Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила тяготения

Сила тяготения: готовимся к олимпиадам. 9 класс

Согласно закону Всемирного тяготения, сила притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Задача 1. Планета представляет собой однородный шар, плотность которого \rho=3000 кг/м^3. Каков период обращения искусственного спутника, движущегося вблизи её поверхности? Гравитационная постоянная G=6,67\cdot 10^{-11}, Н\cdotм^2\cdotкг^{-2}. Ответ выразить в часах, округлив до целых.

Решение.

Период обращения искусственного спутника равен T=\frac{2\pi \cdot R}{\upsilon}, где R — радиус планеты, \upsilon — первая космическая скорость. Из второго закона Ньютона получается, что

    \[m\cdot \frac{\upsilon^2}{R}=G\cdot \frac{M\cdot m}{R^2}\]

Масса планеты равна M=\rho \cdot V=\frac{4}{3}\pi\cdot R^3\rho. Таким образом, искомый период обращения спутника равен

    \[T=\frac{2\pi\cdot R}{\upsilon}=\sqrt{\frac{3\pi}{G\cdot \rho}}=6861 c.\]

6861 c\approx2 часа.

Ответ: 2 часа.

 

Задача 2. Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусственных спутников Марса и Земли \frac{T_M}{T_3}, движущихся по круговым орбитам на небольшой высоте? Ответ округлить до десятых.

Решение.

Ускорение спутника, движущегося со скоростью \upsilon вокруг планеты массой M по круговой траектории радиуса R, равно a=\frac{\upsilon^2}{R}, F=\frac{GmM}{R^2}=ma, откуда a=G\frac{M}{R^2} и \upsilon=\sqrt{\frac{ GM}{R}}. Период обращения спутника T=2\pi R/\upsilon=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}.

    \[\frac{T_M}{T_3}=\frac{\sqrt{(R_M/R_3)^3}}{\sqrt{M_M/M_3}}=\sqrt{\frac{R_M^3M_3}{R_3^3M_M}}=\sqrt\frac{10}{8}=1,1.\]

Ответ: 1,1.

Задача 3. При какой продолжительности суток на Земле камень, лежащий на широте \alpha=60^{\circ}, оторвется от поверхности Земли? Радиус Земли R=6400 км, g=10 м/c^{2}. Ответ дать в часах округлить до десятых. Камень прикреплен ниткой и не может проскальзывать, но может оторваться от поверхности.

Решение.

Отрыв произойдет в тот момент, когда исчезнет сила реакции опоры. На тело будет действовать только сила тяжести, которая и будет придавать телу центростремительное ускорение, при движении по окружности с радиусом R\cdot \cos\alpha. Из второго закона Ньютона в проекции на ось, направленную к центру Земли, получим, что

    \[m\cdot a_n\cdot \cos\alpha=mg.\]

При этом

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{R\cdot \cos \alpha}=\frac{4\pi^2\cdot R\cdot \cos \alpha}{T^2}.\]

Подставляя второе уравнение в первое и сокращая массу, получим, что

    \[\frac{4\pi^2\cdot R\cdot \cos \alpha}{T^2}=g,\]

откуда

    \[T=2\pi \cdot \cos \alpha \cdot \sqrt{\frac{R}{g}}\approx 0,7.\]

Заметим, что при любой конечной силе трения камень начнет сползать к экватору (и в итоге оторвется) при большей продолжительности суток.

Ответ: 0,7 ч.

 

Задача 4. На каком расстоянии от центра Земли силы притяжения космического корабля к Земле и Луне уравновешивают друг друга? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами в 60 раз больше радиуса Земли R_3. В качестве ответа напишите количество раз, в которое искомое расстояние больше радиуса Земли. Ответ округлить до целых.

Решение.

Согласно закону Всемирного тяготения, сила притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Обозначим искомое расстояние от космического корабля до центра Земли через x. Из условия равенства сил притяжения космического корабля к Земле и Луне можно записать, что

    \[\frac{G\cdot M_3\cdot m}{x^2}=\frac{G\cdot M_{\Lambda}\cdot m}{(60R_3-x)^2}.\]

Выражая из уравнения отношение масс, получаем

    \[\frac{M_3}{M_{\Lambda}}=81=\frac{x^2}{(60R_3-x)^2}.\]

Таким образом, искомое расстояние равно

    \[x=54R_3\]

Ответ: 54.

Задача 5. Средняя плотность планеты Плюк равна средней плотности Земли, а радиус Плюка в два раза больше радиуса Земли. Во сколько раз первая космическая скорость для Плюка больше, чем для Земли? Ответ округлить до целых.

Решение.

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо сообщить объекту, чтобы вывести его на круговую орбиту с радиусом, равным радиусу планеты. Для Земли и Плюка она равна \upsilon_3=\sqrt{\frac{G\cdot M_3}{R_3}} и \upsilon_{_\Pi}=\sqrt{\frac{G\cdot M_\Pi}{R_\Pi}} соответственно. Следовательно, их отношение

    \[\frac{\upsilon_{_\Pi}}{\upsilon_{_3}}=\sqrt{\frac{M_\Pi\cdot R_3}{M_3\cdot R_\Pi}}=\sqrt{\frac{\frac{4}{3}\pi\cdot \rho_{_\Pi}\cdot R_\Pi^3\cdot R_3}{\frac{4}{3}\pi\cdot \rho_{_3}\cdot R_3^3\cdot R_\Pi}}=\sqrt\frac{\rho_{_\Pi}\cdot R_\Pi^2}{\rho_{_3}\cdot R_3^2}=2\]

Таким образом, первая космическая скорость на Плюке в два раза больше, чем на Земле.

Ответ: 2.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *