Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила трения

Сила трения. Олимпиадная подготовка, 9 класс

Будем искать силы натяжения стержней при скольжении, ускорения досок, вращать диски с грузиками на них…

Задача 1. На гладкой горизонтальной поверхности стола лежит доска массой M, по которой скользит брусок массой m. Чему равно ускорение доски при её движении вдоль стола, если M=2m, а коэффициент трения бруска о доску равен \mu=1? Ответ выразить в м/c^{2}, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}.

К задаче 1

Решение.

Так как по условию скольжение бруска по доске есть, то сила трения вышла на максимум, и по третьему закону Ньютона доска разгоняется силой F_{mp}=\mu\cdot m\cdot g

Из второго закона Ньютона для доски получаем, что

    \[M\cdot a=\mu\cdot m\cdot g,\]

  откуда с учётом M=2m, найдём, что ускорение доски равно

    \[a=\frac{\mu g}{2}=5\]

Ответ: 5 м/c^{2}.

 

Задача 2. Брусок толкнули вверх по наклонной плоскости, составляющей \alpha=30^{\circ} с горизонтом. Через t_1=2 с брусок остановился, а еще через t_2=4 с вернулся в исходную точку. Чему равен коэффициент трения? Ответ округлить до сотых.

Задача 2. Движение вверх.

Задача 2. Движение вниз.

Решение.

Из второго закона Ньютона получаем, что

    \[m\cdot \vec a=\vec F_{mp}+\vec N+m\cdot \vec g\]

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось X, направленную вверх вдоль плоскости при движении груза вверх. Получим, что

    \[-ma_1=-mg\sin \alpha-F_{mp},\]

где F_{mp}=\mu\cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha.

Откуда проекция ускорения равна

    \[a_1=g(\sin \alpha +\mu \cos \alpha).\]

При движении вниз направим ось X таким же образом. Проекция ускорения равна

    \[a_2=g(\sin \alpha -\mu \cos \alpha).\]

Перемещение выражается по формуле S=\frac{at^2}{2}, поэтому

    \[a_1\cdot t_1^2= a_2\cdot t_2^2\]

Подставляя выражения для a_1 и a_2 и решая уравнение, получаем коэффициент трения, равный

    \[\mu=\frac{t_2^2-t_1^2}{ t_2^2+t_1^2}\cdot \operatorname{tg}{\alpha}=0,35.\]

Ответ: 0,35.

 

Задача 3. Наибольшее значение силы трения покоя между вращающимся диском и расположенным на нём грузом массой m=10 кг равно F_{mp}=24,5 Н. На некотором максимальном расстоянии от оси вращения груз будет удерживаться на диске, не скользя по нему, если диск станет вращаться с частотой \nu=0,5 об/с? Чему равна сила трения груза о диск в тот момент, когда груз находится от оси вращения на половине найденного расстояния? Ответ выразить в Н, округлив до сотых.

Решение.

На предельном расстоянии на тело действуют силы тяжести, реакции опоры и сила трения, сообщающие ему центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона в проекции на ось X, направленную по радиусу к центру вращающегося диска, получаем, что

    \[m\cdot a=F_{mp}\]

где a=(2\pi\cdot\nu)^2L, тогда

    \[m\cdot (2\pi\cdot\nu)^2L= F_{mp}\]

Таким образом, максимальное расстояние от оси вращения, на котором груз будет удерживаться на диске, выражается по формуле

    \[L=\frac{ F_{mp}}{ m\cdot (2\pi\cdot\nu)^2}=0,25.\]

Когда груз находится от оси вращения на половине найденного расстояния, центростремительное ускорение ему обеспечивает сила трения, равная

    \[F_{mp1}= m\cdot (2\pi\cdot\nu)^2\frac{L}{2}=\frac{F_{mp}}{2}=12,25.\]

Ответ: 12,25 Н.

Задача 4. Неподвижный клин с углом \alpha=60^{\circ} при основании имеет гладкую нижнюю и шероховатую верхнюю части своей наклонной плоскости. На верхней части клина удерживают тонкий однородный жёсткий стержень массой m=2 кг, расположенный в плоскости рисунка. Коэффициент трения между стержнем и верхней частью клина равен \mu=0,4. После того как стержень отпускают, он начинает поступательно скользить по клину. Найдите максимальное значение силы натяжения стержня в процессе его движения. Влиянием воздуха пренебречь. Ответ выразить в Н, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}

К задаче 4

Решение.

Введём ось X которая параллельна стержню и направлена вниз по клину. В тот момент, когда на гладкой поверхности клина оказывается часть стержня массой \beta\cdot m, где 0\leqslant\beta\leqslant 1, на неё вдоль оси X действует составляющая силы тяжести \beta\cdot m\cdot g\cdot\sin\alpha и сила натяжения со стороны верхней части стержня, направленная противоположно оси X, и равная T(\beta). Запишем уравнение движения нижней части стержня вдоль оси X. Получим, что

    \[\beta\cdot m\cdot a=\beta\cdot m\cdot g\cdot\sin\alpha-T(\beta).\]

где a – ускорение любой точки стержня вдоль оси X, так как стержень твёрдый и движется поступательно.

В рассматриваемый момент на верхнюю часть стержня вдоль оси X наряду с составляющей силы тяжести (1-\beta)\cdot m\cdot g\cdot\sin\alpha со стороны клина действует направленная противоположно оси X сила сухого трения скольжения \mu (1-\beta)\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha, а со стороны нижней части стержня действует направленная вдоль оси X сила натяжения T(\beta). Уравнение движения этой части стержня в проекции на ось X имеет вид

    \[(1-\beta)\cdot m\cdot a=(1-\beta)\cdot m\cdot g\cdot\sin\alpha+T(\beta)-\mu (1-\beta)\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha\]

Решая совместно составленные уравнения, получаем

    \[T=\beta\cdot (1-\beta)\cdot\mu\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha\]

Видно, что сила натяжения стержня в сечении, которое находится на границе между гладкой и шероховатой частями клина, зависит от значения коэффициента \beta.Она будет максимальной при \beta=0,5, т.е. когда одна половина стержня окажется на гладкой нижней части клина, а другая половина – на его шероховатой верхней части. В таком случае

    \[T_{max}=0,25\mu\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha=1.\]

Ответ: 1 Н.

Задача 5. Тело равномерно скользит по наклонной плоскости с углом наклона 40^{\circ}. Определить коэффициент трения тела о плоскость. Ответ округлить до сотых.

Решение.

Так как тело скользит равномерно, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Можно действующие на тело силы N, mg, F_{mp}=\mu\cdot N, изобразить в виде векторного треугольника. Из которого

    \[\mu=\operatorname{tg}{\alpha}=0,84\]

Ответ: 0,84.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *