Сила трения. Олимпиадная подготовка, 9 класс

[latexpage]

Будем искать силы натяжения стержней при скольжении, ускорения досок, вращать диски с грузиками на них…

Задача 1. На гладкой горизонтальной поверхности стола лежит доска массой $M$, по которой скользит брусок массой $m$. Чему равно ускорение доски при её движении вдоль стола, если $M=2m$, а коэффициент трения бруска о доску равен $\mu=1$? Ответ выразить в м/$c^{2}$, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/$c^{2}$.

К задаче 1

Решение.

Так как по условию скольжение бруска по доске есть, то сила трения вышла на максимум, и по третьему закону Ньютона доска разгоняется силой $F_{mp}=\mu\cdot m\cdot g$

Из второго закона Ньютона для доски получаем, что $$M\cdot a=\mu\cdot m\cdot g,$$  откуда с учётом $M=2m$, найдём, что ускорение доски равно

$$a=\frac{\mu g}{2}=5$$

Ответ: 5 м/$c^{2}$.

Задача 2. Брусок толкнули вверх по наклонной плоскости, составляющей $\alpha=30^{\circ}$ с горизонтом. Через $t_1=2$ с брусок остановился, а еще через $t_2=4$ с вернулся в исходную точку. Чему равен коэффициент трения? Ответ округлить до сотых.

Задача 2. Движение вверх.

Задача 2. Движение вниз.

Решение.

Из второго закона Ньютона получаем, что

$$m\cdot \vec a=\vec F_{mp}+\vec N+m\cdot \vec g$$

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $X$, направленную вверх вдоль плоскости при движении груза вверх. Получим, что

$$-ma_1=-mg\sin \alpha-F_{mp},$$

где $ F_{mp}=\mu\cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha.$

Откуда проекция ускорения равна

$$a_1=g(\sin \alpha +\mu \cos \alpha).$$

При движении вниз направим ось $X$ таким же образом. Проекция ускорения равна

$$a_2=g(\sin \alpha -\mu \cos \alpha).$$

Перемещение выражается по формуле $S=\frac{at^2}{2}$, поэтому

$$a_1\cdot t_1^2= a_2\cdot t_2^2$$

Подставляя выражения для $a_1$ и $a_2$ и решая уравнение, получаем коэффициент трения, равный

$$\mu=\frac{t_2^2-t_1^2}{ t_2^2+t_1^2}\cdot \operatorname{tg}{\alpha}=0,35.$$

Ответ: 0,35.

Задача 3. Наибольшее значение силы трения покоя между вращающимся диском и расположенным на нём грузом массой $m=10$ кг равно $F_{mp}=24,5$ Н. На некотором максимальном расстоянии от оси вращения груз будет удерживаться на диске, не скользя по нему, если диск станет вращаться с частотой $\nu=0,5$ об/с? Чему равна сила трения груза о диск в тот момент, когда груз находится от оси вращения на половине найденного расстояния? Ответ выразить в Н, округлив до сотых.

Решение.

На предельном расстоянии на тело действуют силы тяжести, реакции опоры и сила трения, сообщающие ему центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона в проекции на ось $X$, направленную по радиусу к центру вращающегося диска, получаем, что

$$m\cdot a=F_{mp}$$

где $a=(2\pi\cdot\nu)^2L$, тогда

$$m\cdot (2\pi\cdot\nu)^2L= F_{mp}$$

Таким образом, максимальное расстояние от оси вращения, на котором груз будет удерживаться на диске, выражается по формуле

$$L=\frac{ F_{mp}}{ m\cdot (2\pi\cdot\nu)^2}=0,25.$$

Когда груз находится от оси вращения на половине найденного расстояния, центростремительное ускорение ему обеспечивает сила трения, равная

$$ F_{mp1}= m\cdot (2\pi\cdot\nu)^2\frac{L}{2}=\frac{F_{mp}}{2}=12,25.$$

Ответ: 12,25 Н.

Задача 4. Неподвижный клин с углом $\alpha=60^{\circ}$ при основании имеет гладкую нижнюю и шероховатую верхнюю части своей наклонной плоскости. На верхней части клина удерживают тонкий однородный жёсткий стержень массой $m=2$ кг, расположенный в плоскости рисунка. Коэффициент трения между стержнем и верхней частью клина равен $\mu=0,4$. После того как стержень отпускают, он начинает поступательно скользить по клину. Найдите максимальное значение силы натяжения стержня в процессе его движения. Влиянием воздуха пренебречь. Ответ выразить в Н, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/$c^{2}$

К задаче 4

Решение.

Введём ось $X$ которая параллельна стержню и направлена вниз по клину. В тот момент, когда на гладкой поверхности клина оказывается часть стержня массой $\beta\cdot m$, где $0\leqslant\beta\leqslant 1$, на неё вдоль оси $X$ действует составляющая силы тяжести $\beta\cdot m\cdot g\cdot\sin\alpha$ и сила натяжения со стороны верхней части стержня, направленная противоположно оси $X$, и равная $T(\beta)$. Запишем уравнение движения нижней части стержня вдоль оси $X$. Получим, что

$$\beta\cdot m\cdot a=\beta\cdot m\cdot g\cdot\sin\alpha-T(\beta).$$

где $a$ – ускорение любой точки стержня вдоль оси $X$, так как стержень твёрдый и движется поступательно.

В рассматриваемый момент на верхнюю часть стержня вдоль оси $X$ наряду с составляющей силы тяжести $(1-\beta)\cdot m\cdot g\cdot\sin\alpha$ со стороны клина действует направленная противоположно оси $X$ сила сухого трения скольжения $\mu (1-\beta)\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha$, а со стороны нижней части стержня действует направленная вдоль оси $X$ сила натяжения $T(\beta)$. Уравнение движения этой части стержня в проекции на ось $X$ имеет вид

$$(1-\beta)\cdot m\cdot a=(1-\beta)\cdot m\cdot g\cdot\sin\alpha+T(\beta)-\mu (1-\beta)\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha$$

Решая совместно составленные уравнения, получаем

$$T=\beta\cdot (1-\beta)\cdot\mu\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha$$

Видно, что сила натяжения стержня в сечении, которое находится на границе между гладкой и шероховатой частями клина, зависит от значения коэффициента $\beta$.Она будет максимальной при $\beta=0,5$, т.е. когда одна половина стержня окажется на гладкой нижней части клина, а другая половина – на его шероховатой верхней части. В таком случае

$$T_{max}=0,25\mu\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha=1.$$

Ответ: 1 Н.

Задача 5. Тело равномерно скользит по наклонной плоскости с углом наклона $40^{\circ}$. Определить коэффициент трения тела о плоскость. Ответ округлить до сотых.

Решение.

Так как тело скользит равномерно, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Можно действующие на тело силы $N$, $mg$, $F_{mp}=\mu\cdot N$, изобразить в виде векторного треугольника. Из которого

$$\mu=\operatorname{tg}{\alpha}=0,84$$

Ответ: 0,84.