Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила трения

Сила трения: подготовка к олимпиадам, 9 класс

В этой статье уже более сложные, более приближенные к олимпиадным, задачи. Тут и комбинированные задачи, и задачи с движением по окружности.

Задача 1. Автомобиль начал двигаться с ускорением a=2 м/с^2. Когда он достиг скорости \upsilon_1=60 км/ч, его ускорение стало равным a_1=1 м/с^2. Определить, с какой установившейся скоростью будет двигаться автомобиль, если сила тяги его двигателя не изменилась, а сила сопротивления движению возрастала прямо пропорционально скорости движения. Ответ выразить в км/ч, округлив до целых.

Решение.

По второму закону Ньютона в начале движения справедливо соотношение F=ma. Сила сопротивления выражается по формуле F_{conp}=-k\upsilon. Поэтому при достижении скорости \upsilon_1=60 км/ч, используя второй закон Ньютона, можно записать, что

    \[F-k\upsilon_1=ma_1,\]

а при движении с постоянной скоростью

    \[F-k\upsilon_2=0.\]

Решая систему, получим, что

    \[\frac{a-a_1}{a}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}\]

Откуда искомая скорость равна

    \[\upsilon_2=\upsilon_1\cdot \frac{a}{a-a_1}=120\]

Ответ: 120 км/ч.

 

Задача 2. Из двух ровных досок сделан жёлоб, представляющий собой двугранный угол с раствором 2\alpha=90^\circ. Жёлоб закреплен так, что его ребро горизонтально, а доски симметричны относительно вертикали. В жёлобе на боковой поверхности лежит цилиндр массой m=1 кг. Коэффициент трения между досками и цилиндром равен \mu=0,2. К торцу цилиндра приложена горизонтально направленная сила F=3 Н. Найти модуль ускорения цилиндра. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}. Ответ выразить в м/c^2, округлив до десятых.

К задаче 2

Решение.

Изобразим вид на жёлоб со стороны торца цилиндра. На цилиндр в плоскости рисунка действуют направленная вниз сила тяжести и две равные по модулю силы реакции досок, направленные перпендикулярно стенкам жёлоба.

Так как цилиндр не движется в вертикальном направлении, то, в соответствии со вторым законом Ньютона, сумма проекций этих трёх сил на вертикаль равна нулю. Таким образом, справедливо соотношение

    \[mg=2N\cdot \sin \alpha,\]

где \alpha=45^\circ. Отсюда получаем, что сила реакции опоры равна

    \[N=\frac{mg}{2\sin \alpha}.\]

В горизонтальном направлении (вдоль жёлоба) на цилиндр действуют сила F, а также, в противоположном направлении, две силы сухого трения F_{mp}. Предположим, что цилиндр будет двигаться по жёлобу. Тогда по закону Кулона-Амонтона сила трения скольжения равна

    \[F_{mp}=\frac{\mu mg}{2\sin \alpha}.\]

По второму закону Ньютона в проекциях на горизонтальную ось, направленную вдоль ребра жёлоба, получим, что

    \[ma=F-2F_{mp}=F-\frac{\mu mg}{\sin \alpha},\]

где a — модуль искомого ускорения цилиндра.

Заметим, что

    \[F>\frac{\mu mg}{\sin \alpha}\]

Это означает, что приложенная к торцу цилиндра сила превышает силу трения покоя, то есть цилиндр и в самом деле будет скользить вдоль жёлоба. Следовательно, модуль ускорения цилиндра равен

    \[a=\frac{F}{m}-\frac{g\cdot \mu}{\sin \alpha}=0,2\]

Ответ: 0,2 м/c^2

Задача 3. Брусок массой m=2 кг движется поступательно по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы, направленной под углом \alpha=30^\circ к горизонту. Модуль этой силы F=12 Н. Модуль силы трения, действующей на брусок, равен 2,8 Н. Чему равен коэффициент трения между бруском и плоскостью? Ответ округлить до десятых. Ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}.

Решение.

Воспользуемся вторым законом Ньютона. Спроецируем все силы действующие на брусок на вертикальную ось. Брусок движется по горизонтальной плоскости, следовательно, у него нет вертикальной составляющей ускорения. Из второго закона Ньютона получаем, что N+F\sin \alpha-mg=0, где N — сила реакции опоры. По условию, модуль силы трения равен F_{mp}=\mu N=2,8 Н. Следовательно, коэффициент трения между бруском и плоскостью

    \[\mu=\frac{F_{mp}}{mg-F\sin \alpha}=0,2.\]

Ответ: 0,2.

Задача 4. Брусок массой m прижат к вертикальной стене силой F, направленной под углом \alpha к вертикали. Коэффициент трения между бруском и стеной равен \mu. При какой величине силы F брусок будет двигаться по стене вертикально вверх с постоянной скоростью?

К задаче 4

1.\;\frac{\mu mg}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}

2.\;\frac{mg}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}

3.\;\frac{\mu mg}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}

4.\;\frac{mg}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}

Решение.

Поскольку необходимо, чтобы брусок скользил с постоянной скоростью, его ускорение должно быть равно нулю. Из второго закона Ньютона для бруска в проекции на вертикальную ось получаем, что

    \[F\cos\alpha-mg-F_{mp}=0,\]

а в проекции на горизонтальную ось можем записать, что

    \[F\sin\alpha-N=0.\]

Учитывая связь F_{mp}=\mu N, справедливую в силу того, что брусок скользит вдоль стены, получаем

    \[F=\frac{mg}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}.\]

Ответ: 4.

 

Задача 5. Автомобиль, двигаясь по горизонтальной дороге, совершает поворот по дуге окружности. Каков минимальный радиус этой окружности при коэффициенте трения автомобильных шин о дорогу \mu=0,4 и скорости автомобиля \upsilon=10 м/с? Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

На повороте с радиусом R при скорости \upsilon=10 м/с автомобиль обладает центростремительным ускорением a=\frac{\upsilon^2}{R}.Это ускорение должна обеспечивать сила трения между колёсами и дорожным покрытием, иначе начнётся занос. Из второго закона Ньютона в проекциях на радиальную ось, получаем, что

    \[ma=F_{mp},\]

где m — масса автомобиля.

Из второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную ось получаем, что

    \[N-mg=0,\]

где N — сила реакции опоры. При минимально возможном радиусе сила трения между колёсами автомобиля и дорожным покрытием принимает максимальное значение, равное

    \[F_{mp}= F_{mp\;max}=\mu\cdot N\]

Таким образом, получаем, что минимально возможный радиус равен

    \[R=\frac{\upsilon^2}{\mu g}=25.\]

Ответ: 25 м.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *