Сила тяготения: готовимся к олимпиадам. 9 класс

[latexpage]

Согласно закону Всемирного тяготения, сила притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Задача 1. Планета представляет собой однородный шар, плотность которого $\rho=3000$ кг/м$^3$. Каков период обращения искусственного спутника, движущегося вблизи её поверхности? Гравитационная постоянная $G=6,67\cdot 10^{-11}$, Н$\cdot$м$^2\cdot$кг$^{-2}$. Ответ выразить в часах, округлив до целых.

Решение.

Период обращения искусственного спутника равен $T=\frac{2\pi \cdot R}{\upsilon}$, где $R$ — радиус планеты, $\upsilon$ — первая космическая скорость. Из второго закона Ньютона получается, что

$$m\cdot \frac{\upsilon^2}{R}=G\cdot \frac{M\cdot m}{R^2}$$

Масса планеты равна $M=\rho \cdot V=\frac{4}{3}\pi\cdot R^3\rho.$ Таким образом, искомый период обращения спутника равен

$$T=\frac{2\pi\cdot R}{\upsilon}=\sqrt{\frac{3\pi}{G\cdot \rho}}=6861 c.$$

6861 c$\approx$2 часа.

Ответ: 2 часа.

Задача 2. Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусственных спутников Марса и Земли $\frac{T_M}{T_3}$, движущихся по круговым орбитам на небольшой высоте? Ответ округлить до десятых.

Решение.

Ускорение спутника, движущегося со скоростью $\upsilon$ вокруг планеты массой $M$ по круговой траектории радиуса $R$, равно $a=\frac{\upsilon^2}{R}$, $F=\frac{GmM}{R^2}=ma$, откуда $a=G\frac{M}{R^2}$ и $\upsilon=\sqrt{\frac{ GM}{R}}$. Период обращения спутника $T=2\pi R/\upsilon=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$.

$$\frac{T_M}{T_3}=\frac{\sqrt{(R_M/R_3)^3}}{\sqrt{M_M/M_3}}=\sqrt{\frac{R_M^3M_3}{R_3^3M_M}}=\sqrt\frac{10}{8}=1,1.$$

Ответ: 1,1.

Задача 3. При какой продолжительности суток на Земле камень, лежащий на широте $\alpha=60^{\circ}$, оторвется от поверхности Земли? Радиус Земли $R=6400$ км, $g=10$ м/$c^{2}$. Ответ дать в часах округлить до десятых. Камень прикреплен ниткой и не может проскальзывать, но может оторваться от поверхности.

Решение.

Отрыв произойдет в тот момент, когда исчезнет сила реакции опоры. На тело будет действовать только сила тяжести, которая и будет придавать телу центростремительное ускорение, при движении по окружности с радиусом $R\cdot \cos\alpha$. Из второго закона Ньютона в проекции на ось, направленную к центру Земли, получим, что

$$m\cdot a_n\cdot \cos\alpha=mg.$$

При этом

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R\cdot \cos \alpha}=\frac{4\pi^2\cdot R\cdot \cos \alpha}{T^2}.$$

Подставляя второе уравнение в первое и сокращая массу, получим, что

$$\frac{4\pi^2\cdot R\cdot \cos \alpha}{T^2}=g,$$

откуда

$$T=2\pi \cdot \cos \alpha \cdot \sqrt{\frac{R}{g}}\approx 0,7.$$

Заметим, что при любой конечной силе трения камень начнет сползать к экватору (и в итоге оторвется) при большей продолжительности суток.

Ответ: 0,7 ч.

Задача 4. На каком расстоянии от центра Земли силы притяжения космического корабля к Земле и Луне уравновешивают друг друга? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами в 60 раз больше радиуса Земли $R_3$. В качестве ответа напишите количество раз, в которое искомое расстояние больше радиуса Земли. Ответ округлить до целых.

Решение.

Согласно закону Всемирного тяготения, сила притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Обозначим искомое расстояние от космического корабля до центра Земли через $x$. Из условия равенства сил притяжения космического корабля к Земле и Луне можно записать, что

$$\frac{G\cdot M_3\cdot m}{x^2}=\frac{G\cdot M_{\Lambda}\cdot m}{(60R_3-x)^2}.$$

Выражая из уравнения отношение масс, получаем

$$\frac{M_3}{M_{\Lambda}}=81=\frac{x^2}{(60R_3-x)^2}.$$

Таким образом, искомое расстояние равно

$$x=54R_3$$

Ответ: 54.

Задача 5. Средняя плотность планеты Плюк равна средней плотности Земли, а радиус Плюка в два раза больше радиуса Земли. Во сколько раз первая космическая скорость для Плюка больше, чем для Земли? Ответ округлить до целых.

Решение.

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо сообщить объекту, чтобы вывести его на круговую орбиту с радиусом, равным радиусу планеты. Для Земли и Плюка она равна $\upsilon_3=\sqrt{\frac{G\cdot M_3}{R_3}}$ и $\upsilon_{_\Pi}=\sqrt{\frac{G\cdot M_\Pi}{R_\Pi}}$ соответственно. Следовательно, их отношение

$$\frac{\upsilon_{_\Pi}}{\upsilon_{_3}}=\sqrt{\frac{M_\Pi\cdot R_3}{M_3\cdot R_\Pi}}=\sqrt{\frac{\frac{4}{3}\pi\cdot \rho_{_\Pi}\cdot R_\Pi^3\cdot R_3}{\frac{4}{3}\pi\cdot \rho_{_3}\cdot R_3^3\cdot R_\Pi}}=\sqrt\frac{\rho_{_\Pi}\cdot R_\Pi^2}{\rho_{_3}\cdot R_3^2}=2$$

Таким образом, первая космическая скорость на Плюке в два раза больше, чем на Земле.

Ответ: 2.