}=2{Delta{x_2}}[/pmath][pmath][/pmath].

Теперь вспомним первую форму закона:   [pmath]F=k_1*delim{|}{x_1}{|}=k_2*delim{|}{x_2}{|}[/pmath].
Подставив соотношение относительных удлинений, полученное выше, имеем: [pmath]k_1*2*delim{|}{x_2}{|}=k_2*delim{|}{x_2}{|}[/pmath], или [pmath]k_1*2=k_2[/pmath], то есть жесткость половинки вдвое больше, чем целой проволоки – действительно, чем короче кусок, тем труднее его растянуть.

8. Жесткость пружины равна 50 Н/м. Если с помощью этой пружины равномерно тянуть по полу коробку массой 2 кг, то длина пружины увеличивается с 10 до 15 см. Какова сила упругости в этом случае? Чему равна сила трения коробки о пол?

Удлинение пружины здесь равно 15-10=5 см. Выразим в метрах: 0,05 м. Тогда по закону Гука:  [pmath]F=k*delim{|}{x_1}{|}=50*0,05=2,5[/pmath] Н – силу упругости нашли. Теперь определим силу трения о пол. Какие силы действуют на коробку? 1. Сила тяжести. 2. Сила реакции опоры. 3. Сила, с которой коробку тянут. 4. Сила трения. Так как сила тяжести уравновешена силой реакции опоры, то остались две силы, очевидно, что между ними также равновесие, тогда сила трения равна силе упругости, и равна 2,5Н.

Ответ: 2,5 Н.