Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила тяготения

Сила тяготения. Задачи второго уровня.


Всем доброго времени суток! Сегодня на повестке дня задачи на отыскание силы тяготения, скоростей, ускорений и весов тел на различных высотах и на разных планетах: словом, все, что связано с законом всемирного тяготения!

Поскольку задач много, а времени – мало (как обычно), то хочется разобрать не самые простые задачи. Надеюсь, данная подборка задач будет вам интересна, потому что решений этих задач я не нашла в Интернете – и по этой же причине не хочу рассматривать совсем простые задачи, решения которых  в сети легко отыскать.

Начнем, пожалуй.

Задача 1. Два одинаковых  однородных шара, соприкасаясь, притягивают друг друга с силой F. Как изменится сила, если увеличить массу каждого шара в n раз?  Плотность шаров не изменяется.

Два шара

Сила тяготения равна F=G{\frac{m^2}{r^2}} – поэтому неплохо бы узнать радиус шариков. Вспомним формулу объема шара: V=\frac{4}{3} \pi r^3, откуда r^3=\frac{3V}{4\pi }, то есть

    \[r=\sqrt[3]{ \frac{3V}{4\pi } }\]

Масса и объем связаны плотностью вещества:

    \[V=\frac{m}{\rho}\]

Тогда

    \[r=\sqrt[3]{ \frac{3m}{4\pi \rho} }\]

То есть сила тяготения равна

    \[F=G  \frac{m^2}{\left( \frac{3m}{4\pi \rho}\right)^{\frac{2}{3}}}\]

Если масса шаров изменится в n раз при той же плотности, то это означает, что изменятся их радиусы, так как зависимость объема от радиуса шара – прямая:

    \[r_n=\sqrt[3]{ \frac{3mn}{4\pi \rho} }\]

Сила тоже изменится:

    \[F_n=G\frac{m^2n^2}{\left( \frac{3mn}{4\pi \rho}\right)^{\frac{2}{3}}}\]

Найдем теперь отношение сил:

    \[\frac{ F_n }{F}={\frac{ G{\frac{m^2n^2}{\left( \frac{3mn}{4\pi \rho}\right)^{\frac{2}{3}}}}}{ G{\frac{m^2}{ \left(\frac{3m}{4\pi \rho}\right)^{\frac{2}{3}}}}}}\]

    \[\frac{ F_n }{F}=\frac{n^2}{n^{\frac{2}{3}}}=n^{2-\frac{2}{3}}=n^{\frac{4}{3}}\]

Ответ: \frac{ F_n }{F}=n^{\frac{4}{3}}

 

 

 

 

Задача 2. Две точечные массы m_1 и m_2 расположены на расстоянии l друг от друга. Где следует расположить точечную массу M, чтобы сила гравитационного воздействия на нее со стороны масс m_1 и m_2 равнялась 0?

Так как силы в данном случае направлены от первого тела m_1 к телу M (вправо) и от второго тела m_2 к телу M (влево), то есть такое положение массы M, что эти силы станут равны и  друг друга скомпенсируют. Тогда можем записать:

    \[G{\frac{m_1M}{{x_1}^2}}= G{\frac{m_2M}{{x_2}^2}}\]

    \[{\frac{m_1}{{x_1}^2}}= {\frac{m_2}{{x_2}^2}}\]

    \[x_1= \sqrt{\frac{{m_1}{x_2}^2}{m_2}}\]

    \[x_1= {x_2} \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}\]

Расположение масс

Так как x_2=l- {x_1}, то x_1= (l-x_1) \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}

Раскрыв скобки, можем записать x_1(1+\sqrt{\frac{m_1}{m_2}})=l\sqrt{\frac{m_1}{m_2}},

Или

    \[x_1=\frac{ l\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}}{1+\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}}=\frac{l}{1+\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}}\]

Ответ: x_1=\frac{l}{1+\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}}

 

 

Задача 3. Два шарика массами m_1=m_2=\frac{m}{2}, соединенные стержнем пренебрежимо малой массы, образуют гантель. Расстояние между центрами шариков l. Найти силу, действующую на гантель в поле тяжести точечной массы M, находящейся на расстоянии r от середины гантели. r\perp l. Исследовать полученные выражения для силы при r<<l, r>>l, при каком r она максимальна и чему будет равна.

Легкая штанга

Запишем расстояние от каждого из шариков до точечной массы M:

    \[R=\sqrt{r^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2}}\]

Тогда силы взаимного притяжения каждого из шариков и массы М такие:

    \[F_1=F_2=G{\frac{Mm_1}{R^2}}= G{\frac{Mm_1}{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}}\]

Эти силы можно разложить каждую на два составляющих вектора – на вектора, направленные от одного шарика к другому, вдоль гантели (вследствие равенства по длине и противоположного направления они компенсируют друг друга), и перпендикулярные к гантели. Эти две составляющие сонаправлены, поэтому именно их сумма определяет силу взаимодействия.

Определим эти составляющие сил:

    \[F_{perp}=F \cos {\alpha}\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{r}{R}=\frac{r}{\sqrt{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}\]

    \[F_{perp}=F \frac{r}{\sqrt{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}= G{\frac{Mm_1}{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}}\frac{r}{\sqrt{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}\]

Так как эти силы равны, и направлены в одну сторону, сложим их:

    \[F= G{\frac{Mm}{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}}\frac{r}{\sqrt{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}\]

    \[F= G{\frac{rMm}{ \left(r^2+(\frac{l}{2})^2\right)^{\frac{3}{2}}}\]

При условии r<<l пренебрежем величиной r в знаменателе, тогда

    \[F= G{\frac{rMm}{ l^3}}\cdot4^{\frac{3}{2}}=\frac{8GrMm}{ l^3}}\]

При условии r>>l пренебрежем величиной r в знаменателе, тогда

    \[F= \frac{ G rMm}{ r^3}=\frac{GMm}{r^2}\]

Ответ: F= G{\frac{rMm}{ \left(r^2+(\frac{l}{2})^2\right)^{\frac{3}{2}}},  F= \frac{8GrMm}{ l^3}},  F= \frac{GMm}{r^2}

 

 

Задача 4. Три материальные точки массами m_1=6,4 кг, m_2=12,5 кг, m_3=10 кг находятся в точках с радиус-векторами \vec{r_1}=2\vec{i}+\vec{j},  \vec{r_2}=-\vec{i}-7\vec{j}, \vec{r_3}=2\vec{i}-3\vec{j}. Найти гравитационную силу, действующую на частицу, имеющую массу m_3, со стороны частиц с массами m_1 и m_2.

Рассмотрим рисунок. Из него видно, что сила, которую мы ищем – это равнодействующая сил F_1 и F_2 (изображена красным вектором). Найти ее можно как векторную сумму сил F_1 и F_2.

Взаимное влияние точек

Для определения сил тяготения между массами нам понадобится знать расстояния между ними. Определим их, зная радиус-векторы точечных масс, так же, как определяют длину отрезка по координатам его концов. Тогда

    \[r_1=\sqrt{(1-(-3))^2}=4\]

    \[r_2=\sqrt{(-1-2)^2+(-7-(-3))^2}=5\]

Модуль силы F_1 равен:

    \[F_1=G\frac{m_1m_3}{{r_1}^2}\]

Модуль силы F_2 равен:

    \[F_2=G\frac{m_2m_3}{{r_2}^2}\]

Равнодействующая:

    \[\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}\]

Сила F_1 направлена вдоль оси j – так как тела m_1 и m_3 лежат на одной вертикали:

    \[\vec{F_1}={F_1}\vec{j}\]

Силу F_2 возможно разложить на две составляющие, направленные по осям. Разложим силу F_2:

    \[\vec{F_{2i}}=-F_2\cdot \sin{\alpha}\cdot \vec{i}\]

    \[\vec{F_{2j}}=-F_2\cdot \cos{\alpha}\cdot \vec{j}\]

Равнодействующая тогда будет равна:

    \[\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_{2i}}+\vec{F_{2j}}\]

Определим \cos{\alpha} и \sin{\alpha}: так как \vec{r_2}=-3\vec{i}-4\vec{j}, следовательно,

\sin{\alpha}=\frac{3}{5}, а \cos{\alpha}=\frac{4}{5}.

Тогда:

    \[\vec{F}={F_1}\vec{j}+{F_{2i}}\vec{i}}+{F_{2j}}\vec{j}\]

    \[\vec{F}={G\frac{m_1m_3}{{r_1}^2}}\vec{j}-{G\frac{m_2m_3}{{r_2}^2}}{\frac{3}{5}}\vec{i}}-{ G\frac{m_2m_3}{{r_2}^2}}{\frac{4}{5}}\vec{j}\]

Подставляем числа:

    \[\vec{F}=G({\frac{m_1m_3}{{r_1}^2}}\vec{j}-{ \frac{m_2m_3}{{r_2}^2}}{\frac{3}{5}}\vec{i}}-{ \frac{m_2m_3}{{r_2}^2}}{\frac{4}{5}}\vec{j})\]

    \[\vec{F}=G({\frac{64}{{16}}\vec{j}-{ \frac{125}{25}}\cdot{\frac{3}{5}}\vec{i}}-{ \frac{125}{25}}\cdot{\frac{4}{5}}\vec{j})\]

    \[\vec{F}=G(4\vec{j}-3\vec{i}-4\vec{j})=-3G\vec{i}=-3\cdot6,67\cdot10^{-11}\vec{i}\]

    \[\vec{F}=-2\cdot10^{-10}\vec{i}\]

Ответ: \vec{F}=-2\cdot10^{-10}\vec{i}

Задача 5. С какой силой притягивается к центру земли тело массой m, находящееся в глубокой шахте, если расстояние от него до центра земли равно r? Плотность земли считать постоянной и равной \rho.

Здесь надо понимать, что тело будет притягиваться только той частью массы планеты, которая находится «под» ним. Силы, с которыми тело будет притягивать  та часть планеты, что «выше» тела, будут компенсированы силами, с которыми тело будет притягивать та часть планеты, которая «выше» тела, но в противоположном полушарии (на рисунке зеленым и красным цветами показаны силы, которые компенсируют друг друга).

Глубокая шахта

    \[F=G\frac{Mm}{r^2}\]

Здесь M – «внутренняя часть» планеты, та, что «под» телом.

    \[M=\rho V=\rho \cdot {\frac{4\pi r^3}{3}}\]

    \[F=G\frac{4\rho\pi r^3 m}{3r^2}= G\frac{4\rho\pi r m}{3}\]

Ответ: F= G\frac{4\rho\pi r m}{3}

 

Задача 6. Определить максимальную скорость камня, брошенного без начальной скорости в прямой тоннель, прорытый через центр Земли с одной стороны на другую. Вращение Земли не учитывать.

Камень будет лететь равноускоренно, по крайней мере, до центра. Но, так как полет будет все время сокращать расстояние между камнем и центром планеты, то ускорение свободного падения будет все время уменьшаться, пока не станет равным нулю в середине тоннеля. Поэтому для расчета возьмем среднее ускорение: \frac{g}{2}.

Тогда расстояние, которое камень пролетит до центра, равно радиусу Земли – 6400 км.

    \[S=\frac{\frac{g}{2}t^2}{2}=\frac{gt^2}{4}\]

Отсюда t:

    \[t=\sqrt{\frac{4S}{g}}\]

Скорость при равноускоренном движении без начальной скорости:

    \[\upsilon={\frac{g}{2} } t\]

    \[\upsilon={\frac{g}{2} } \sqrt{\frac{4S}{g}}=\sqrt{gS}=\sqrt{10\cdot6400000}=8000\]

Таким образом, скорость, которую приобретет камень, будет равна первой космической скорости, или 8000 м/c^2.

 

Задача 7. Две звезды вращаются вокруг общего центра масс с периодом T  и постоянными по модулю скоростями \upsilon_1 и \upsilon_2. Найти массы звезд и расстояние между ними.

Две звезды

Так как звезды вращаются вокруг одного центра, не обгоняя друг друга, следовательно, у них одна и та же угловая скорость вращения: \omega_1=\omega_2, и, очевидно, один и тот же период обращения: T_1=T_2. Период – время прохождения одного круга. Первая звезда проходит круг длиной 2\pi r_1, а вторая – 2\pi r_2, то есть скорость первой – \upsilon_1=\frac{2\pi r_1}{T}, скорость второй – \upsilon_2=\frac{2\pi r_2}{T}. Ну а расстояния звезд от центра вращения – r_1=\frac {\upsilon_1 T}{2\pi}r_2=\frac {\upsilon_2 T}{2\pi}. Сумма расстояний – это как раз расстояние между звездами:

    \[r=r_1+r_2=\frac {(\upsilon_1+\upsilon_2) T}{2\pi}\]

Чтобы найти массы звезд, используем силу тяготения между ними. Раз система в равновесии, значит, сила тяготения равна центробежной силе. Сила тяготения между звездами:

    \[F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\]

Центростремительное ускорение для первой звезды:

    \[a_1=\frac{{\upsilon_1}^2}{r_1}\]

Центробежная сила:

    \[F_1=m_1\frac{{\upsilon_1}^2}{r_1}\]

Приравниваем силу тяготения и центробежную:

    \[G\frac{m_1m_2}{r^2}= m_1\frac{{\upsilon_1}^2}{r_1}\]

Сокращаем m_1 и «вытаскиваем» массу m_2:

    \[m_2= r^2\frac{{\upsilon_1}^2}{Gr_1}\]

Вместо r_1 подставим r_1=\frac {\upsilon_1 T}{2\pi}, вместо r=r_1+r_2=\frac {(\upsilon_1+\upsilon_2) T}{2\pi}.

Тогда:

    \[m_2=(\upsilon_1+\upsilon_2) ^2\frac{\upsilon_1T}{2 \pi G}\]

Аналогично, приравнивая центробежную силу для звезды массой m_2 и силу тяготения, получим:

    \[G\frac{m_1m_2}{r^2}= m_2\frac{{\upsilon_2}^2}{r_2}\]

Сокращаем m_2 и «вытаскиваем» массу m_1:

    \[m_1= r^2\frac{{\upsilon_2}^2}{Gr_2}\]

Вместо r_2 подставим r_2=\frac {\upsilon_2 T}{2\pi}, вместо r=r_1+r_2=\frac {(\upsilon_1+\upsilon_2) T}{2\pi}.

Тогда:

    \[m_1=(\upsilon_1+\upsilon_2) ^2\frac{\upsilon_2T}{2 \pi G}\]

Ответ: r=\frac {(\upsilon_1+\upsilon_2)T}{2\pi}, m_2=(\upsilon_1+\upsilon_2) ^2\frac{\upsilon_1T}{2\pi G}, m_1=(\upsilon_1+\upsilon_2) ^2\frac{\upsilon_2T}{2 \pi G}.

 

 

Задача 8. Определить силу натяжения троса, связывающего два спутника массой m каждый, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях R_1 и R_2 так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли M.

К задаче 8

Силой тяготения между спутниками пренебрежем. Следовательно, на каждый из них действует сила тяготения земли, сила натяжения троса и центробежная сила. Так как канат всегда направлен радиально (по радиусу), то у спутников одна и та же угловая скорость: \omega_1=\omega_2.

    \[\frac{\upsilon_1}{R_1}=\frac{\upsilon_2}{R_2}\]

Центростремительное ускорение первого спутника: a_1=\frac{(\upsilon_1)^2}{R_1}, второго спутника a_2=\frac{(\upsilon_2)^2}{R_2}.

Центробежная сила, действующая на первый спутник: F_1=\frac{m(\upsilon_1)^2}{R_1}, на второй спутник: F_2=\frac{m(\upsilon_2)^2}{R_2}.

Уравнение по второму закону Ньютона для первого спутника:

    \[F_1=F_{t1}-T\]

Уравнение по второму закону Ньютона для второго спутника:

    \[F_2=F_{t2}+T\]

Здесь F_{t1} и F_{t2} – силы тяготения между спутниками и Землей:

    \[F_{t1}=G\frac{mM}{{R_1}^2}\]

    \[F_{t2}=G\frac{mM}{{R_2}^2}\]

Сложим уравнения, составленные по второму закону Ньютона. Получим:

    \[F_1+ F_2=F_{t1}+ F_{t2}\]

Или:

    \[\frac{m(\upsilon_1)^2}{R_1}+\frac{m(\upsilon_2)^2}{R_2}=mMG\left(\frac{{R_2}^2+{R_1}^2}{{R_1}^2{R_2}^2}}\right)\]

    \[\frac{{\upsilon_1}^2 R_2+{\upsilon_2}^2 R_1}{R_1R_2}=MG\left(\frac{{R_2}^2+{R_1}^2}{{R_1}^2{R_2}^2}}\right)\]

    \[{{\upsilon_1}^2 R_2+{\upsilon_2}^2 R_1=MG\left(\frac{{R_2}^2+{R_1}^2}{{R_1}{R_2}}\right)\]

Так как угловая скорость спутников одна и та же \frac{\upsilon_1}{R_1}=\frac{\upsilon_2}{R_2}, то можно записать, что {\upsilon_1}=\frac{R_1\upsilon_2}{R_2}, а {\upsilon_1}^2=\frac{{R_1}^2{\upsilon_2}^2}{{R_2}^2}

Подставим:

    \[{\frac{{R_1}^2{\upsilon_2}^2}{R_2}}+{\upsilon_2}^2 R_1=MG\left(\frac{{R_2}^2+{R_1}^2}{{R_1}{R_2}}\right)\]

«Вытащим» \upsilon_2:

    \[{\upsilon_2}^2 \left({\frac{{R_1}^2}{R_2}}+ R_1\right)=MG\left(\frac{{R_2}^2+{R_1}^2}{{R_1}{R_2}}\right)\]

    \[{\upsilon_2}^2 \left({\frac{{R_1}^2+ R_1 R_2}{R_2}} \right)=MG\left(\frac{{R_2}^2+{R_1}^2}{{R_1}{R_2}}\right)\]

    \[{\upsilon_2}^2 = MG {\frac{{R_1}^2+ {R_2}^2}{\left({ R_1+R_2}\right){R_1}^2}\]

Определим теперь силу натяжения каната:

    \[T= F_2-F_{t2}=\frac{m(\upsilon_2)^2}{R_2}- G\frac{mM}{{R_2}^2}\]

Подставляем в это выражение квадрат скорости, полученный выше:

    \[T= \frac{mMG}{R_2}\cdot{\frac{{R_1}^2+ {R_2}^2}{\left({ R_1+R_2}\right){R_1}^2}- G\frac{mM}{{R_2}^2}\]

    \[T= \frac{mMG}{R_2}\cdot\left({\frac{{R_1}^2+ {R_2}^2}{\left({ R_1+R_2}\right){R_1}^2}- \frac{1}{R_2}\right)\]

    \[T= \frac{mMG}{R_2}\cdot\left({\frac{({R_1}^2+ {R_2}^2)R_2-\left({ R_1+R_2}\right){R_1}^2} {{R_1}^2R_2(R_2+R_1)} \right)\]

    \[T= {mMG}\cdot{ \frac{\left( {R_2}^3+ {R_1}^2R_2-{R_1}^2R_2-{R_1}^3 \right)} {{R_1}^2{R_2}^2(R_2+R_1)}\]

Или, наконец,

    \[T= {mMG} \cdot {\frac{\left( {R_2}^3-{R_1}^3 \right) }{{R_1}^2{R_2}^2(R_2+R_1)}}\]

Ответ: T= {mMG}\cdot {\frac {\left( {R_2}^3-{R_1}^3 \right)} {{R_1}^2{R_2}^2(R_2+R_1)}}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *