Сила тяготения. Задачи второго уровня.

Всем доброго времени суток! Сегодня на повестке дня задачи на отыскание силы тяготения, скоростей, ускорений и весов тел на различных высотах и на разных планетах: словом, все, что связано с законом всемирного тяготения!

Поскольку задач много, а времени – мало (как обычно), то хочется разобрать не самые простые задачи. Надеюсь, данная подборка задач будет вам интересна, потому что решений этих задач я не нашла в Интернете – и по этой же причине не хочу рассматривать совсем простые задачи, решения которых в сети легко отыскать.

Начнем, пожалуй.

Задача 1. Два одинаковых однородных шара, соприкасаясь, притягивают друг друга с силой $F$ . Как изменится сила, если увеличить массу каждого шара в $n$ раз? Плотность шаров не изменяется.

Два шара

Сила тяготения равна $F=G{\frac{m^2}{r^2}}$ – поэтому неплохо бы узнать радиус шариков. Вспомним формулу объема шара: $V=\frac{4}{3} \pi r^3$ , откуда $r^3=\frac{3V}{4\pi }$ , то есть

$r=\sqrt[3]{ \frac{3V}{4\pi } }$

Масса и объем связаны плотностью вещества:

$V=\frac{m}{\rho}$

Тогда

$r=\sqrt[3]{ \frac{3m}{4\pi \rho} }$

То есть сила тяготения равна

$F=G \frac{m^2}{\left( \frac{3m}{4\pi \rho}\right)^{\frac{2}{3}}}$

Если масса шаров изменится в $n$ раз при той же плотности, то это означает, что изменятся их радиусы, так как зависимость объема от радиуса шара – прямая:

$r_n=\sqrt[3]{ \frac{3mn}{4\pi \rho} }$

Сила тоже изменится:

$F_n=G\frac{m^2n^2}{\left( \frac{3mn}{4\pi \rho}\right)^{\frac{2}{3}}}$

Найдем теперь отношение сил:

$\frac{ F_n }{F}={\frac{ G{\frac{m^2n^2}{\left( \frac{3mn}{4\pi \rho}\right)^{\frac{2}{3}}}}}{ G{\frac{m^2}{ \left(\frac{3m}{4\pi \rho}\right)^{\frac{2}{3}}}}}}$

$\frac{ F_n }{F}=\frac{n^2}{n^{\frac{2}{3}}}=n^{2-\frac{2}{3}}=n^{\frac{4}{3}}$

Ответ: $\frac{ F_n }{F}=n^{\frac{4}{3}}$

Задача 2. Две точечные массы $m_1$ и $m_2$ расположены на расстоянии $l$ друг от друга. Где следует расположить точечную массу $M$ , чтобы сила гравитационного воздействия на нее со стороны масс $m_1$ и $m_2$ равнялась $0$ ?

Так как силы в данном случае направлены от первого тела $m_1$ к телу $M$ (вправо) и от второго тела $m_2$ к телу $M$ (влево), то есть такое положение массы $M$ , что эти силы станут равны и друг друга скомпенсируют. Тогда можем записать:

$G{\frac{m_1M}{{x_1}^2}}= G{\frac{m_2M}{{x_2}^2}}$

${\frac{m_1}{{x_1}^2}}= {\frac{m_2}{{x_2}^2}}$

$x_1= \sqrt{\frac{{m_1}{x_2}^2}{m_2}}$

$x_1= {x_2} \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$

Расположение масс

Так как $x_2=l- {x_1}$ , то $x_1= (l-x_1) \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$

Раскрыв скобки, можем записать $x_1(1+\sqrt{\frac{m_1}{m_2}})=l\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ ,

Или

$x_1=\frac{ l\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}}{1+\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}}=\frac{l}{1+\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}}$

Ответ: $x_1=\frac{l}{1+\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}}$

Задача 3. Два шарика массами $m_1=m_2=\frac{m}{2}$ , соединенные стержнем пренебрежимо малой массы, образуют гантель. Расстояние между центрами шариков $l$ . Найти силу, действующую на гантель в поле тяжести точечной массы $M$ , находящейся на расстоянии $r$ от середины гантели. $r\perp l$ . Исследовать полученные выражения для силы при $r<<l$ , $r>>l$ , при каком $r$ она максимальна и чему будет равна.

Легкая штанга

Запишем расстояние от каждого из шариков до точечной массы $M$ :

$R=\sqrt{r^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2}}$

Тогда силы взаимного притяжения каждого из шариков и массы М такие:

$F_1=F_2=G{\frac{Mm_1}{R^2}}= G{\frac{Mm_1}{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}}$

Эти силы можно разложить каждую на два составляющих вектора – на вектора, направленные от одного шарика к другому, вдоль гантели (вследствие равенства по длине и противоположного направления они компенсируют друг друга), и перпендикулярные к гантели. Эти две составляющие сонаправлены, поэтому именно их сумма определяет силу взаимодействия.

Определим эти составляющие сил:

$F_{perp}=F \cos {\alpha}$

$\cos{\alpha}=\frac{r}{R}=\frac{r}{\sqrt{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}$

$F_{perp}=F \frac{r}{\sqrt{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}= G{\frac{Mm_1}{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}}\frac{r}{\sqrt{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}$

Так как эти силы равны, и направлены в одну сторону, сложим их:

$F= G{\frac{Mm}{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}}\frac{r}{\sqrt{ r^2+(\frac{l}{2})^2}}$

$F= G{\frac{rMm}{ \left(r^2+(\frac{l}{2})^2\right)^{\frac{3}{2}}}$

При условии $r<<l$ пренебрежем величиной $r$ в знаменателе, тогда

$F= G{\frac{rMm}{ l^3}}\cdot4^{\frac{3}{2}}=\frac{8GrMm}{ l^3}}$

При условии $r>>l$ пренебрежем величиной $r$ в знаменателе, тогда

$F= \frac{ G rMm}{ r^3}=\frac{GMm}{r^2}$

Ответ: $F= G{\frac{rMm}{ \left(r^2+(\frac{l}{2})^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ , $F= \frac{8GrMm}{ l^3}}$ , $F= \frac{GMm}{r^2}$

Задача 4. Три материальные точки массами $m_1=6,4$ кг, $m_2=12,5$ кг, $m_3=10$ кг находятся в точках с радиус-векторами $\vec{r_1}=2\vec{i}+\vec{j}$ , $\vec{r_2}=-\vec{i}-7\vec{j}$ , $\vec{r_3}=2\vec{i}-3\vec{j}$ . Найти гравитационную силу, действующую на частицу, имеющую массу $m_3$ , со стороны частиц с массами $m_1$ и $m_2$ .

Рассмотрим рисунок. Из него видно, что сила, которую мы ищем – это равнодействующая сил $F_1$ и $F_2$ (изображена красным вектором). Найти ее можно как векторную сумму сил $F_1$ и $F_2$ .

Взаимное влияние точек

Для определения сил тяготения между массами нам понадобится знать расстояния между ними. Определим их, зная радиус-векторы точечных масс, так же, как определяют длину отрезка по координатам его концов. Тогда

$r_1=\sqrt{(1-(-3))^2}=4$

$r_2=\sqrt{(-1-2)^2+(-7-(-3))^2}=5$

Модуль силы $F_1$ равен:

$F_1=G\frac{m_1m_3}{{r_1}^2}$

Модуль силы $F_2$ равен:

$F_2=G\frac{m_2m_3}{{r_2}^2}$

Равнодействующая:

$\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}$

Сила $F_1$ направлена вдоль оси $j$ – так как тела $m_1$ и $m_3$ лежат на одной вертикали:

$\vec{F_1}={F_1}\vec{j}$

Силу $F_2$ возможно разложить на две составляющие, направленные по осям. Разложим силу $F_2$ :

$\vec{F_{2i}}=-F_2\cdot \sin{\alpha}\cdot \vec{i}$

$\vec{F_{2j}}=-F_2\cdot \cos{\alpha}\cdot \vec{j}$

Равнодействующая тогда будет равна:

$\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_{2i}}+\vec{F_{2j}}$

Определим $\cos{\alpha}$ и $\sin{\alpha}$ : так как $\vec{r_2}=-3\vec{i}-4\vec{j}$ , следовательно,

$\sin{\alpha}=\frac{3}{5}$ , а $\cos{\alpha}=\frac{4}{5}$ .

Тогда:

$\vec{F}={F_1}\vec{j}+{F_{2i}}\vec{i}}+{F_{2j}}\vec{j}$

$\vec{F}={G\frac{m_1m_3}{{r_1}^2}}\vec{j}-{G\frac{m_2m_3}{{r_2}^2}}{\frac{3}{5}}\vec{i}}-{ G\frac{m_2m_3}{{r_2}^2}}{\frac{4}{5}}\vec{j}$

Подставляем числа:

$\vec{F}=G({\frac{m_1m_3}{{r_1}^2}}\vec{j}-{ \frac{m_2m_3}{{r_2}^2}}{\frac{3}{5}}\vec{i}}-{ \frac{m_2m_3}{{r_2}^2}}{\frac{4}{5}}\vec{j})$

$\vec{F}=G({\frac{64}{{16}}\vec{j}-{ \frac{125}{25}}\cdot{\frac{3}{5}}\vec{i}}-{ \frac{125}{25}}\cdot{\frac{4}{5}}\vec{j})$

$\vec{F}=G(4\vec{j}-3\vec{i}-4\vec{j})=-3G\vec{i}=-3\cdot6,67\cdot10^{-11}\vec{i}$

$\vec{F}=-2\cdot10^{-10}\vec{i}$

Ответ: $\vec{F}=-2\cdot10^{-10}\vec{i}$

Задача 5. С какой силой притягивается к центру земли тело массой $m$ , находящееся в глубокой шахте, если расстояние от него до центра земли равно $r$ ? Плотность земли считать постоянной и равной $\rho$ .

Здесь надо понимать, что тело будет притягиваться только той частью массы планеты, которая находится «под» ним. Силы, с которыми тело будет притягивать та часть планеты, что «выше» тела, будут компенсированы силами, с которыми тело будет притягивать та часть планеты, которая «выше» тела, но в противоположном полушарии (на рисунке зеленым и красным цветами показаны силы, которые компенсируют друг друга).

Глубокая шахта

$F=G\frac{Mm}{r^2}$

Здесь $M$ – «внутренняя часть» планеты, та, что «под» телом.

$M=\rho V=\rho \cdot {\frac{4\pi r^3}{3}}$

$F=G\frac{4\rho\pi r^3 m}{3r^2}= G\frac{4\rho\pi r m}{3}$

Ответ: $F= G\frac{4\rho\pi r m}{3}$

Задача 6. Определить максимальную скорость камня, брошенного без начальной скорости в прямой тоннель, прорытый через центр Земли с одной стороны на другую. Вращение Земли не учитывать.

Камень будет лететь равноускоренно, по крайней мере, до центра. Но, так как полет будет все время сокращать расстояние между камнем и центром планеты, то ускорение свободного падения будет все время уменьшаться, пока не станет равным нулю в середине тоннеля. Поэтому для расчета возьмем среднее ускорение: $\frac{g}{2}$ .

Тогда расстояние, которое камень пролетит до центра, равно радиусу Земли – 6400 км.

$S=\frac{\frac{g}{2}t^2}{2}=\frac{gt^2}{4}$

Отсюда $t$ :

$t=\sqrt{\frac{4S}{g}}$

Скорость при равноускоренном движении без начальной скорости:

$\upsilon={\frac{g}{2} } t$

$\upsilon={\frac{g}{2} } \sqrt{\frac{4S}{g}}=\sqrt{gS}=\sqrt{10\cdot6400000}=8000$

Таким образом, скорость, которую приобретет камень, будет равна первой космической скорости, или 8000 м/c $^2$ .

Задача 7. Две звезды вращаются вокруг общего центра масс с периодом $T$ и постоянными по модулю скоростями $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ . Найти массы звезд и расстояние между ними.

Две звезды

Так как звезды вращаются вокруг одного центра, не обгоняя друг друга, следовательно, у них одна и та же угловая скорость вращения: $\omega_1=\omega_2$ , и, очевидно, один и тот же период обращения: $T_1=T_2$ . Период – время прохождения одного круга. Первая звезда проходит круг длиной $2\pi r_1$ , а вторая – $2\pi r_2$ , то есть скорость первой – $\upsilon_1=\frac{2\pi r_1}{T}$ , скорость второй – $\upsilon_2=\frac{2\pi r_2}{T}$ . Ну а расстояния звезд от центра вращения – $r_1=\frac {\upsilon_1 T}{2\pi}$ , $r_2=\frac {\upsilon_2 T}{2\pi}$ . Сумма расстояний – это как раз расстояние между звездами:

$r=r_1+r_2=\frac {(\upsilon_1+\upsilon_2) T}{2\pi}$

Чтобы найти массы звезд, используем силу тяготения между ними. Раз система в равновесии, значит, сила тяготения равна центробежной силе. Сила тяготения между звездами:

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

Центростремительное ускорение для первой звезды:

$a_1=\frac{{\upsilon_1}^2}{r_1}$

Центробежная сила:

$F_1=m_1\frac{{\upsilon_1}^2}{r_1}$

Приравниваем силу тяготения и центробежную:

$G\frac{m_1m_2}{r^2}= m_1\frac{{\upsilon_1}^2}{r_1}$

Сокращаем $m_1$ и «вытаскиваем» массу $m_2$ :

$m_2= r^2\frac{{\upsilon_1}^2}{Gr_1}$

Вместо $r_1$ подставим $r_1=\frac {\upsilon_1 T}{2\pi}$ , вместо $r=r_1+r_2=\frac {(\upsilon_1+\upsilon_2) T}{2\pi}$ .

Тогда:

$m_2=(\upsilon_1+\upsilon_2) ^2\frac{\upsilon_1T}{2 \pi G}$

Аналогично, приравнивая центробежную силу для звезды массой $m_2$ и силу тяготения, получим:

$G\frac{m_1m_2}{r^2}= m_2\frac{{\upsilon_2}^2}{r_2}$

Сокращаем $m_2$ и «вытаскиваем» массу $m_1$ :

$m_1= r^2\frac{{\upsilon_2}^2}{Gr_2}$

Вместо $r_2$ подставим $r_2=\frac {\upsilon_2 T}{2\pi}$ , вместо $r=r_1+r_2=\frac {(\upsilon_1+\upsilon_2) T}{2\pi}$ .

Тогда:

$m_1=(\upsilon_1+\upsilon_2) ^2\frac{\upsilon_2T}{2 \pi G}$

Ответ: $r=\frac {(\upsilon_1+\upsilon_2)T}{2\pi}$ , $m_2=(\upsilon_1+\upsilon_2) ^2\frac{\upsilon_1T}{2\pi G}$ , $m_1=(\upsilon_1+\upsilon_2) ^2\frac{\upsilon_2T}{2 \pi G}$ .

Задача 8. Определить силу натяжения троса, связывающего два спутника массой $m$ каждый, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях $R_1$ и $R_2$ так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли $M$ .

К задаче 8

Силой тяготения между спутниками пренебрежем. Следовательно, на каждый из них действует сила тяготения земли, сила натяжения троса и центробежная сила. Так как канат всегда направлен радиально (по радиусу), то у спутников одна и та же угловая скорость: $\omega_1=\omega_2$ .

$\frac{\upsilon_1}{R_1}=\frac{\upsilon_2}{R_2}$

Центростремительное ускорение первого спутника: $a_1=\frac{(\upsilon_1)^2}{R_1}$ , второго спутника $a_2=\frac{(\upsilon_2)^2}{R_2}$ .

Центробежная сила, действующая на первый спутник: $F_1=\frac{m(\upsilon_1)^2}{R_1}$ , на второй спутник: $F_2=\frac{m(\upsilon_2)^2}{R_2}$ .

Уравнение по второму закону Ньютона для первого спутника:

$F_1=F_{t1}-T$

Уравнение по второму закону Ньютона для второго спутника:

$F_2=F_{t2}+T$

Здесь $F_{t1}$ и $F_{t2}$ – силы тяготения между спутниками и Землей:

$F_{t1}=G\frac{mM}{{R_1}^2}$

$F_{t2}=G\frac{mM}{{R_2}^2}$

Сложим уравнения, составленные по второму закону Ньютона. Получим:

$F_1+ F_2=F_{t1}+ F_{t2}$

Или:

$\frac{m(\upsilon_1)^2}{R_1}+\frac{m(\upsilon_2)^2}{R_2}=mMG\left(\frac{{R_2}^2+{R_1}^2}{{R_1}^2{R_2}^2}}\right)$

$\frac{{\upsilon_1}^2 R_2+{\upsilon_2}^2 R_1}{R_1R_2}=MG\left(\frac{{R_2}^2+{R_1}^2}{{R_1}^2{R_2}^2}}\right)$

${{\upsilon_1}^2 R_2+{\upsilon_2}^2 R_1=MG\left(\frac{{R_2}^2+{R_1}^2}{{R_1}{R_2}}\right)$

Так как угловая скорость спутников одна и та же $\frac{\upsilon_1}{R_1}=\frac{\upsilon_2}{R_2}$ , то можно записать, что ${\upsilon_1}=\frac{R_1\upsilon_2}{R_2}$ , а ${\upsilon_1}^2=\frac{{R_1}^2{\upsilon_2}^2}{{R_2}^2}$