Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила тяготения

Сила тяготения: простые задачи

В этой статье рассмотрены самые простые задачи на тему “Сила тяготения”. Мы научимся определять ускорение свободного падения на поверхности планеты и на некоторой высоте, рассчитывать первую космическую скорость, и вспомним закон сохранения импульса.

Задача 1. Определить ускорение свободного падения на поверхности Марса, если отношение масс Марса и Земли равно 0,107, а отношение радиусов Марса и Земли равно 0,53.

Ускорение свободного падения определяется формулой

    \[g=G\cdot \frac{M}{R^2}\]

Где M – масса планеты, а R – ее радиус. Тогда для земли можем записать:

    \[g_Z=G\cdot \frac{M_Z}{R_Z^2}~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

А для Марса тогда

    \[g_M=G\cdot \frac{M_M}{R_M^2}~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Разделим (2) на (1):

    \[\frac{ g_M }{ g_Z }=\frac{ M_M }{ R_M^2}\cdot \frac{ R_Z^2}{ M_Z }\]

Или

    \[\frac{ g_M }{ g_Z }=\frac{ M_M }{ M_Z }\cdot \frac{ R_Z^2}{ R_M^2 }\]

    \[\frac{ g_M }{ g_Z }=\frac{ M_M }{ M_Z }\cdot \left(\frac{ R_Z}{ R_M }\right)^2\]

    \[g_M= g_Z \frac{ M_M }{ M_Z }\cdot \left(\frac{ R_Z}{ R_M }\right)^2\]

Подставляем известные величины:

    \[g_M  =\frac{0,107\cdot 9,8 }{\left(0,53\right)^2}=3,7\]

Ответ: 3,7 м/с^2.

 

Задача 2. На какой высоте h ускорение свободного падения будет в n=9 раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли?

Ускорение свободного падения у поверхности определяется формулой

    \[g=G\cdot \frac{M}{R^2}~~~~~~~~~~~~~~~~(3)\]

Тогда на некоторой высоте мы можем его записать как

    \[g_h=G\cdot \frac{M}{(R+h)^2}~~~~~~~~~~~~~~~~(4)\]

Так как по условию \frac{g}{g_h}=n, то разделим  (3) на (4):

    \[\frac{g}{g_h}=n=\frac{(R+h)^2}{R^2}\]

Извлечем корень из правой и левой частей:

    \[\sqrt{ n}=\frac{(R+h)}{R}\]

    \[R+h=\sqrt{ n}R\]

    \[h=\sqrt{ n}R-R=R(\sqrt{ n}-1)=2R\]

Ответ: на высоте, равной двум земным радиусам.

Задача 3. На каком расстоянии от центра земли тело в первую секунду свободного падения проходит расстояние s=0,55 м?

Из формулы пути при свободном падении тела находим, что

    \[S=\frac{g_h t^2}{2}\]

    \[g_h=\frac{2S}{t^2}\]

С другой стороны, так как h в данном случае – расстояние от центра земли, то

    \[g_h=G\cdot \frac{M}{h^2}\]

Тогда

    \[\frac{2S}{t^2}= G\cdot \frac{M}{h^2}\]

    \[h^2= G\cdot \frac{M t^2}{2S}\]

    \[h=t\sqrt{ G\cdot \frac{M}{2S}}\]

Подставим числовые данные:

    \[h=1\sqrt{ 6,67\cdot10^{-11} \frac{5,976 \cdot10^{24}}{2\cdot 0,55}}=\sqrt{ \frac{398,6 \cdot10^{12}}{1,1}}=1,9\cdot 10^7\]

Ответ: 1,9\cdot 10^7 м

 

Задача 4. Космонавт массой M=100 кг находится на поверхности шаровидного астероида радиусом R=1 км и держит в руках камень массой m=10 кг. С какой максимальной скоростью \upsilon относительно поверхности астероида космонавт может бросить камень, не рискуя превратиться в спутник астероида? Средняя плотность астероида \rho=5\cdot10^3 кг/м^3.

По закону сохранения импульса, если вы сообщаете камню скорость, то камень сообщает скорость вам также. Поскольку речь о ма-аленьком астероиде, то и первая космическая скорость у него небольшая. Определим, какая. Для этого определим ускорение свободного падения на астероиде массой M_p:

    \[g=G\cdot \frac{M_p}{R^2}= G\cdot \frac{\rho V}{R^2}= G\cdot \frac{4\rho \pi R^3 }{3R^2}=\frac{4}{3}\pi GR \rho\]

Тогда первая космическая скорость равна

    \[\upsilon_1=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{4}{3}\pi GR^2 \rho }\]

По закону сохранения импульса имеем:

    \[M \upsilon_1=m \upsilon\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{ M \upsilon_1}{m}=\frac{M}{m}\sqrt{\frac{4}{3}\pi GR^2 \rho }=\frac{2MR}{m}\sqrt{\frac{\pi  G\rho}{3} }\]

    \[\upsilon=\frac{2 \cdot 100\cdot 1000}{10}\sqrt{\frac{3,14 \cdot 6,67\cdot10^{-11}\cdot 5\cdot10^3}{3}}=11,8\]

Ответ: 12 м/c

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *