Сила упругости. Закон Гука

Закон Гука: Ut tensio sic vis – каково растяжение, такова и сила. Закон выражает зависимость между размерами малых деформаций тел и силами или силой, вызывающей данные деформации. Его можно записать так: . Здесь  – сила, воздействующая на тело, она может как сжимать тело, так и растягивать его,  – жесткость материала – коэффициент, разный для разных материалов. Чем он больше, тем жестче материал и его труднее сжать или растянуть.  – это удлинение. Неспроста мы записали закон Гука, воспользовавшись модулем удлинения – ведь, например, пружину можно сжать или наоборот, растянуть.

Также закон Гука можно записать и в другой форме: . В этой форме закона Гука – нормальное напряжение в поперечном сечении (нормальное – значит, перпендикулярное срезу) – это, по сути, плотность силы:  (S  – площадь среза, или поперечного сечения). Е – коэффициент, называемый Модулем Юнга – его можно определить по справочнику для разных материалов,  – относительное удлинение, .

Задачи.

1. На сколько удлинится рыболовная леска жесткостью 0,3 кН/м при поднятии вверх рыбы весом 300 г?

Сначала определим силу, которая возникает, когда мы что-то поднимаем. Это, конечно, сила тяжести. Если принять ускорение свободного падения равным 10 м/с*с, то модуль силы тяжести равен (не забываем массу представить в единицах СИ – килограммах): Н. Тогда по закону Гука определим модуль удлинения лески: 

Выражаем модуль удлинения: 

Подставим числа, жесткость лески при этом выражаем в Ньютонах:  м, или 1 см.

Ответ: 1 см.

2. На рисунке представлены графики зависимости удлинения от модуля приложенной силы для стальной 1 и медной 2 проволок равной длины и диаметра. Сравнить жесткости проволок.

Задача 2

На рисунке видно, что при воздействии одной и той же силы F удлинение  стальной проволоки вдвое меньше, чем медной. Значит, стальную растянуть вдвое труднее – или ее жесткость вдвое больше.

3. Найти удлинение буксирного троса жесткостью 100 кН/м при буксировке автомобиля массой 2 тонны с ускорением 0,5 м/с*с. Трением пренебречь.

В этой задаче также сначала определим силу. Силу, которая действует на конец троса со стороны буксируемого автомобиля, можно определить по второму закону Ньютона: ведь ускорение, с которым двигается тело, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела, в данном случае выражение записано для модуля силы: . Выразив массу машины в килограммах, определим этот модуль силы:  Н. Тогда модуль удлинения троса , вычисляем:

м, или 1 см.

Ответ: 1 см.

4. Подвешенное к тросу тело массой 10 кг поднимается вертикально. С каким ускорением движется тело, если трос жесткостью 59 кН/м удлинился на  2 мм?

Это обратная двум предыдущим задача. Здесь сначала мы определим модуль силы упругости:

, при подстановке важно не забывать применять в расчетах величины, представленные в единицах СИ: .

Зная силу, можно определить и ускорение (модуль ускорения):,откуда  – это модуль ускорения, куда войдет как модуль ускорения, с которым тело движется вверх, так и модуль ускорения свободного падения. Покажем ускорения на рисунке:

Задача 4

Тогда уравнение для ускорений в векторной форме будет выглядеть так:

Или же, в скалярной форме, . Таким образом, получили ответ: 2 м/c*c

5. С каким максимальным ускорением можно поднимать с помощью веревки тело массой 200 кг, если веревка выдерживает неподвижный груз массой 240 кг?

Веревка выдерживает висящее тело массой 240 кг – а на висящее тело действует сила тяжести, равная  Н (если принять равным 10 ускорение свободного падения). Тогда по второму закону Ньютона такая сила может заставить тело массой 200 кг двигаться с  ускорением:. Пока что все величины, которые мы использовали при расчете, были скалярными. Но вот настало время векторов: тело движется вверх, так как его поднимают, а ускорение свободного падения направлено вниз. И снова нам на помощь придет уже использованный ранее рисунок. Тогда

А в скалярной форме, .

Ответ: 2 м/c*c

6. Жесткость одной пружины равна , а другой – . Какова жесткость пружины, составленной из этих двух пружин, соединенных последовательно?

Запишем для каждой из пружин закон Гука. Для первой: .

Для второй:  – иными словами, пружины с разной жесткостью можно растянуть по-разному при воздействии одной и той же силы. Первую можно удлинить так: , вторую же можно удлинить так:  Наконец, соединим их и снова будем растягивать с той же силой: . Удлинение такой составной пружины сложится из удлинений первой и второй:  .

Вынесем за скобку силу:   и приведем к общему знаменателю сумму в скобках:

Отсюда , а жесткость составной пружины 

7. Жесткость данного куска проволоки равна k. Чему равна жесткость половины этого куска проволоки?

Эту задачу можно решить, воспользовавшись второй формой закона Гука. Тогда для целой проволоки имеем:  , а для половины  .

Так как это одна и та же проволока, то модуль Юнга у обоих кусков одинаков. Также одинаково у обоих кусков и нормальное напряжение: ведь на оба куска воздействуют с одной и той же силой, и сечение также одинаково. Поэтому из закона Гука заключаем, что относительное удлинение также одинаково:  . Для целого куска относительное удлинение равно:  , а для второго куска  . Приравняем оба выражения, тогда:

, или .

Теперь вспомним первую форму закона:   .
Подставив соотношение относительных удлинений, полученное выше, имеем: , или , то есть жесткость половинки вдвое больше, чем целой проволоки – действительно, чем короче кусок, тем труднее его растянуть.

8. Жесткость пружины равна 50 Н/м. Если с помощью этой пружины равномерно тянуть по полу коробку массой 2 кг, то длина пружины увеличивается с 10 до 15 см. Какова сила упругости в этом случае? Чему равна сила трения коробки о пол?

Удлинение пружины здесь равно 15-10=5 см. Выразим в метрах: 0,05 м. Тогда по закону Гука:   Н – силу упругости нашли. Теперь определим силу трения о пол. Какие силы действуют на коробку? 1. Сила тяжести. 2. Сила реакции опоры. 3. Сила, с которой коробку тянут. 4. Сила трения. Так как сила тяжести уравновешена силой реакции опоры, то остались две силы, очевидно, что между ними также равновесие, тогда сила трения равна силе упругости, и равна 2,5Н.

Ответ: 2,5 Н.