Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Динамика

Сила упругости. Закон Гука


Закон Гука: Ut tensio sic vis – каково растяжение, такова и сила. Закон выражает зависимость между размерами малых деформаций тел и силами или силой, вызывающей данные деформации. Его можно записать так: F=k*delim{|}{x}{|}. Здесь F – сила, воздействующая на тело, она может как сжимать тело, так и растягивать его, k – жесткость материала – коэффициент, разный для разных материалов. Чем он больше, тем жестче материал и его труднее сжать или растянуть. delim{|}{x}{|} – это удлинение. Неспроста мы записали закон Гука, воспользовавшись модулем удлинения – ведь, например, пружину можно сжать или наоборот, растянуть.

Также закон Гука можно записать и в другой форме: {sigma}=E{varepsilon}. В этой форме закона Гука {sigma}{}– нормальное напряжение в поперечном сечении (нормальное – значит, перпендикулярное срезу) – это, по сути, плотность силы: {sigma}=F/S (S  – площадь среза, или поперечного сечения). Е – коэффициент, называемый Модулем Юнга – его можно определить по справочнику для разных материалов, {varepsilon}{} – относительное удлинение, {varepsilon}={Delta{x}}/x.

 

Задачи.

1. На сколько удлинится рыболовная леска жесткостью 0,3 кН/м при поднятии вверх рыбы весом 300 г?

Сначала определим силу, которая возникает, когда мы что-то поднимаем. Это, конечно, сила тяжести. Если принять ускорение свободного падения равным 10 м/с*с, то модуль силы тяжести равен (не забываем массу представить в единицах СИ – килограммах): F=mg=0,3*10=3 Н. Тогда по закону Гука определим модуль удлинения лески: F=k*delim{|}{x}{|}

Выражаем модуль удлинения: delim{|}{x}{|}=F/k

Подставим числа, жесткость лески при этом выражаем в Ньютонах: delim{|}{x}{|}=3/{0,3*10^3}=10^{-2}=0,01 м, или 1 см.

Ответ: 1 см.

2. На рисунке представлены графики зависимости удлинения от модуля приложенной силы для стальной 1 и медной 2 проволок равной длины и диаметра. Сравнить жесткости проволок.

Задача 2

На рисунке видно, что при воздействии одной и той же силы F удлинение  стальной проволоки вдвое меньше, чем медной. Значит, стальную растянуть вдвое труднее – или ее жесткость вдвое больше.

3. Найти удлинение буксирного троса жесткостью 100 кН/м при буксировке автомобиля массой 2 тонны с ускорением 0,5 м/с*с. Трением пренебречь.

В этой задаче также сначала определим силу. Силу, которая действует на конец троса со стороны буксируемого автомобиля, можно определить по второму закону Ньютона: ведь ускорение, с которым двигается тело, прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела, в данном случае выражение записано для модуля силы: F=ma. Выразив массу машины в килограммах, определим этот модуль силы: F=2000*0,5=1000 Н. Тогда модуль удлинения троса delim{|}{x}{|}=F/k, вычисляем:

delim{|}{x}{|}=10^3/{100*10^3}=1/100 м, или 1 см.

Ответ: 1 см.

4. Подвешенное к тросу тело массой 10 кг поднимается вертикально. С каким ускорением движется тело, если трос жесткостью 59 кН/м удлинился на  2 мм?

Это обратная двум предыдущим задача. Здесь сначала мы определим модуль силы упругости:

F=k*delim{|}{x}{|}, при подстановке важно не забывать применять в расчетах величины, представленные в единицах СИ: F=59*10^3*2*10^{-3}=118.

Зная силу, можно определить и ускорение (модуль ускорения):F=ma,откуда a=F/m=118/10=11,8 – это модуль ускорения, куда войдет как модуль ускорения, с которым тело движется вверх, так и модуль ускорения свободного падения. Покажем ускорения на рисунке:

Задача 4

Тогда уравнение для ускорений в векторной форме будет выглядеть так:

vec{a_1}=vec{a}+vec{g}

Или же, в скалярной форме, a_1=a-g=11,8-9,8=2. Таким образом, получили ответ: 2 м/c*c

5. С каким максимальным ускорением можно поднимать с помощью веревки тело массой 200 кг, если веревка выдерживает неподвижный груз массой 240 кг?

Веревка выдерживает висящее тело массой 240 кг – а на висящее тело действует сила тяжести, равная F=mg=240*10=2400 Н (если принять равным 10 ускорение свободного падения). Тогда по второму закону Ньютона F=ma такая сила может заставить тело массой 200 кг двигаться с  ускорением:a=F/m=2400/200=12. Пока что все величины, которые мы использовали при расчете, были скалярными. Но вот настало время векторов: тело движется вверх, так как его поднимают, а ускорение свободного падения направлено вниз. И снова нам на помощь придет уже использованный ранее рисунок. Тогда

vec{a_1}=vec{a}+vec{g}

А в скалярной форме, a_1=a-g=12-10=2.

Ответ: 2 м/c*c

6. Жесткость одной пружины равна k_1, а другой – k_2. Какова жесткость пружины, составленной из этих двух пружин, соединенных последовательно?

Запишем для каждой из пружин закон Гука. Для первой: F=k_1*delim{|}{x_1}{|}.

Для второй: F=k_2*delim{|}{x_2}{|} – иными словами, пружины с разной жесткостью можно растянуть по-разному при воздействии одной и той же силы. Первую можно удлинить так: delim{|}{x_1}{|}=F/{k_1}, вторую же можно удлинить так: delim{|}{x_2}{|}=F/{k_2} Наконец, соединим их и снова будем растягивать с той же силой: F=k*delim{|}{x}{|}. Удлинение такой составной пружины сложится из удлинений первой и второй:  delim{|}{x_1}{|}+delim{|}{x_2}{|}=F/{k_1}+F/{k_2}=delim{|}{x}{|}.

Вынесем за скобку силу:  delim{|}{x}{|}=F(1/{k_1}+1/{k_2}) и приведем к общему знаменателю сумму в скобках:

delim{|}{x}{|}=F({k_1}+{k_2})/{k_1*k_2}

Отсюда F=delim{|}{x}{|}*{{k_1}*{k_2}}/{k_1+k_2}, а жесткость составной пружины k={{k_1}*{k_2}}/{k_1+k_2}

 

7. Жесткость данного куска проволоки равна k. Чему равна жесткость половины этого куска проволоки?

Эту задачу можно решить, воспользовавшись второй формой закона Гука. Тогда для целой проволоки имеем:  {sigma_1}=E{varepsilon_1}, а для половины  {sigma_2}=E{varepsilon_2}.

Так как это одна и та же проволока, то модуль Юнга у обоих кусков одинаков. Также одинаково у обоих кусков и нормальное напряжение: ведь на оба куска воздействуют с одной и той же силой, и сечение также одинаково. Поэтому из закона Гука заключаем, что относительное удлинение также одинаково:  {varepsilon_1}={varepsilon_2}. Для целого куска относительное удлинение равно:  {varepsilon_1}={Delta{x_1}}/x, а для второго куска  {varepsilon}={Delta{x_2}}/{{1/2}x}. Приравняем оба выражения, тогда:

{Delta{x_1}}/x={Delta{x_2}}/{{1/2}x}, или {Delta{x_1}}=2{Delta{x_2}}.

Теперь вспомним первую форму закона:   F=k_1*delim{|}{x_1}{|}=k_2*delim{|}{x_2}{|}.
Подставив соотношение относительных удлинений, полученное выше, имеем: k_1*2*delim{|}{x_2}{|}=k_2*delim{|}{x_2}{|}, или k_1*2=k_2, то есть жесткость половинки вдвое больше, чем целой проволоки – действительно, чем короче кусок, тем труднее его растянуть.

8. Жесткость пружины равна 50 Н/м. Если с помощью этой пружины равномерно тянуть по полу коробку массой 2 кг, то длина пружины увеличивается с 10 до 15 см. Какова сила упругости в этом случае? Чему равна сила трения коробки о пол?

Удлинение пружины здесь равно 15-10=5 см. Выразим в метрах: 0,05 м. Тогда по закону Гука:  F=k*delim{|}{x_1}{|}=50*0,05=2,5 Н – силу упругости нашли. Теперь определим силу трения о пол. Какие силы действуют на коробку? 1. Сила тяжести. 2. Сила реакции опоры. 3. Сила, с которой коробку тянут. 4. Сила трения. Так как сила тяжести уравновешена силой реакции опоры, то остались две силы, очевидно, что между ними также равновесие, тогда сила трения равна силе упругости, и равна 2,5Н.

Ответ: 2,5 Н.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *