Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Сила тяготения

Сила тяготения. Простые задачи – 2

 

В этой статье рассмотрены несложные задачи на тему “Сила тяготения”. Мы научимся определять нормальное ускорение  на поверхности планеты на экваторе и на других широтах,  и рассчитывать вес тела на этих широтах.

Задача 1.  Космическая ракета «Мечта» стала первой искусственной планетой Солнечной системы, удаленной от центра Солнца в среднем на км. Определить период ее обращения вокруг Солнца.

Так как ракета превратилась в планету, то, следовательно, от Солнца она не улетает, а значит, равнодействующая всех сил равна нулю. На ракету действует сила притяжения солнца, а также центробежная сила.

Центростремительное ускорение:

   

Центробежная сила:

   

Где – масса ракеты. Теперь запишем силу тяготения ( – масса Солнца):

   

Приравняем силы, раз они уравновешивают друг друга:

   

   

   

Период – это время одного оборота, то есть время, за которое ракета пролетит длину окружности радиуса со скоростью :

   

Подставим скорость:

   

Результат, полученный в секундах, можно разделить на – и получим месяцы.

Ответ: 14,7 месяца.

 

Задача 2. Период обращения искусственного спутника планеты равен . Определить среднюю плотность этой планеты. Спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности планеты. Изменится ли период обращения этого спутника, если радиус планеты увеличить вдвое?

Период – это время одного оборота, то есть время, за которое спутник пролетит длину окружности радиуса со скоростью :

   

Центробежная сила, действующая на спутник массой :

   

Теперь запишем силу тяготения ( – масса планеты):

   

Приравняем силы, раз они уравновешивают друг друга:

   

   

Из (1) можем записать:

   

   

Тогда, приравнивая (2) и (3) получим:

   

Плотность планеты – это ее масса, отнесенная к объему:

   

Разделив (4) на , получим:

   

   

Подставим это в выражение для плотности планеты:

   

Ответ: . Если выразить период из этой формулы, то получится, что период обращения спутника не зависит от радиуса планеты. Следовательно, он не изменится, если радиус вырастет вдвое.

 

Задача 3. Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли так, что Луна, корабль и Земля все время находятся на одной прямой, причем силы притяжения корабля Луной и Землей компенсируют друг друга. Какой вес космонавта, находящегося на корабле? Масса космонавта 70 кг. Период обращения Луны вокруг земли суток.

Из условия задачи понимаем, что период обращения космического корабля равен суток, иначе корабль не смог бы находиться все время на одной радиальной прямой с Луной.

К задаче 3

Вес космонавта равен силе тяжести, уменьшенной на центробежную силу. Однако из условия компенсации сил притяжения ясно, что сила тяжести равна нулю. Остается только центробежная сила, давайте ее найдем. Пусть корабль находится на какой-то неизвестной нам пока высоте от Земли. Тогда корабль описывает окружность длиной , и проходит он это расстояние за . Тогда его линейная скорость вращения равна

   

А нормальное ускорение

   

Запишем теперь условие компенсации двух сил притяжения: это поможет определить величину .

   

– расстояние от корабля до Земли, – от корабля до Луны, а вместе – расстояние от Земли до Луны.

Сократим гравитационную постоянную и массу корабля:

   

Заменим на :

   

Перепишем согласно свойству пропорции:

   

Извлечем корень:

   

   

   

   

   

Тогда вес космонавта будет равен

   

Задача 4. Определить вес тела массой кг на поверхности земли на широте .

На любой широте (кроме полюсов) вес тела  – это разность силы тяжести и центробежной силы. Для всех точек планеты угловая скорость вращения едина. Но линейная скорость связана с угловой так:

   

То есть линейная скорость вращения планеты максимальна на экваторе, где самый большой радиус вращения: расстояние до оси вращения. Поэтому на экваторе на тело действует самое большое нормальное ускорение, которое определяется в том числе радиусом Земли:

   

К задаче 4

Но, если подняться на более высокие широты, то тем самым мы изменим радиус. Теперь он будет равен

   

Кроме того, изменится и линейная скорость вращения (и это тоже связано с изменением радиуса, то есть расстояния до оси вращения):

   

Тогда на указанной широте нормальное ускорение будет равно:

   

Теперь задумаемся о скорости . Период обращения Земли известен – это 24 часа. За это время точка на поверхности (на экваторе) делает полный оборот и проходит расстояние . Тогда можно записать:

   

Откуда

   

Тогда

   

А нормальное ускорение будет равно

   

Теперь окончательно запишем вес тела:

   

Подставим данные задачи:

   

Ответ:

 

Задача 5. На некоторой планете, плотность вещества которой , тело на полюсе весит в раз больше, чем на экваторе. Определить период обращения планеты вокруг собственной оси.

На полюсе на тело не действует центробежная сила, связанная с вращением планеты, а на экваторе эта сила максимальна.

Центробежная сила:

   

Плотность планеты – это ее масса, отнесенная к объему:

   

Пусть вес тела на полюсе равен , тогда на экваторе оно весит . Следовательно,

   

   

В свою очередь, ускорение свободного падения равно:

   

Тогда

   

Выражение

   

Перепишем так:

   

И теперь подставим это в левую часть (5):

   

Откуда

   

   

Найдем период:

   

Ответ:

 

Задача 6. Чему равны сутки на планете, имеющей размер и массу Земли, но вращающейся вокруг своей оси с такой скоростью, что сила тяжести на экваторе равна нулю?

Сутки – это период обращения планеты, время одного оборота. Так как сила тяжести уравновешена центробежной силой, то

   

Или

   

Причем, так как масса и размер планеты такие же, как у Земли, то м/с.

Период равен

   

   

Время мы получили в секундах, давайте выразим его в часах: ч

Ответ:  часа.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *