Сила тяготения: готовимся к олимпиадам. 9 класс

Согласно закону Всемирного тяготения, сила притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Задача 1.

Планета представляет собой однородный шар, плотность которого кг/м. Каков период обращения искусственного спутника, движущегося вблизи её поверхности? Гравитационная постоянная , Нмкг. Ответ выразить в часах, округлив до целых.

Решение.

Период обращения искусственного спутника равен , где — радиус планеты, — первая космическая скорость. Из второго закона Ньютона получается, что

Масса планеты равна Таким образом, искомый период обращения спутника равен

6861 c2 часа.

Ответ: 2 часа.

Задача 2.

Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусственных спутников Марса и Земли , движущихся по круговым орбитам на небольшой высоте? Ответ округлить до десятых.

Решение.

Ускорение спутника, движущегося со скоростью вокруг планеты массой по круговой траектории радиуса , равно , , откуда и . Период обращения спутника .

Ответ: 1,1.

Задача 3.

При какой продолжительности суток на Земле камень, лежащий на широте , оторвется от поверхности Земли? Радиус Земли км, м/. Ответ дать в часах округлить до десятых. Камень прикреплен ниткой и не может проскальзывать, но может оторваться от поверхности.

Решение.

Отрыв произойдет в тот момент, когда исчезнет сила реакции опоры. На тело будет действовать только сила тяжести, которая и будет придавать телу центростремительное ускорение, при движении по окружности с радиусом . Из второго закона Ньютона в проекции на ось, направленную к центру Земли, получим, что

При этом

Подставляя второе уравнение в первое и сокращая массу, получим, что

откуда

Заметим, что при любой конечной силе трения камень начнет сползать к экватору (и в итоге оторвется) при большей продолжительности суток.

Ответ: 0,7 ч.

Задача 4.

На каком расстоянии от центра Земли силы притяжения космического корабля к Земле и Луне уравновешивают друг друга? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами в 60 раз больше радиуса Земли . В качестве ответа напишите количество раз, в которое искомое расстояние больше радиуса Земли. Ответ округлить до целых.

Решение.

Согласно закону Всемирного тяготения, сила притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Обозначим искомое расстояние от космического корабля до центра Земли через . Из условия равенства сил притяжения космического корабля к Земле и Луне можно записать, что

Выражая из уравнения отношение масс, получаем

Таким образом, искомое расстояние равно

Ответ: 54.

Задача 5.

Средняя плотность планеты Плюк равна средней плотности Земли, а радиус Плюка в два раза больше радиуса Земли. Во сколько раз первая космическая скорость для Плюка больше, чем для Земли? Ответ округлить до целых.

Решение.

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо сообщить объекту, чтобы вывести его на круговую орбиту с радиусом, равным радиусу планеты. Для Земли и Плюка она равна и соответственно. Следовательно, их отношение

Таким образом, первая космическая скорость на Плюке в два раза больше, чем на Земле.

Ответ: 2.