Сила тяготения. Задачи второго уровня.

Всем доброго времени суток! Сегодня на повестке дня задачи на отыскание силы тяготения, скоростей, ускорений и весов тел на различных высотах и на разных планетах: словом, все, что связано с законом всемирного тяготения!

Поскольку задач много, а времени – мало (как обычно), то хочется разобрать не самые простые задачи. Надеюсь, данная подборка задач будет вам интересна, потому что решений этих задач я не нашла в Интернете – и по этой же причине не хочу рассматривать совсем простые задачи, решения которых  в сети легко отыскать.

Начнем, пожалуй.

Задача 1. Два одинаковых  однородных шара, соприкасаясь, притягивают друг друга с силой . Как изменится сила, если увеличить массу каждого шара в раз?  Плотность шаров не изменяется.

Сила тяготения равна – поэтому неплохо бы узнать радиус шариков. Вспомним формулу объема шара: , откуда , то есть

   

Масса и объем связаны плотностью вещества:

   

Тогда

   

То есть сила тяготения равна

   

Если масса шаров изменится в раз при той же плотности, то это означает, что изменятся их радиусы, так как зависимость объема от радиуса шара – прямая:

   

Сила тоже изменится:

   

Найдем теперь отношение сил:

   

   

Ответ:

 

 

 

 

Задача 2. Две точечные массы и расположены на расстоянии друг от друга. Где следует расположить точечную массу , чтобы сила гравитационного воздействия на нее со стороны масс и равнялась ?

Так как силы в данном случае направлены от первого тела к телу (вправо) и от второго тела к телу (влево), то есть такое положение массы , что эти силы станут равны и  друг друга скомпенсируют. Тогда можем записать:

   

   

   

   

Так как , то

Раскрыв скобки, можем записать ,

Или

   

Ответ:

 

 

Задача 3. Два шарика массами , соединенные стержнем пренебрежимо малой массы, образуют гантель. Расстояние между центрами шариков . Найти силу, действующую на гантель в поле тяжести точечной массы , находящейся на расстоянии от середины гантели. . Исследовать полученные выражения для силы при , , при каком она максимальна и чему будет равна.

Запишем расстояние от каждого из шариков до точечной массы :

   

Тогда силы взаимного притяжения каждого из шариков и массы М такие:

   

Эти силы можно разложить каждую на два составляющих вектора – на вектора, направленные от одного шарика к другому, вдоль гантели (вследствие равенства по длине и противоположного направления они компенсируют друг друга), и перпендикулярные к гантели. Эти две составляющие сонаправлены, поэтому именно их сумма определяет силу взаимодействия.

Определим эти составляющие сил:

   

   

   

Так как эти силы равны, и направлены в одну сторону, сложим их:

   

   

При условии пренебрежем величиной в знаменателе, тогда

   

При условии пренебрежем величиной в знаменателе, тогда

   

Ответ: ,  ,  

 

 

Задача 4. Три материальные точки массами кг, кг, кг находятся в точках с радиус-векторами ,  , . Найти гравитационную силу, действующую на частицу, имеющую массу , со стороны частиц с массами и .

Рассмотрим рисунок. Из него видно, что сила, которую мы ищем – это равнодействующая сил и (изображена красным вектором). Найти ее можно как векторную сумму сил и .

Для определения сил тяготения между массами нам понадобится знать расстояния между ними. Определим их, зная радиус-векторы точечных масс, так же, как определяют длину отрезка по координатам его концов. Тогда

   

   

Модуль силы равен:

   

Модуль силы равен:

   

Равнодействующая:

   

Сила направлена вдоль оси – так как тела и лежат на одной вертикали:

   

Силу возможно разложить на две составляющие, направленные по осям. Разложим силу :

   

   

Равнодействующая тогда будет равна:

   

Определим и : так как , следовательно,

, а .

Тогда:

   

   

Подставляем числа:

   

   

   

   

Ответ:

Задача 5. С какой силой притягивается к центру земли тело массой , находящееся в глубокой шахте, если расстояние от него до центра земли равно ? Плотность земли считать постоянной и равной .

Здесь надо понимать, что тело будет притягиваться только той частью массы планеты, которая находится «под» ним. Силы, с которыми тело будет притягивать  та часть планеты, что «выше» тела, будут компенсированы силами, с которыми тело будет притягивать та часть планеты, которая «выше» тела, но в противоположном полушарии (на рисунке зеленым и красным цветами показаны силы, которые компенсируют друг друга).

   

Здесь – «внутренняя часть» планеты, та, что «под» телом.

   

   

Ответ:

 

Задача 6. Определить максимальную скорость камня, брошенного без начальной скорости в прямой тоннель, прорытый через центр Земли с одной стороны на другую. Вращение Земли не учитывать.

Камень будет лететь равноускоренно, по крайней мере, до центра. Но, так как полет будет все время сокращать расстояние между камнем и центром планеты, то ускорение свободного падения будет все время уменьшаться, пока не станет равным нулю в середине тоннеля. Поэтому для расчета возьмем среднее ускорение: .

Тогда расстояние, которое камень пролетит до центра, равно радиусу Земли – 6400 км.

   

Отсюда :

   

Скорость при равноускоренном движении без начальной скорости:

   

   

Таким образом, скорость, которую приобретет камень, будет равна первой космической скорости, или 8000 м/c.

 

Задача 7. Две звезды вращаются вокруг общего центра масс с периодом  и постоянными по модулю скоростями и . Найти массы звезд и расстояние между ними.

Так как звезды вращаются вокруг одного центра, не обгоняя друг друга, следовательно, у них одна и та же угловая скорость вращения: , и, очевидно, один и тот же период обращения: . Период – время прохождения одного круга. Первая звезда проходит круг длиной , а вторая – , то есть скорость первой – , скорость второй – . Ну а расстояния звезд от центра вращения – ,  . Сумма расстояний – это как раз расстояние между звездами:

   

Чтобы найти массы звезд, используем силу тяготения между ними. Раз система в равновесии, значит, сила тяготения равна центробежной силе. Сила тяготения между звездами:

   

Центростремительное ускорение для первой звезды:

   

Центробежная сила:

   

Приравниваем силу тяготения и центробежную:

   

Сокращаем и «вытаскиваем» массу :

   

Вместо подставим , вместо .

Тогда:

   

Аналогично, приравнивая центробежную силу для звезды массой и силу тяготения, получим:

   

Сокращаем и «вытаскиваем» массу :

   

Вместо подставим , вместо .

Тогда:

   

Ответ: , , .

 

 

Задача 8. Определить силу натяжения троса, связывающего два спутника массой каждый, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях и так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли .

Силой тяготения между спутниками пренебрежем. Следовательно, на каждый из них действует сила тяготения земли, сила натяжения троса и центробежная сила. Так как канат всегда направлен радиально (по радиусу), то у спутников одна и та же угловая скорость: .

   

Центростремительное ускорение первого спутника: , второго спутника .

Центробежная сила, действующая на первый спутник: , на второй спутник: .

Уравнение по второму закону Ньютона для первого спутника:

   

Уравнение по второму закону Ньютона для второго спутника:

   

Здесь и – силы тяготения между спутниками и Землей:

   

   

Сложим уравнения, составленные по второму закону Ньютона. Получим:

   

Или:

   

   

   

Так как угловая скорость спутников одна и та же , то можно записать, что , а

Подставим:

   

«Вытащим» :

   

   

   

Определим теперь силу натяжения каната:

   

Подставляем в это выражение квадрат скорости, полученный выше:

   

   

   

   

Или, наконец,

   

Ответ: