Всем доброго времени суток! Сегодня на повестке дня задачи на отыскание силы тяготения, скоростей, ускорений и весов тел на различных высотах и на разных планетах: словом, все, что связано с законом всемирного тяготения!
Поскольку задач много, а времени – мало (как обычно), то хочется разобрать не самые простые задачи. Надеюсь, данная подборка задач будет вам интересна, потому что решений этих задач я не нашла в Интернете – и по этой же причине не хочу рассматривать совсем простые задачи, решения которых в сети легко отыскать.
Начнем, пожалуй.
Задача 1. Два одинаковых однородных шара, соприкасаясь, притягивают друг друга с силой . Как изменится сила, если увеличить массу каждого шара в
раз? Плотность шаров не изменяется.

Два шара
Сила тяготения равна – поэтому неплохо бы узнать радиус шариков. Вспомним формулу объема шара:
, откуда
, то есть
Масса и объем связаны плотностью вещества:
Тогда
То есть сила тяготения равна
Если масса шаров изменится в раз при той же плотности, то это означает, что изменятся их радиусы, так как зависимость объема от радиуса шара – прямая:
Сила тоже изменится:
Найдем теперь отношение сил:
Ответ:
Задача 2. Две точечные массы и
расположены на расстоянии
друг от друга. Где следует расположить точечную массу
, чтобы сила гравитационного воздействия на нее со стороны масс
и
равнялась
?
Так как силы в данном случае направлены от первого тела к телу
(вправо) и от второго тела
к телу
(влево), то есть такое положение массы
, что эти силы станут равны и друг друга скомпенсируют. Тогда можем записать:

Расположение масс
Так как , то
Раскрыв скобки, можем записать ,
Или
Ответ:
Задача 3. Два шарика массами , соединенные стержнем пренебрежимо малой массы, образуют гантель. Расстояние между центрами шариков
. Найти силу, действующую на гантель в поле тяжести точечной массы
, находящейся на расстоянии
от середины гантели.
. Исследовать полученные выражения для силы при
,
, при каком
она максимальна и чему будет равна.

Легкая штанга
Запишем расстояние от каждого из шариков до точечной массы :
Тогда силы взаимного притяжения каждого из шариков и массы М такие:
Эти силы можно разложить каждую на два составляющих вектора – на вектора, направленные от одного шарика к другому, вдоль гантели (вследствие равенства по длине и противоположного направления они компенсируют друг друга), и перпендикулярные к гантели. Эти две составляющие сонаправлены, поэтому именно их сумма определяет силу взаимодействия.
Определим эти составляющие сил:
Так как эти силы равны, и направлены в одну сторону, сложим их:
При условии пренебрежем величиной
в знаменателе, тогда
При условии пренебрежем величиной
в знаменателе, тогда
Ответ: ,
,
Задача 4. Три материальные точки массами кг,
кг,
кг находятся в точках с радиус-векторами
,
,
. Найти гравитационную силу, действующую на частицу, имеющую массу
, со стороны частиц с массами
и
.
Рассмотрим рисунок. Из него видно, что сила, которую мы ищем – это равнодействующая сил и
(изображена красным вектором). Найти ее можно как векторную сумму сил
и
.

Взаимное влияние точек
Для определения сил тяготения между массами нам понадобится знать расстояния между ними. Определим их, зная радиус-векторы точечных масс, так же, как определяют длину отрезка по координатам его концов. Тогда
Модуль силы равен:
Модуль силы равен:
Равнодействующая:
Сила направлена вдоль оси
– так как тела
и
лежат на одной вертикали:
Силу возможно разложить на две составляющие, направленные по осям. Разложим силу
:
Равнодействующая тогда будет равна:
Определим и
: так как
, следовательно,
, а
.
Тогда:
Подставляем числа:
Ответ:
Задача 5. С какой силой притягивается к центру земли тело массой , находящееся в глубокой шахте, если расстояние от него до центра земли равно
? Плотность земли считать постоянной и равной
.
Здесь надо понимать, что тело будет притягиваться только той частью массы планеты, которая находится «под» ним. Силы, с которыми тело будет притягивать та часть планеты, что «выше» тела, будут компенсированы силами, с которыми тело будет притягивать та часть планеты, которая «выше» тела, но в противоположном полушарии (на рисунке зеленым и красным цветами показаны силы, которые компенсируют друг друга).

Глубокая шахта
Здесь – «внутренняя часть» планеты, та, что «под» телом.
Ответ:
Задача 6. Определить максимальную скорость камня, брошенного без начальной скорости в прямой тоннель, прорытый через центр Земли с одной стороны на другую. Вращение Земли не учитывать.
Камень будет лететь равноускоренно, по крайней мере, до центра. Но, так как полет будет все время сокращать расстояние между камнем и центром планеты, то ускорение свободного падения будет все время уменьшаться, пока не станет равным нулю в середине тоннеля. Поэтому для расчета возьмем среднее ускорение: .
Тогда расстояние, которое камень пролетит до центра, равно радиусу Земли – 6400 км.
Отсюда :
Скорость при равноускоренном движении без начальной скорости:
Таким образом, скорость, которую приобретет камень, будет равна первой космической скорости, или 8000 м/c.
Задача 7. Две звезды вращаются вокруг общего центра масс с периодом и постоянными по модулю скоростями
и
. Найти массы звезд и расстояние между ними.

Две звезды
Так как звезды вращаются вокруг одного центра, не обгоняя друг друга, следовательно, у них одна и та же угловая скорость вращения: , и, очевидно, один и тот же период обращения:
. Период – время прохождения одного круга. Первая звезда проходит круг длиной
, а вторая –
, то есть скорость первой –
, скорость второй –
. Ну а расстояния звезд от центра вращения –
,
. Сумма расстояний – это как раз расстояние между звездами:
Чтобы найти массы звезд, используем силу тяготения между ними. Раз система в равновесии, значит, сила тяготения равна центробежной силе. Сила тяготения между звездами:
Центростремительное ускорение для первой звезды:
Центробежная сила:
Приравниваем силу тяготения и центробежную:
Сокращаем и «вытаскиваем» массу
:
Вместо подставим
, вместо
.
Тогда:
Аналогично, приравнивая центробежную силу для звезды массой и силу тяготения, получим:
Сокращаем и «вытаскиваем» массу
:
Вместо подставим
, вместо
.
Тогда:
Ответ: ,
,
.
Задача 8. Определить силу натяжения троса, связывающего два спутника массой каждый, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях
и
так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли
.

К задаче 8
Силой тяготения между спутниками пренебрежем. Следовательно, на каждый из них действует сила тяготения земли, сила натяжения троса и центробежная сила. Так как канат всегда направлен радиально (по радиусу), то у спутников одна и та же угловая скорость: .
Центростремительное ускорение первого спутника: , второго спутника
.
Центробежная сила, действующая на первый спутник: , на второй спутник:
.
Уравнение по второму закону Ньютона для первого спутника:
Уравнение по второму закону Ньютона для второго спутника:
Здесь и
– силы тяготения между спутниками и Землей:
Сложим уравнения, составленные по второму закону Ньютона. Получим:
Или:
Так как угловая скорость спутников одна и та же , то можно записать, что
, а
Подставим:
«Вытащим» :
Определим теперь силу натяжения каната:
Подставляем в это выражение квадрат скорости, полученный выше:
Или, наконец,
Ответ:
Все верно, Антон. Ошибок...
2 задача- во втором случае чашка a не весит НИЧЕГО!...
А куда делся квадрат синуса альфа в точке...
К зад.20 и аналогичным: Вектор конечной скорости можно разложить на...
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...